Serie: Studiare, al variare dilambda in RR, il carattere della serie sum_{n=1}^(+infty)lambda^(2n)/n^2

Revisionato il 26/10/2026

di lussardi

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Analisi del carattere della serie ∑ λ^(2n)/n² al variare di λ reale: con il criterio della radice converge per |λ| < 1 e, per λ = ±1, si riduce alla serie armonica generalizzata di esponente 2, quindi convergente.

…continua

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Algebra

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Studio della serie

Studiare, al variare di α in R, il carattere della serie:

∑_n=1^∞ α²ⁿ/n².

Soluzione. Si ha che

lim_n→+∞ √α²ⁿ/n² = α² (lim_n→+∞ √n²)^-1 = α².

Dunque, per il criterio della radice, si ha convergenza se α² < 1, cioè con -1 < α < 1, e non si ha convergenza per α² > 1, cioè con α > 1 e α < -1. Il caso α = ±1 va studiato a parte. Inserendo tali valori nella serie si ha

∑_n=1^∞ 1/n²

che converge, siccome 2 > 1.

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