Documenti didattici di Matematica

Si dimostri l'identità  seguente sin^2x(1+tan^2x)+cos^2x(1+cot^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x) Appare più agevole ricondurre il primo membro al secondo, piuttosto che il contrario, dato che al secondo membro vi è un solo addendo Dobbiamo rifletter...

Si mostri la validità  della seguente identità  (tan^2x+1)/(tanx)=(cot^2x+1)/(cotx) E' chiaro che possiamo trasformare il primo membro passando a cotx oppure il secondo membro passando a tanx , indifferentemente. Trasformiamo tutto il pri...

Studiare il grafico della seguente funzione reale di variabile reale f(x) = x e^{-frac{1}{x}} Il prodotto fra due termini è definito laddove sono definiti i due fattori, allo stesso modo un esponenziale è definito laddove è definito l'e

Studiare il grafico della seguente funzione reale di variabile reale f(x) = e^x oot{3}{x^2} Il dominio massimale della funzione è mathbb{R} , dato che un esponenziale è definito laddove è definito l'esponente, e una radice di indice

Si calcoli il limite seguente lim_(xto 0) (sin2x+sinx+tanx)/(1-cos^3x) sapendo che x tende a zero da destra.Sostituendo direttamente x=0 otteniamo una forma indeterminata 0/0 Riscriviamo la funzione in modo più conveniente (sin2x+sinx+tanx)/(1-co...

Si mostri che (sinx)/(1+cosx)=(1-cosx)/(sinx) è un'identità  valida. Si può operare in diversi modi. Ad esempio, prendiamo la frazione al primo membro è moltiplichiamo numeratore è denominatore per 1-cosx In questo modo otteniamo (s

frac{a - b}{a + b} - frac{ldots}{a^2 + 2ab + b^2} = frac{a - 3b}{a+b} frac{(a - b) cdot (a + b) - ldots }{(a + b)^2} = frac{a - 3b}{a + b} Affinché le due frazioni abbiano lo stesso denominatore, la quantità  ignota deve contenere (a + b)

[2a^4 - (a^2 + b + 1) (a^2 - b - 1)] [a^4 - (b + 1)^2] + (b + 1)^4 Soluzione I due fattori all'interno della prima coppia di parentesi quadre sono una differenza di quadrati. [2a^4 - (a^4 - (b + 1)^2] [a^4 - (b + 1)^2] + (b + 1)^4 [a^4 + (b + 1)^2...

(frac{33}{11} + frac{2 + 2 cdot 5}{6} + 2) + 2 cdot (12 - 3 cdot 4) Soluzione (frac{33}{11} + 2 + 2) + 2 cdot (12 - 3 cdot 4) 7 + 2 cdot (12 - 3 cdot 4) 7 + 2 cdot (12 - 12) 7 + 2 cdot 0 7 + 0 7

(frac{7}{3}+frac{1}{14}) cdot (frac{9}{2} - frac{3}{5}) : (frac{1}{6} - frac{5}{4}) + [(frac{3}{10} - frac{2}{5} + 1) - (-frac{2}{15} + frac{1}{2})] cdot frac{2}{3} + (frac{1}{4} + frac{1}{3}) Soluzione frac{98+3}{42} cdot

Definizione Se (Omega, ar{A}, P) è uno spazio di probabilità , una variabile aleatoria (scalare) è una funzione X: Omega o mathbb{R} tale che {omega in Omega: X(omega) le t} in ar{A} per ogni t in mathbb{R}

Legge binomiale B(n, p) ( n in mathbb{N} , p in [0,1] ) p(k) = {(((n),(k)) p^k (1-p)^{n-k}, quad "se " k in {0, 1, ldots, n}),(0, quad "altrimenti"):} Densità  ipergeometrica p(k) = {(frac{((b),(k)) c

Definizione Se (Omega, bar{A}, P) è uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria vettoriale X è una funzione X: Omega o mathbb{R}^n X(omega) = (X_1(omega), X_2(omega), ldots, X_n(omega)) dove ogni componente è una variabile al...

Valore atteso Definizione Data una variabile aleatoria discreta X che può assumere i valori x_1, x_2, ldots, x_k, ldots , si dice che X ha speranza matematica finita se e solo se sum_{k} |x_k| p(x_k) < +infty ( p è la den

Esercizio sui sistemi di equazioni per la prima superiore. Si chiede di determinare l'et? del nonno e del nipote.

Calcolare                lim_{n o +infty}{sqrt{n+1}-sqrt{n}}/{n}   Razionalizzando il numeratore:   {sqrt{n+1}-sqrt{n}}/{n}=1/(n(sqrt{n+1}+sqrt{n})) . Dunque lim_{n o +infty}{sqrt{n+1}-sqrt{n}}/{n}= lim_{n o +infty}1/(n(sqrt{n+1}+

Calcolare     lim_{n o +infty}n( n^(-1/n)-1)   Grazie alla nota identità  x=e^(log x) (per x>0 ) si ha n^(-1/n)=e^(log (n^(-1/n)))=e^((-log n)/n) . Sapendo che (log n)/n o 0 se n o +infty          (1) riscrivo il termine generale come

Risolvere la seguente equazione 3^(x+2)-3^(1-x)-26=0 Applicando le note regole delle potenze, possiamo scrivere l'equazione in questo modo 9*3^x-3*3^(-x)-26=0 9*3^x-3/3^x-26=0 Poniamo 3^x=t ricordando t>0 e moltiplichiamo ambo i membri per t 9t^...

Data la parabola di equazione y=x^2-4 trovare l'equazione della retta orizzontale che interseca la conica formando una corda di lunghezza sqrt5 Il ragionamento è questo: anzitutto ricordiamo che una retta orizzontale generica è del tipo...

Si consideri la funzione f_{X}(x) = {(gamma^2 - frac{16}{9}x^2, "se " -frac{3}{4} gamma le x < frac{3}{4} gamma),(0, "altrimenti"):} in cui gamma è un numero reale positivo.a) Determinare il valore gamma per cui f_{