Derivate parziali 1

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni

2

(1) f (x, y) = y − log (x + y );

y 2

(2) f (x, y, z) = x + z ;

z

(3) f (x, y, z) = (xy) ;

p 2 2

(4) f (x, y) = x + y ;

4

(5) f (x, y) = sin(y cos(3x));

2 3

−x arctan(2y )

(6) f (x, y) = e ;

3 2 4

(7) f (x, y, z) = x cos(y z );

3 6 4

(8) f (x, y, z) = z log(1 + x y );

4 3 −z

(9) f (x, y, z, t) = t cos x + y e .

soluzione.

(1) ∂f ∂f

1 2y .

(x, y) = − (x, y) = 1 −

2 2

∂x x + y ∂y x + y

(2) ∂f ∂f

∂f y−1 y

(x, y, z) = yx (x, y, z) = x log x (x, y, z) = 2z.

∂x ∂y ∂z

(3) ∂f ∂f ∂f

z z−1 z z−1 z

(x, y, z) = y zx (x, y, z) = x zy (x, y, z) = (xy) log (xy).

∂x ∂y ∂z

(4) ∂f

∂f x y .

(x, y) 6 = (0, 0) =⇒ (x, y) = (x, y) =

p p

∂x ∂y

2 2 2 2

x + y x + y

Se (x, y) = (0, 0), allora calcoliamo direttamente

f ((0, 0) + t(1, 0)) − f (0, 0) |t|

lim = lim ,

t t

t→0 t→0

che non esiste. Dunque f non è derivabile in (0, 0).

(5) ∂f ∂f

4 4 4 3

(x, y) = −3 cos(y cos(3x))y sin(3x) (x, y) = cos(y cos(3x))4y cos(3x).

∂x ∂y

(6) 2

∂f −x

∂f 2 3 2 3 2

−x arctan(2y ) 3 −x arctan(2y ) 6y .

(x, y) = e (−2x) arctan(2y ) (x, y) = e 6

∂x ∂y 1 + 4y

(7) ∂f ∂f

2 2 4 3 4 2 4

(x, y, z) = 3x cos(y z ) (x, y, z) = −2yx z sin(y z )

∂x ∂y

∂f 3 2 3 2 4

(x, y, z) = −4x y z sin(y z ).

∂z