Algebra lineare le radici ennesime dei numeri complessi

Appunti algebra lineare

I numeri complessi

Radici di un numero complesso

Esempi svolti

Gennaio 2022

Esempio 1

Calcola le radici terze del numero complesso 2 − 2i ed esprimile sia in forma trigonometrica sia in forma algebrica.

Scriviamo il numero complesso 2 − 2i in forma trigonometrica:

2 − 2i = 2√2(cos 315° + i sen 315°)

Da cui:

√³2 − 2i = √³2√2 [cos (315°/3 + k360°/3) + i sen (315°/3 + k360°/3)]

= √²3 [cos (105° + k 120°) + i sen (105° + k 120°)] con k = 0, 1, 2

Le tre radici richieste sono:

• √²(cos 105° + i sen 105°)
• √²(cos 225° + i sen 225°)
• √²(cos 345° + i sen 345°)

Volendo poi scrivere le tre radici in forma algebrica, occorre osservare che:

• cos 105° = cos (180° − 75°) = −cos 75° = −√6 − √2 / 4 = √2 − √6 / 4
• sen 105° = sen (180° − 75°) = sen 75° = √6 + √2 / 4
• cos 225° = cos (180° + 45°) = −cos 45° = − √2 / 2
• sen 225° = sen (180° + 45°) = −sen 45° = − √2 / 2
• cos 345° = cos (360° − 15°) = cos 15° = sen 75° = √6 + √2 / 4
• sen 345° = sen (360° − 15°) = −sen 15° = −cos 75° = √2 − √6 / 4

Sostituendo e svolgendo i calcoli, si hanno le radici richieste in forma algebrica:

• 1 − √3 / 2 + i 1 + √3 / 2
• −1 − i
• 1 + √3 / 2 + i 1 − √3 / 2

Riportiamo in figura la rappresentazione delle radici: i punti associati sono i vertici del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro O e raggio OP₁ = OP₂ = OP₃.

Esempio 2

z³ + 27 = 0

Trasportando il termine noto al secondo membro otteniamo l'equazione z³ = -27, le cui soluzioni complesse sono le radici terze di -27.

Scriviamo -27 in forma trigonometrica:

-27 = 27(cos π + i sen π)

Pertanto è:

∛-27 = ∛27 (cos π/3 + i sen π/3)

Le tre soluzioni dell’equazione data sono, quindi:

• z₁ = 3
• z₂ = 3/2 - i√3/2
• z₃ = 3/2 + i√3/2

La formula per le radici n-esime di z

ω = ∛p [cos(ϑ/n + 2kπ/n) + i sin(ϑ/n + 2kπ/n)] con k ∈ Z

Esempio 3

Calcoliamo i cinque valori di ∛√-2.