Algebra lineare le formule di Eulero, esercizi di riepilogo

Appunti di algebra lineare

I numeri complessi

Esercizi vari e le formule di Eulero sono argomenti fondamentali in questa sezione. Di seguito vengono presentati alcuni esercizi svolti a Gennaio 2022.

Le formule di Eulero

Prima formula di Eulero: e^iθ = cos θ + i sen θ
Seconda formula di Eulero: e^-iθ = cos θ - i sen θ
Terza formula di Eulero: cos θ = ^{eiθ + e-iθ}/₂
Quarta formula di Eulero: sen θ = ^{eiθ - e-iθ}/_2i

Esempio 1

Verifica di una identità: cos 2θ = cos²θ - sen²θ
Primo membro: cos 2θ = ^{e2iθ + e-2iθ}/₂
Secondo membro: cos²θ - sen²θ = (^{eiθ + e-iθ}/₂)² - (^{eiθ - e-iθ}/_2i)² == ^{(eiθ + e-iθ)2}/₄ - ^{(eiθ - e-iθ)2}/_4i² == ^{e2iθ + e-2iθ + 2 eiθ e-iθ}/₄ - ^{e2iθ - 2 eiθ e-iθ + e-2iθ}/_-4 == ^{e2iθ + e-2iθ + 2}/₄ - ^{e2iθ - 2 + e-2iθ}/_-4 == ^{e2iθ + e-2iθ + 2}/₄ + ^{e2iθ + e-2iθ - 2}/₄ == ^{2 e2iθ + 2 e-2iθ}/₄ = ^{e2iθ + e-2iθ}/₂
Il secondo membro è uguale al primo membro: l'uguaglianza è verificata.

Esempio 2

Calcolo del prodotto e trasformazione in forma algebrica:
z₁ = ³/₅ (cos ^π/₂ + i sin ^π/₂)
z₂ = ²/₃ (cos ^π/₄ + i sin ^π/₄)
Sappiamo che |z₁ ⋅ z₂| = ρ₁ ⋅ ρ₂. Nel nostro caso, il modulo del prodotto è ³/₅ ⋅ ²/₃ = ²/₅
L'argomento del prodotto è la somma degli argomenti dei due numeri; nel nostro caso:
ψ = ^π/₂ + ^π/₄ = ³/₄ π
Allora z₁ ⋅ z₂ = ²/₅ ( - ^√2/₂ + ^√2/₂ i ) = - ^√2/₅ + ^√2/₅ i

Esercizi di riepilogo sulle operazioni tra complessi

• Esprimi mediante un numero immaginario i seguenti radicali.

√-16 = √-1 · √16 = ±4i
√(-4/9) = -√4/9 = ±2/3 i
√75 = √-1 · 75 = ±5i√32

Esegui le operazioni indicate:
(5 − 4i) − (2 + 3i) + (4 − i)
Togliamo le parentesi: 5 − 4i − 2 − 3i + 4 − i
Sommiamo le parti reali e poi quelle immaginarie: (5 − 2 + 4) + (−4 − 3 − 1)i
7 − 8i

Calcola il prodotto: 3(2 + 3i)(4 − 5i)
Moltiplichiamo: 8 + 12i − 10i − 15i²
Ricordando i valori delle potenze di i: 8 + 2i + 15 = 23 + 2i

Svolgi le potenze indicate:
(2 + 5i)² = 4 + 25i² + 20i = 4 − 25 + 20i = 20i − 21
(1 − 2i)³