Derivate parziali 3

Sia xy

 (x, y) 6 = (0, 0)

 p 2 2

x + y

f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0).



Verificare che f è continua e derivabile ovunque, ma non è differenziabile in (0, 0).

Si ha

soluzione. 2 2 1

1 x + y

xy p 2 2

=

≤

0 ≤ x + y .

p p

2 2

2 2 2 2

+ y + y

x x

Dal teorema del confronto, si deduce che f è continua in (0, 0); altrove è composizione di funzioni

continue, dunque continua. Inoltre, sempre per lo stesso motivo, f è sicuramente derivabile in

(x, y) 6 = (0, 0). Ora f (t, 0) − f (0, 0)

∂f (0, 0) = lim = 0,

∂x t

t→0

∂f f (0, t) − f (0, 0)

(0, 0) = lim = 0.

∂y t

t→0

Allora f è derivabile parzialmente anche in (0, 0). Andiamo a controllare se il differenziale è

quindi l’applicazione nulla (come solo quella potrebbe essere); calcoliamo allo scopo

xy

√ − f (0, 0) xy

2 2

x +y = lim

lim 2 2

p x + y

2 2

x + y |(x,y)|→0

|(x,y)|→0

il quale non esiste. Infatti lungo la retta y = mx si ha

m

xy = .

2 2 2

x + y 1 + m

Ne segue che f non è differenziabile in (0, 0).