Serie: Sia S la somma della serie sum_{n=1}^(+infty)((-1)^n4pi^(2n-1))/(2n!).Calcolare piS

Sia S la somma della serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}4n^{2n-1}}{(2n)!}.\]

Calcolare \(\pi S\).

Soluzione. Si ha

\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}4n^{2n-1}}{(2n)!}=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}\pi^{2n}}{(2n)!}=\]

\[=\frac{4}{\pi}(\cos \pi-1)=-\frac{8}{\pi}.\]

Quindi \(\pi S=-8\).