Definizioni Algebra lineare

BALL EUCLIDEA

( ) ( )

{

∀ ∈ ℝ , ∀ ∈ ℝ , ≡ ∈ ℝ : , = }

BALL APERTA

( ) ( )

{

, ≡ ∈ ℝ : , < }

BALL CHIUSA

( ) ( )

{

, ≡ ∈ ℝ : , ≤ }

10)PRODOTTO SCALARE IN ℝ

∑

∀, ∈ ℝ ≡ + + ⋯ + ≡

=

ASSIOMI

I. ∀ ∈ ℝ ≥ ;

II. = ⇔ = ;

III. ∀, ∈ ℝ = ;

IV. ∀, , ∈ ℝ , ∀, ∈ ℝ ( + ) = + .

11)COSENO DELL‘ ANGOLO FRA VETTORI NON NULLI

̂

∀, ∈ ℝ ≡ ||||

12)PRODOTTO SCALARE IN ℂ

∑ ̅

∀, ∈ ℂ ≡

=

ASSIOMI = =

∑ ∑

̅̅̅

I. ∀ ∈ ℂ ≡ ≡ | | ≥ ;

II. = ⇔ = ;

̅̅̅̅;

III. ∀, ∈ ℂ = EMISIMMETRIA ; ̅

̅

IV. ∀, , ∈ ℂ , ∀, ∈ ℂ ( + ) = +

e

( + ) = + SESQUILINEARITÀ .

13)PROIEZIONE

≡ , ≠

||

14)AREA PARALLELOGRAMMA E TRIANGOLO

(, ) √|| ()

= || −

(, ) (, )

=

15)PRODOTTO VETTORE IN ℝ

| |

−

−

( ) ( ) (−( ) | |

∧ = ∧ = = −

)

−

| |

( )

ASSIOMI

I. ∀, , ∈ ℝ , ∀, µ ∈ ℝ ∶ ( + µ) ∧ = ∧ + µ ∧ ;

II. ∀, ∈ ℝ ∶ ∧ = − ∧ ;

III. ∀ ∈ ℝ ∶ ∧ = ;

IV. ∀, , ∈ ℝ ∶ ∧ ∧ = () – ().

16)SISTEMA ORTOGONALE E ORTONORMALE

ORTOGONALI

, … , si dicono se = ∀ , = , … ,

| | ORTONORMALI.

Se | | = ⋯ = = , si dicono

⊥

17)COMPLEMENTO ORTOGONALE {

= ∈ ∶ = ∀ ∈ }

TEORIA DELLA DIMENSIONE

18)SPAN

{ ∑ }

( , … , ) = < , … , > ∶= , ∈ ℝ ℂ

, ,

=

19)DIPENDENZA LINEARE LINEARMENTE DIPENDENTE

Un sistema di vettori è detto se almeno uno di essi è

combinazione lineare degli altri. Se , … , sono dipendenti allora ∃ , … , NON

,

=

∑

TUTTI NULLI tali che =

20)INDIPENDENZA LINEARE LINEARMENTE INDIPENDENTE.

Un sistema di vettori che NON è dipendente si dice

=

∑

, … , linearmente indipendenti se = , è verificata solo se ∀ =

,

21)BASE SISTEMA DI GENERATORI INDIPENDENTE

Una base di uno spazio vettoriale è un :

= < , … , > , … ,

, ,

22)SOMMA DIRETTA = =

∑ = {∑ }

Posti , = , … , sottospazi di e posto : ∈ come

DIRETTA

sottospazio somma, si dirà che tale somma sia e si scrive:

= = =

′ ′

∑ ∑ ∑

= ⨁ se ∀ , ∈ → = ′ = ∀ = , … ,

=

MATRICI

23)MATRICE

matrice

Una ×, a m righe ed n colonne, a termini razionali, reali o complessi, è una

× ×

funzione ∶ { , … , } × { , … , } → ℚ ℝ ℂ. Si usano i simboli ℚ , ℝ ,

×

ℂ per denotare l´insieme delle matrici m×n a termini rispettivamente razionali, reali

o complessi.

