Serie: Studiare la convergenza della serie sum_{n=0}^(+infty) (-1)^n(n+1)/nsin(1/n)

Studiare la convergenza della serie

∑_n=1^+∞ (-1)^{n   n+1}/_n sin ( ¹/_n ).

soluzione. Si ha facilmente

lim_x→+∞   ^{sin ( 1/_x )}/_x = 1

da cui

lim_x→+∞   ^x+1/_x sin( ¹/_x ) = 0.

Quindi

                                              ⁿ⁺¹/_n sin ( ¹/_n )

è infinitesima; inoltre la funzione

f(x) = ^x+1/_x sin ( ¹/_x )

decresce se x ≥ 1. Infatti

f’(x) = - ¹/_x² sin ( ¹/_x ) - ^x+1/_x³ cos ( ¹/_x ) < 0

se x ≥ 1. La serie data allora converge per il criterio di Leibniz.