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Dimostrare che la serie

∑n=2+\infty 1/[n(log n)q]

converge se q > 1 e diverge positivamente se q <= 1.

Soluzione

La funzione f : [2, +infinito) -> R data da

f(x) = 1/[x(log x)q]

è continua, positiva per ogni x >= 2, ed è derivabile con

f'(x) = -[(log x)q + q(log x)q-1]/[x2(log x)2q] = -(log x)q-1[log x + q]/[x2(log x)2q].

Osserviamo quindi che f risulta decrescente per x >= e-q; quindi il comportamento della serie data equivale al comportamento di

∫2+infinito f(x) dx.

Sostituendo log x = t si ha

∫log 2+infinito 1/tq dt

il quale converge se e solo se q > 1, mentre diverge positivamente se q <= 1.

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Serie: Dimostrare che sum_{n=2}^(+infty)1/(n(logn)^q) converge se q>1 e diverge posit. se q Pag. 1
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