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Studiare la convergenza della serie

somma da n=1 a infinito di (-1)n n + 1/n sin(1/n).

Soluzione

Si ha facilmente

lim x -> +infinito sin(1/x)/(1/x) = 1

da cui

lim x -> +infinito (x + 1)/x sin(1/x) = 0.

Quindi

(n + 1)/n sin(1/n)

è infinitesima; inoltre la funzione

f(x) = (x + 1)/x sin(1/x)

decresce se x >= 1. Infatti

f'(x) = -1/x2 sin(1/x) - (x + 1)/x3 cos(1/x) < 0

se x >= 1. La serie data allora converge per il criterio di Leibniz.

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Serie: Studiare la convergenza della serie sum_{n=0}^(+infty) (-1)^n(n+1)/nsin(1/n) Pag. 1
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