Documenti didattici di Matematica

Una mini guida con i comandi più usati del software opensource Geogebra GeoGebra è un programma adatto per l'apprendimento di geometria, algebra e analisi. Sviluppato da Markus Hohenwarter presso la Florida Atlantic University, per la didattica de...

Svolgimento: Eseguendo la divisione si ha (2m^(p+2)-6m^(p+1)):(2m^p)=m^2-3m=m(m-3) .

Svolgimento: [(x^2-1/2xy)(2x^2+xy)-1/2(2x^2)^2]^2:(-3/4xy^2)+x^3(1/3y-x)(3x+y)= =[2x^4+x^3y-x^3y-1/2x^2y^2-1/2(4x^4)]^2:(-3/4xy^2)+x^3(xy+1/3y^2-3x^2-xy)= =[2x^4-1/2x^2y^2-2x^4]^2:(-3/4xy^2)+1/3y^2x^3-3x^5= =[-1/2x^2y^2]^2:(-3/4xy^2)+1/3y^2x^3...

Svolgimento: Eseguendo le divisioni si ha (4a^2b^3-3ab):a+(3b^2-2ab^4):b=4ab^3-3b+3b-2ab^3= Semplificando i termini simili otteniamo il risultato finale: 2ab^3

Svolgimento: (3x^4-2x^2+x^3):x^2-(3x+1)x=3x^2-2+x-3x^2-x= Semplificando i termini simili otteniamo il risultato finale: -2 .

Svolgimento: (a+2)(a+5)-(21a^2+30a):(3a)=a^2+5a+2a+10-7a-10= Semplificando i termini simili si ha che l'espressione letterale ha valore: a^2

Svolgimento: (x+1)^2+x(x+1)-2(x-1)^2=x^2+1+2x+x^2+x-2(x^2-2x+1)= =2x^2+3x+1-2x^2-2+4x=7x-1 .

Svolgimento: Sviluppando i prodotti notevoli si ha (a-b)(a+b)-(3a-b)(3a+b)=(a^2-b^2)-(9a^2-b^2)= =a^2-b^2-9a^2+b^2=-8a^2

Svolgimento: Sviluppando i prodotti notevoli e svolgendo i prodotti si ha (x^2+2y^2)^2-(3x^2-4y^2)(3x^2+4y^2)-(3xy)^2=x^4+4y^4+4x^2y^2-(9x^4-16y^4)-9x^2y^2= =x^4+4y^4+4x^2y^2-9x^4+16y^4)-9x^2y^2= Semplificando i termini simili =-8x^4+20y^4-5x^2y...

Svolgimento: Sviluppando i quadrati e svolgendo i prodotti (1/2x^2-3y)^2-(x^2-1/2y)^2-7y(5/4y-2/7x^2)=1/4x^4+9y^2-3x^2y-(x^4+1/4y^2-x^2y)-(35)/4y^2-2x^2y= =1/4x^4+9y^2-3x^2y-x^4-1/4y^2+x^2y)-(35)/4y^2-2x^2y= Semplificando i termini simili ottenia...

Svolgimento: -9x^4-20y^4+12x^2y^2=-(3x^2+2y^2)^2-(4y^2)^2

Svolgimento: Possiamo procedere in questo modo: lim_{xto infty}(ln(1+x))/(ln(3+x))=lim_{xto infty}(ln[x(1/x+1)])/(ln[x(3/x+1)])= =lim_{xto infty}(ln(x)+ln(1/x+1))/(ln(x)+ln(3/x+1))=1 (l'ultimo rapporto scritto tende ad 1 perchè possiamo dividere...

Svolgimento: Possiamo procedere ponendo y=x^2-1 . Avremo dunque lim_{xto infty}(x^2/(x^2-1))^(x^2-1)=lim_{yto infty}(1+1/y)^y=e .

Svolgimento: log_x(root(3)(3^(-4)))=-2/9=-2/9*1=-2/9*log_x(x)=log_x(x^(-2/9)) Quindi si ha root(3)(3^(-4))=x^(-2/9) ; 3^(-4/3)=x^(-2/9) ; x=(3^(-4/3))^(-9/2)=3^((36)/6)=3^6=729 .

Svolgimento: sostituendo -x=y si ha lim_{xto 0}(ln(1-x))/x=lim_{yto 0}(ln(1+y))/(-y)=lim_{yto 0}-((ln(1+y))/y)=-1 . In questo ultimo passaggio è stato utilizzato il limite notevole lim_{zto 0}(ln(1+z))/z=1

Svolgimento: y=1/(sqrt(x^3))=x^(-3/2) Ora procediamo a calcolare la derivata seguendo la normale regola di derivazione Essendo y=x^(-3/2)=>y'=-3/2*x^(-3/2-1)=-3/2*x^(-5/2)=3/(2(sqrt(x^5))) .

Svolgimento: Scomponendo otteniamo sqrt(a^2(b^2-16))=sqrt(a^2(b-4)(b+4)) Ora dobbiamo distinguere due casi: 1)se a=0 , per la legge di annullamento del prodotto, il radicando è zero quindi il radicale esiste ed è zero anch'esso. 2)se a!=0=>a^2&g

Svolgimento: Moltiplichiamo numeratore e denominatore per sqrt(1+cosx) . cosi otteniamo (sqrt(1-(cosx)^2))/(xsqrt(1+cosx)) cioè, (sqrt(sinx)^2)/(xsqrt(1+cosx)) Essendo (sqrt(sinx)^2)=|sinx| si ha lim_{xto 0^-}(|sinx|)/(xsqrt(1+cosx))=lim_{xto...

Svolgimento: 2(sen(2x)+3)-1=3(1-sen(2x))+2 ; 2sen(2x)+6-1=3-3sen(2x)+2 ; 2sen(2x)+3sen(2x)=-6+1+3+2 ; 5sen(2x)=0 ; sen(2x)=0=>2x=kpi=>x=k(pi)/2 .

Svolgimento: 5^(2x-1)=4+5^(x-1)=(5^(2x))/5=4+(5^(x))/5=5^(2x)=20+5^x Sostituiamo t=5^x , in modo da ottenere un equazione di secondo grado in t t^2-t-20=0 Le soluzioni di tale equazione sono: t_1=5,t_2=-4 (noi considereremo solo t_1 , poic...