Algebra lineare, le operazioni con i numeri immaginari

Appunti algebra lineare

I numeri complessi

LE OPERAZIONICON I NUMERI IMMAGINARI

• Esercizi svolti

1. \(\left(2 - \frac{3}{4}i\right)(1+i) - \frac{1}{3}(2+i)(2-i) + \left(1 + \frac{1}{2}i\right)^2\)

2. 1. a. \(\frac{1-3i}{1+i}\)
   2. b. \(\frac{5+2i}{3-5i}\)

3. \(\left(\frac{3}{5} - i\right)\left(5+i\right) + \frac{1+i}{2-i}\)

• Equazioni
• x² - 2x + 10 = 0
• 2x² - 3x + 10 = 0
• x² + 5 = 0
• x² + 5x + 6 = 0
• Teorema fondamentale dell'algebra

Gennaio 2022

Appunti algebra lineare

I numeri complessi

LE OPERAZIONI CON I NUMERI IMMAGINARI

• Esercizi svolti

  1. \( \left( 2 - \frac{3}{4} i \right) (1 + i) - \frac{1}{3} (2 + i)(2 - i) + \left( 1 + \frac{1}{2} i \right)^2 \)

  2. a. \( \frac{1-3i}{1+i} \)

  3. b. \( \frac{5+2i}{3-5i} \)

  4. \( \left( \frac{3}{5} - i \right) \left( \frac{5}{3} + i \right) - \frac{1+i}{2-i} \)

• Equazioni
  • \( x^2 - 2x + 10 = 0 \)
  • \( 2x^2 - 3x + 10 = 0 \)
  • \( x^2 + 5 = 0 \)
  • \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)
• Teorema fondamentale dell'algebra

Gennaio 2022

LE OPERAZIONI

CON I NUMERI IMMAGINARI

1. \( \left( -\frac{3}{4}i \right) (1+i) + \frac{1}{3}(2+i)(2-i) + \left(1 + \frac{1}{2}i \right)^{2} \)

Eseguiamo i prodotti e sviluppiamo il quadrato con la solita regola che riguarda i binomi:

\( 2 + 2i - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}i = \frac{1}{4}(4-Pi) + 1 + i = 2 + 2i - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}i = 2 + 2i - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \frac{1}{4} + i = \)

\( = 2 + 2i - \frac{3}{4} + \frac{5}{4} + 1 = \frac{11}{6} + \frac{9}{4}i \)

2. a. \( \frac{1-3i}{1+i} = \frac{(-3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{-2 - 4i}{2} = -1 - 2i \)

b. \( \frac{5 + 2i}{3 - 5i} = \frac{(5 + 2i)(3 + 5i)}{(3 - 5i)(3 + 5i)} = \frac{5 + 31i}{34} = \frac{31}{34}i \)

3. \( \left(\frac{3}{5}i - 1\right) \left(\frac{3}{5}i + 1\right) \frac{1+i}{2-i} \)

Eseguiamo il prodotto e, per eseguire la divisione, moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per il complesso coniugato di \( 2-i \), cioè \( 2+i \):

\( \frac{9}{25} - (1+i)(2+i) \left(\frac{1}{2-i}(2+i)\right) - \frac{2 + i + 2i + i^{2}}{4-i^{2}} = \frac{34}{25} - \frac{2 + 3i-1}{4 + 1} = \frac{34}{25} - \frac{1 + 3i}{5} = \)

\( = -\frac{34}{5} - 15i \approx \frac{39}{25} + \frac{3}{5}i \)

Equazioni

• \( x^{2} - 2x + 10 = 0 \) ha soluzione \( x = 1 \pm \sqrt{1-10} = 1 \pm \sqrt{-9} = 1 \pm 3i \)
• \( 2x^{2} - 3x + 10 = 0 \) ha soluzione \( x = \frac{3 \pm \sqrt{9-80}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{-71}}{4} = \frac{3 \pm i\sqrt{71}}{4} \)
• \( x^{2} + 5 = 0 \) ha soluzione \( x = \pm \sqrt{-5} = \pm \sqrt{5}i \)
• \( x^{2} + 5x + 6 = 0 \) ha soluzione \( x = \frac{-5 \pm 1}{2} = -3 \) e \( x = -2 \)

Ricordiamo il seguente

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni equazione algebrica di grado n ammette, nell'insieme dei numeri complessi, n soluzioni se ciascuna viene contata con la sua molteplicità.

Se un'equazione si può scrivere nella forma (x - a)ⁿ = 0 si dice che la soluzione a ha molteplicità n.

Ad esempio l'equazione (x + 1)²(3x - 1)(x² + 4)³ = 0, che è di nono grado e che si risolve applicando la legge di annullamento del prodotto, cioè: (x + 1)² = 0 ∨ (3x - 1) = 0 ∨ (x² + 4)³ = 0, ha come soluzioni:

• -1 con molteplicità due, cioè la soluzione -1 deve essere contata due volte perché l'equazione di secondo grado (x + 1)² = 0 ha due soluzioni coincidenti;
• 1/3 con molteplicità uno;
• 2i e -2i ciascuna con molteplicità tre, perché x² + 4 = 0 se x = ±√-4 ma ciascuna soluzione deve essere contata tre volte.

In totale abbiamo nove soluzioni.

se un'equazione a coefficienti reali ammette fra le sue soluzioni numeri non reali, queste sono sempre a due a due numeri complessi coniugati.

un'equazione di grado n, ammette sicuramente almeno una soluzione reale se n è dispari.