Serie: Dimostrare che sum_{n=2}^(+infty)1/(n(logn)^q) converge se q>1 e diverge posit. se q

Dimostrare che la serie

∑_n=2^+∞ 1/(n(log n)^q)

converge se q > 1 e diverge positivamente se q ≤ 1.

soluzione. La funzione f : [2, +∞) → R data da

f(x) = 1/(x(log x)^q)

è continua, positiva per ogni x ≥ 2, ed è derivabile con

f'(x) = - (log x)^q + q(log x)^q−1

x²(log x)^2q = -(log x)^q−1 log x + q

x²(log x)^2q.

Osserviamo quindi che f risulta decrescente per x ≥ e^−q; quindi il comportamento della serie data equivale al comportamento di

₂^+∞f(x)dx.

Sostituendo log x = t si ha

₂^+∞f(x)dx = _{log 2}^+∞ 1

t^qdt

il quale converge se e solo se q > 1, mentre diverge positivamente se q ≤ 1.