Algebra lineare

RANGO DI UNA MATRICE

 m,n

Sia A una matrice di K (K). Si dice rango della matrice A e si scrive p(A), l’ordine massimo di

un minore estraibile da A con determinante non nullo. Il rango dispone di cinque proprietà :

1. p(A) = 0 se, e solo se, A è la matrice nulla.

t

2. Il rango di A coincide con la sua trasposta A.

3. p(A) min {m,n}.

≤ m,p

4. Se B è una matrice di K (K), il rango della matrice prodotto AB p(A) e p(B).

≤

5. Se A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine e A è invertibile allora p(AB) =

p(B).

SISTEMA LINEARE e MATRICI ASSOCIATE



Un sistema lineare (m equazioni in n incognite) è un sistema di equazioni lineari, ossia un

sistema costituto da equazioni in più incognite ove ogni incognita compare con esponente 1,

ovvero nella forma a x + a x + … + a x = b dove a , …, a e b sono numeri assegnati e x , …,

1 1 2 2 n n 1 n 1

x sono le incognite. Dal sistema lineare è inoltre possibile estrarre la corrispondente matrice

n

associata considerando solo i numeri assegnati (NB => A è la matrice associata, mentre A|B è

la matrice associata completa). E’ importante affermare che un sistema lineare può essere :

Omogeneo quando tutti i termini noti sono nulli (0,0,0) e per questo viene detta

 soluzione banale.

Compatibile quando ammette soluzioni.

 Non compatibile quando non ammette soluzioni.



SOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE e SISTEMA LINEARE COMPATIBILE



Dato un sistema lineare è necessario considerare se il sistema ammette soluzioni e in caso

affermativo quale e quante sono tali soluzioni, le soluzioni di un sistema lineare pertanto

possono essere definite di due tipi :

Un sistema non ammette soluzioni quando date due o più equazioni e assegnate le

 condizioni queste risultano non compatibili (es. x + x = 1, x + x = 3 sono

1 2 1 2

incompatibili perché la medesima equazione ammette due soluzioni diverse e non

compatibili).

Un sistema ammette soluzioni quando date due o più equazioni e assegnate le

 condizioni queste risultano compatibili (es. x + x = 3, x = 1 sono compatibili).

1 2 2

Un sistema si dice compatibile se ammette soluzioni.

SISTEMA PRINCIPALE EQUIVALENTE ad un SISTEMA LINEARE COMPATIBILE



Due sistemi lineari si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Nello specifico un sistema

principale equivalente a un sistema lineare compatibile è un sistema lineare che conserva lo

stesso insieme di soluzioni del sistema originario, ma è stato trasformato in una forma

semplificata mediante operazioni elementari sulle righe (o colonne) della matrice associata.

TEOREMA degli ORLATI

 m,n

Una matrice A K (K) ha rango p se, e soltanto se, esiste un minore M di ordine p a



determinante non nullo e tutti i minori di ordine p + 1, che contengono M, hanno determinante

nullo.

POLINOMIO CARATTERISTICO DI UNA MATRICE QUADRATA



Il polinomio caratteristico è definito per le sole matrici quadrate e viene usato principalmente

per il calcolo degli autovalori e si calcola come determinante di una particolare matrice. Nello

specifico se A è una matrice quadrata di ordine n, il suo polinomio caratteristico p (λ) è il

A

determinante della matrice A - λId dove λ è una variabile è Id è la matrice identità di ordine

n n

n. p (λ) = det(A – λId )

 A n

AUTOVALORE e AUTOVETTORE di UNA MATRICE QUADRATA



Si dice che lo scalare λ K è un autovalore della matrice quadrata A se esiste un vettore



0

n

colonna non nullo v K tale che A = λ v, dove il vettore v è detto autovettore relativo

 v 0

all’autovalore λ .

0

AUTOSPAZIO RELATIVO ad un AUTOVALORE DI UNA MATRICE QUADRATA



Gli autovettori relativi a uno stesso autovalore λ di una matrice quadrata A di ordine n, insieme

0 n

al vettore nullo, formano un sottospazio vettoriale di K . Tale sottospazio prende il nome di

n

autospazio relativo all’autovalore λ , esso si indica V ed è definito V : = {v K tali che Av =



0 λ0 λ0

λ v}.

0 MATRICI SIMILI e MATRICE DIAGONALIZZABILE



Due matrici quadrate di ordine n sul camp K, A e B, si dicono simili quando esiste una matrice

-1

P, quadrata, di ordine n e non singolare tale che B = P AP o, equivalentemente, PB = AP. La

similitudine tra matrici è una forma di equivalenza tra matrici quadrate dello stesso ordine,

infatti è semplice dimostrare che :

Ogni matrice è simile a se stessa.

 Se A è simile a B, allora B è simile ad A.

 Se A è simile a B e B è simile a C, allora A è simile a C.



Una matrice A, quadrata di ordine n si dice diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale

D. E’ importante affermare che esiste un criterio di diagonalizzabilità il quale stabilisce che data

n

A M (K), A è diagonalizzabile se e soltanto se K ammette una base di autovettori di A.

 n MOLTEPLICITA’ ALGEBRICA e MOLTECIPLITA’ GEOMETRICA di un AUTOVALORE di

 una MATRICE QUADRATA

Sia A una matrice quadrata di ordine n e sia λ un suo autovalore. Si dice molteplicità algebrica

0

dell’autovalore λ e si indica con m (λ ), il numero che esprime quante volte l’autovalore

0 a 0

annulla il polinomio caratteristico. Sia A una matrice quadrata di

ordine n e sia λ un suo autovalore. Si dice molteplicità geometrica dell’autovalore λ e si indica

0 0

con m (λ ), la dimensione dell’autospazio relativo a λ , cioè il numero di elementi di una

g 0 0

qualsiasi base dell’autospazio relativo a λ .

