Appunti con esercizi e dimostazioni algebra e geometria lineare

Appunti di Algebra e geometria lineare basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. De Mari dell’università degli Studi di Napoli Federico II - Unina, Facoltà di ingegneria, Corso di laurea in ingegneria meccanica. Scarica il file in formato PDF!

contenuti:
Strutture algebriche - Cenni di teoria degli insiemi. Relazioni di equivalenza e relazioni d'ordine. Applicazioni tra insiemi. Applicazioni iniettive, suriettive e biettive. Applicazioni invertibili e loro caratterizzazione. Inversa di un'applicazione. Operazioni in un insieme e loro proprietà. Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi.

Spazi vettoriali - Spazi vettoriali su un campo. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati da sottoinsiemi. Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Sistemi di generatori e spazi vettoriali finitamente generati. Basi. Caratterizzazione delle basi come parti libere massimali e come sistemi di generatori minimali. Il lemma di Steinitz. Esistenza ed equipotenza delle basi (con dimostrazione solo nel caso di spazi vettoriali finitamente generati). Componenti di un vettore in una base. Estrazione di una base da un sistema di generatori ed estensione a base di un sistema di vettori indipendente. Dimensione di uno spazio vettoriale. Relazioni tra la dimensione dello spazio vettoriale e quella di un suo sottospazio. La formula di Grassmann (senza dimostrazione).

Matrici - Matrici su un campo. Operazioni tra matrici e loro proprietà. Matrici a scala. Algoritmo di Gauss ed algoritmo di Gauss-Jordan. Determinante di una matrice quadrata e Primo Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Il Secondo Teorema di Laplace. Il teorema di Binet (senza dimostrazione). Metodi di calcolo del determinante. Matrici invertibili e gruppo lineare. Matrici elementari e caratterizzazione delle matrici invertibili in termini di matrici elementari. Calcolo della matrice inversa con l'uso delle matrici elementari. Caratterizzazione delle matrici invertibili in termini di determinante. Calcolo della matrice inversa col metodo della matrice aggiunta. Dipendenza lineare nello spazio vettoriale numerico e rango di una matrice. Il teorema degli orlati.

Sistemi lineari - Generalità sui sistemi lineari. Soluzioni di un sistema lineare, sistemi equivalenti e ricerca delle soluzioni di un sistema lineare. Il teorema di Rouché-Capelli e il teorema di Cramer. I sistemi lineari omogenei e il sottospazio delle soluzioni. Caratterizzazione dei sottospazi dello spazio vettoriale numerico come tutti e soli gli spazi delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.

Applicazioni lineari - Applicazioni lineari e loro proprietà. Il teorema fondamentale delle applicazioni lineari. Caratterizzazione delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Teorema della dimensione. Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. Matrice associata ad un'applicazione lineare e applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice del cambio di base. Isomorfismo coordinato.

Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici - Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore e loro relazione. Diagonalizzabilità di un endomorfismo. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili in termini di radici del polinomio caratteristico: il teorema spettrale. Matrici diagonalizzabili.

Spazi euclidei e diagonalizzazione ortogonale - Prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei reali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione). Il teorema di Pitagora. Insiemi ortogonali e ortonormali. Basi ortonormali e processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi ortogonali. Complemento ortogonale di un sottospazio. Endomorfismi simmetrici di uno spazio euclideo e loro diagonalizzazione ortogonale (senza dimostrazione). Matrici simmetriche e loro diagonalizzazione ortogonale.

Geometria analitica nel piano e nello spazio - Vettori liberi nel piano e nello spazio. Spazi affini. Sottospazi affini e loro caratterizzazione (senza dimostrazione). Riferimenti affini. Rappresentazione parametrica ed equazioni cartesiane di rette e piani (nel piano e nello spazio affine euclideo). Condizioni di parallelismo ed ortogonalità. Posizioni reciproche tra rette e piani. Fasci di rette nel piano. Fasci di piani nello spazio. Comune perpendicolare tra rette nello spazio. Distanze. Ampliamento proiettivo del piano affine euclideo e coordinate omogenee. Le coniche e loro classificazione. Centro, diametri, asintoti e assi di una conica. Riduzione a forma canonica dell'equazione di una conica.

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher luigi.limelli1 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e geometria lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof De Mari Fausto.
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  • 28-01-2016

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