Risposte di Fondamenti di algebra lineare e geometria

E E

C AC sia diagonale.

-1

10. Definire le nozioni di autovalore e autovettore di una matrice quadrata.

Data una matrice A M(n x n,K), se AX= x, X = 0 ,allora X è un autovettore di A e è l’autovalore di A

d &

E ux1

associato ad X.

11. Descrivere le equazioni parametriche di un piano nello spazio.

Le parametriche nello

di

equazioni un piano spazio sono :

S 1't

(t

xo

X +

+

= I'm

IR

m't t'E

m+ t rk 2

+ V

M

+

y = yo =

, 'n

n't

nt

zo +

+

z =

12. Descrivere le equazioni cartesiane di una retta nello spazio.

Equazioni di

cartesiane nello

retta spazio

una :

E rkab

d

by

ax 0

cz

+ + =

+

ax by cz d 0

+ + + =

Le equazioni cartesiane di una retta o un piano sono quelle di un sistema lineare le cui soluzioni formano la varietà lineare

corrispondente.

13. Descrivere la relazione tra forme bilineari simmetriche b : V × V K e matrici simmetriche in M(n × n,K),

→

con n = dim(VK) finita (è sufficiente considerare il caso V = Kn). matrice-EM(nxn

in k"

(i) Se b fbs allora k)

è esiste

una una ,

,

tale

simmetrica che

, EKh

Fle un)

: Un Uz

Uz un y = -

,

14. Definire la nozione di prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale.

1) Una fbs b in uno spazio vettoriale reale V si dice definita positiva se per ogni u V\{0} vale <u u> >0.

∈

2) Un prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale è una forma bilineare simmetrica definita positiva.

15. Definire la nozione di prodotto scalare ordinario in R .

Il prodotto scalare ordinario in R si definisce ponendo

: u1 ·u2 =U u2.

∀u1,u2 ∈Rn

16. Definire la nozione di angolo tra due vettori in uno spazio vettoriale euclideo.

Dati due vettori non nulli u1 e u2 in uno spazio vettoriale euclideo, l’angolo da essi formato è

17. Definire la nozione di base ortonormale in uno spazio vettoriale euclideo di dimensione n.

18. Definire la nozione di matrice ortogonale di ordine n.

Una matrice ortogonale d’ordine n è una matrice H M(n × n, R) tale che H H = In.

∈

19. Definire la nozione di ortogonale di un sottospazio in uno spazio vettoriale euclideo.

Dato un sottospazio W di uno spazio vettoriale euclideo V , il suo (complemento) ortogonale è

20. Definire la nozione di angolo tra due piani.

L’angolo formato da due piani è l’angolo acuto formato da due rette ortogonali ai piani stessi. Se i piani sono

: ax+by+cz+d=0 e ’ : a’x+b’y+c’z+d’=0 tale angolo è

21. Enunciare il teorema spettrale reale.

Per ogni matrice reale simmetrica A d’ordine n, esiste una base ortogonale di R composta da autovettori di A.

22. Definire la matrice A associata a una forma quadratica f(x) in n indeterminate ed enunciare la formula che

lega f(x) e A .

La matrice associata a una forma quadratica f(x) in n indeterminate x ,x ,...,x `e A = (aij) M(n × n, R), dove

∈

(i) per i=j, aij è il coefficiente di x in f(x),

(ii) per i=j, aij è il coefficiente di x x in f(x), diviso 2

23. Definire le nozioni di forma quadratica in Rn e di forma quadratica definita positiva, semidefinita positiva,

definita negativa, semidefinita negativa e indefinita.

Una forma quadratica f(x) in n indeterminate si dice

• definita positiva, se R \ {0} : f(x) > 0;

∀x ∈

• definita negativa, se R \ {0} : f(x) < 0;

∀x ∈

• semidefinita positiva, se R : f(x) ≥ 0;

∀x ∈

• semidefinita negativa, se R : f(x) ≤ 0;

∀x ∈

• indefinita se R : f(x′)f(x′′) < 0.

∃x′,x′′ ∈ Dimostrazioni

1. Dimostrare che per ogni A∈M(n×n,K) vale detA=detA .

2. Dimostrare che un endomorfismo L di uno spazio vettoriale di dimensione finita VK è diagonalizzabile se e

solo se esiste una base B di VK i cui elementi sono tutti autovettori di L.

3. Sia L un endomorfismo di uno spazio vettoriale VK di dimensione finita n, B una base di VK e λ K.

∈

Dimostrare che λ è un autovalore se e solo se vale det(ALBB −λIn) = 0.

4. Siano A, C M(n × n, K ). Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

∈

(i) C è invertibile e C AC è diagonale;

(ii) le colonne di C sono tutte autovettori di A e formano una base di Kn.

5. Dimostrare che se A, B M(n × n, K) sono due matrici simili, allora i loro polinomi caratteristici p (t) e p (t)

∈

coincidono.

6. Sia v0 + U una varietà lineare di Rn. Dimostrare quanto segue:

(i) v0 v0 + U;

∈

(ii) se v1 v0 + U, allora v1 + U = v0 + U;

∈

(iii) comunque presi due elementi v1 e v2 della varietà lineare v0 + U , la loro differenza v2 − v1 appartiene a U .

7. Enunciare e dimostrare un’equazione che sia condizione necessaria e sufficiente affinché una retta dello

spazio avente parametri direttori l, m, n e il piano di equazione ax + by + cz + d = 0 siano paralleli.

8. Enunciare e dimostrare una condizione necessaria e sufficiente (espressa in termini di rango di una matrice)

affinché i piani dello spazio di equazioni cartesiane ax + by + cz+d=0 e a′x+b′y+c′z+d′ =0 siano paralleli.