24)SOMMA TRA MATRICI E PRODOTTO MATRICE PER UNO SCALARE

( + ) + () =

=

SOMMA PRODOTTO PER SCALARE

25)MATRICE QUADRATA, TRIANGOLARE, DIAGONALE

×

∈ ℝ

 con m = n, è detta QUADRATA ;

×

( ) ∈ ℝ =

 Una matrice QUADRATA viene detta DIAGONALE se per i ≠ j

×

( ) ∈ ℝ =

 Una matrice QUADRATA viene detta TRIANGOLARE se per i > j .

26)MATRICE IDENTICA =

× ×

IDENTICA

( ) {

La matrice ∈ ℝ ∶ è detta (in ℝ ).

≠

1 =

= δ di KRONECKER

{

Talvolta si scrive “ ”.

0 ≠

27)MINORE × ×

Una matrice ℝ ottenuta sopprimendo da una matrice ∈ ℝ − righe ed

MINORE

− colonne viene detta (estratto) da .

minori principali

I sono quelli nei quali vengono soppresse righe e colonne dello

stesso indice.

28)CONVENZIONE DI EINSTEIN (-LANDAU)

Se un prodotto di quantità dipendenti da indici contiene una coppia di indici uguali,

una somma di tutti i prodotti ottenuti

è sottintesa facendo variare gli indici in tutti i

valori possibili.

∑

≡

=

29)PRODOTTO TRA MATRICI

× × ×

Date ∈ ℝ e ∈ ℝ si definisce ∈ ℝ ponendo:

∑

() = ≡

=

30)MATRICE TRASPOSTA

× ∗ × ∗

, TRASPOSTA :

Data ∈ ℝ si definisce la matrice ∈ ℝ ( ) =

31)MATRICE AGGIUNTA ED AUTOAGGIUNTA ̅

× ∗ × ∗

AGGIUNTA :

Data ∈ ℂ , si definisce la matrice ∈ ℂ ( ) =

∗ AUTOAGGIUNTA.

Se = , la matrice è detta

32)MATRICE REGOLARE E MATRICE SINGOLARE

× REGOLARE SINGOLARE

∈ ℝ si dice se le sue colonne sono indipendenti,

altrimenti.

33)INVERTIBILITÀ

× ×

INVERTIBILE

∈ ℝ si dice se ∃ ∈ ℝ tale che = (la matrice identica)

34)DETERMINANTE

( ) la funzione

Si definisce , , … , = () : ℝ × ℝ × … × ℝ → ℝ

proprietà:

verificante le seguenti

( ) ;

, , … , =

o ;

( ) ( )

, … , … , , … , = − , … , … , , … ,

o

( ) ( ) ( ) ;

+ , , … , = , , … , + , , … ,

o

( ) ( )

.

, , … , = , , … ,

o

APPLICAZIONI LINEARI

35)OPERATORE LINEARE linearità:

∶ → verificante la proprietà di

( ´) () (´) ()

+ = + ∀, ´ ∈ = ()

ADDITIVITÀ OMOGENEITÀ

36)INIETTIVA, SURIETTIVA, BIIETTIVA

() () ()

∀, ∈ , = → = ∀ ∈ ∃ ∈ ∶ =

INIETTIVITÀ SURIETTIVITÀ

BIIETTIVITÀ

37)NUCLEO ()

= { ∈ ∶ = }

:

38)IMMAGINE () ()

{

= ∈ ∶ ∃ ∈ = }

:

39)MATRICE ASSOCIATA AD E A DUE BASI

( ) ∑

= ′

=

40)MATRICE ASSOCIATA A CAMBIO DI BASE

cambio di base matrice colonne le

La matrice di è definita come la avente come

coordinate di ciascuno dei vettori di ’ … ’ rispetto alla base … e cioè =

( ) ove:

′ ∑

=

=

41)MATRICE ASSOCIATA A FORMA BILINEARE

α x y X

Data un’applicazione bilineare definita sulle coppie e di vettori di , a valori

matrice associata all’applicazione

reali, e una base , = . . , si definisce

bilineare .

la matrice = ( , ) Essa verifica (, ) = ′ , ove ′ è il

x X

vettore (riga) trasposto del vettore