Derivate parziali 3

Continuità e differenziabilità di f

Sia

f(x, y) = \[ \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0),\\ 0 & (x, y) = (0, 0). \end{cases} \]

Verificare che f è continua e derivabile ovunque, ma non è differenziabile in (0, 0).

Soluzione

\[ 0 \leq \dfrac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \dfrac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}. \]

Dal teorema del confronto, si deduce che f è continua in (0, 0); altrove è composizione di funzioni continue, dunque continua.

Inoltre, sempre per lo stesso motivo, f è sicuramente derivabile in (x, y) ≠ (0, 0).

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t, 0)-f(0, 0)}{t} = 0, \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0, t)-f(0, 0)}{t} = 0. \]

Allora f è derivabile parzialmente anche in (0, 0).

Andiamo a controllare se il differenziale è quindi l’applicazione nulla (come solo quella potrebbe essere); calcoliamo allo scopo

\[ \lim_{|(x,y)| \to 0} \frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{|(x,y)| \to 0} \frac{xy}{x^2+y^2}, \]

il quale non esiste. Infatti lungo la retta y = mx si ha

\[ \frac{xy}{x^2+y^2} = \frac{m}{1+m^2}. \]

Ne segue che f è non differenziabile in (0, 0).