0

PRODOTTO SCALARE



Una forma bilineare *, su uno spazio vettoriale V(K) si dice forma bilineare simmetrica o

prodotto scalare se, comunque si considerino due vettori v e w in V(K) si ha v * w = w * v.

BASE ORTOGONALE e ORTONORMALE



Una base dello spazio vettoriale B{v,w} è detta base ortogonale se è composta da vettori

ortogonali tra loro, ossia se il prodotto scalare dei vettori presi a coppia è uguale a zero, in altri

termini <v,w> = 0 Una base dello spazio vettoriale

v,w.

B{v,w} è detta base ortonormale se è composta da vettori ortogonali <v,w> = 0 (v w) e a

≠

norma unitaria ||v|| = ||w|| = 1. In altri termini possiamo dire che le condizioni di una base

ortonormale sono due :

1. I vettori della base hanno norma unitaria, ossia un modulo (lunghezza) uguale a 1.

2. I vettori della base sono diversi e ortogonali tra loro, in questi casi il loro prodotto

scalare <v,w> = 0 è nullo.

TEOREMA di ORTOGONALIZZAZIONE di GRAM-SCHMIDT



Siano V uno spazio vettoriale su R e v , v , …, v vettori linearmente indipendenti di V, e sia

1 2 n

assegnato un prodotto scalare definito positivo. Allora esistono w , w , …, w V tali che :



1 2 n

Siano a due a due ortogonali.

 Il sottospazio generato da {v , v , …, v } coincide con quello generato da {w , w ,

 1 2 n 1 2

…, w }.

n

COMPLEMENTO ORTOGONALE di un SOTTOINSIEME non VUOTO A di uno SPAZIO

 METRICO REALE

Sia A un sottoinsieme non vuoto di un dato spazio vettoriale V finitamente generato su R e su

cui è definito un prodotto scalare qualsiasi. Definiamo il sottospazio ortogonale di S in V, e lo

⊥ ⊥

chiamiamo con S , il sottoinsieme di V definito da S : = {v tale che <v,s> = 0

V s 

S}. In altre parole il complemento ortogonale di un sottospazio S di V è il sottoinsieme formato

da vettori di V ortogonali a tutti i vettori di S.

PROIEZIONE ORTOGONALE di v LUNGO w, DOVE v e w ALLO SPAZIO METRICO

 

REALE

La proiezione ortogonale di un vettore in un sottospazio è la somma delle proiezioni ortogonali

del vettore v in ogni vettore w della base. E’ possibile soltanto se la base è ortogonale e ogni

proiezione ortogonale P del vettore v su un vettore w è determinato dai coefficienti di Fourier

¿ ¿

w , w> w

¿¿

P (v) = .

¿ v , w>

w ¿

MATRICE ORTOGONALE e MATRICE ORTOGONALMENTE DIAGONALIZZABILE



Sia A una generica matrice quadrata di ordine n a coefficienti in un campo K e indichiamo con

Id la matrice identica di ordine n, diremo quindi che A è una matrice ortogonale se il prodotto

n

tra la matrice stessa e la sua trasposta è la matrice identità. Le matrici identiche dispongono di

alcune proprietà : t

Se una matrice A è ortogonale, allora è ortogonale anche la sua trasposta A .

 Il determinante di una matrice ortogonale (di qualsiasi ordine) è 1 oppure -1.

 Ogni matrice ortogonale è invertibile e la matrice inversa coincide con la

 trasposta.

L’inversa di una matrice ortogonale è ancora una matrice ortogonale.

 Il prodotto tra due matrici ortogonali dello stesso ordine è ancora una

 matrice ortogonale.

Ogni matrice simmetrica può essere diagonalizzata da una matrice

 ortogonale. GEOMETRIA ANALITICA

SOTTOSPAZIO LINEARE di DIMENSIONE h DELLO SPAZIO AFFINE A (K)

 n

Definiamo innanzi tutto lo spazio affine di dimensione n sul campo K come la struttura

costituita da un insieme, non vuoto, A, detto insieme dei punti, da uno spazio vettoriale V (K) di

n

dimensione n sul campo K e da un’applicazione (P,Q) --> v con le seguenti proprietà :

Per ogni P A e ogni v V (K) esiste ed è unico il punto Q tale che f((P,Q)) = v

   n

[=> il punto Q è detto traslato di P, mentre il vettore immagine della coppia

(P,Q) è indicata con PQ].

Per ogni P, Q, R A, se v = PQ e w = QR allora v + w = PR.

 

Ora, sia A (K) uno spazio affine. Si dice sottospazio affine di dimensione h e si indica S = [P,

n h

V (K)], l’insieme dei traslati di un punto fissato P, detto origine, mediante i vettori di un

n

sottospazio V (K) di dimensione h detto spazio di traslazione.

n

RETTA e PIANO DELLO SPAZIO AFFINE A (K)

 n

L’oggetto di studio degli spazi affini sono : dato A (K), i sottospazi lineari di

punti = sottospazi lineari di dimensione 0 (=

 n

dim 0 sono i putni). dato A (K) i sottospazi lineari di dim

rette = sottospazi lineari di dimensione 1 (=

 n

1 sono le rette). dato A (K) i sottospazi lineari di dim

piani = sottospazi lineari di dimensione 2 (=

 n

2 sono i piani). (se n = 0 gli iperpiani non sono

iperpiani = sottospazi lineari di dimensione n – 1

 definiti, la dim è sempre positiva o nulla).

S