Teoria di Geometria

In questo file ci sono tutti gli esercizi di teoria di Geometria, svolti e spiegati con alcuni esempi sopra/vicino all’esercizio stesso, molto utile per passare l’esame (visto che bisogna prendere minimo 6 punti).

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ghigi Alessandro

Università Università degli Studi di Pavia

Publisher balduz

A.A. 2023-2024

29 pagine

Prove svolte

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Estratto del documento

T

0 2 0

0 0 0 I.it

1 0 1

ask.esa.aao.fm.ae

0 1 1

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1 1 0 i

0 1 1 ie

0 0 0

fi i.it

i | righe

colonne

diventano

! ! ✓ ◆ ✓ ◆

00 9

1 0 0 0 1 0

0111 1 2 1/2 3/2

0 1 1 1 0 0 2 1 3/2 1/2

0 1 1 0 0 1 semiescela

per IaiIogh

a4iioiuia

moltipligggonfalaca.ge

101 mangia

È otogonare

! ! ✓ ◆ ✓ ◆

1 1 0 0 0 1 11

1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 0 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 0 15910 pg.li

0 1 !

1 1 ✓ ◆ ✓ ◆

p p 0 1 0

2 2 1 0 1/2 3/2

@ A p

0 1 0 1 0 0 0 1 1/2 3/2

1 1 0 0 1

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0 1 1 0 0 2 1 1

p p

1 1 2 2

0 1 1 2 0 0 1 1

1 1 p p

1 0 0 0 1 0 2 2

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1 1

R R

3 2

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L : L =

0 1

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1 2

L =

1 2

1 !

L 2 Ker L

1 ✓ ◆

Ker L = Span 1 ⇢

Span Im L

1 ! ✓ ◆

1 1

R R

3 2

| !

L : L =

0 1

! ✓ ◆

1 2

L =

1 2

1 dim Ker L = 2 L

✓ ◆ ✓ ◆

1 1 2

Im L = Span Im L

1 1 !

✓ ◆ 1

R R

2 3

| !

L : L = 0

1 0

✓ ◆ 0

L = 0

2 1 !

1 L

Im L = Span 0

1 !

✓ ◆

1 2 Im L

Ker L = Span 0 1 !

✓ ◆ 1

R R

2 3

| !

L : L = 0

1 0

✓ ◆ 0

L = 0

2 1 !

x L

{ |

Im L = y = 0}

z ✓ ◆

3 62 Ker L

dim Ker L = 1 1 R 7

U W dim U =

FMU.IR

t dimtw

dim W = 4 U W

0 1 2 3 5

R 8

U W dim U = 4

Chu 8

tipo se

dim W = 3 U W 0

4 87

3 0 1 2 3 4

il è

esce

quando risultato 0 R 5

U W dim U =

dim W = 4 U W

i 0 1 2 3 5

R 11

U W dim U = 6

dim W = 7 U W

0 1 3 2 4

⇥

AX = B A 4 3

B = 0 X = 0 A

4 3

rg A B

rg(A|B) = 4

1 2 3

2 |A |A

B Span(A ) ⇥

AX = B A 3 4

B = 0 X = 0 A

3 4

rg A B

rg A = 3 1 2 3 4

2 |A |A |A

B Span(A ) ⇥

AX = B A 3 3

B = 0 X = 0 A

3 3

rg A B

rg(A|B) = 3

1 2 3

2 |A |A

B Span(A ) ⇥

AX = B A 3 3

B = 0 X = 0 A

3 3

B rg(A|B)

rg(A) = 3 1 2 3

2 |A |A

B Span(A ) 00

| ⇥

A 3 3 det A = 2 1

T 3 1

sièèiPaanatezza

det A = 2 det A = 8 det 2A = 4 det A =

samba 2 112

sarebbe

| ⇥

A 3 3 det A = 3 1

T 3 1

det A = 3 det A = 9 det 2A = 24 det A =

307 3

27307

dette 1

313 detr

3 ok

| ⇥

A 2 2 det A = 3

sepzdffaiilsgeg.gg 1

T 1

det A = 3 det( A) = 3 det 2A = 6 det A = Ok

224

3 120

| ⇥

A 2 2 det A = 2

1 1

T 1

det A = det( A) = 2 det 2A = 8 det A =

2 2

20k

detta 4 2 8

dette 2 or | ⇥

n n

sia

reali

sia dei a

sul Liv

numeri

campo

unospazio vettoriale ER

1 2

è di

reale

lineare detto seesiste

autovalore

un numero

operatore 1

Liu tv

taleche dell'autovalore

è relativo

un detto

autovettose ve autovettose ⇥

n n

sia

reali

dei a Liv

sul

sia numeri

campo

unospazio vettoriale detto

ED

lineare di

L

un Lui

nonnullod

vettore

operatore autovettose se

Spanu

sia nah

di A

autovalore matrice quadrata

una

DARE di

definizione di

auto spazio relativo a e molteplicit

geometrica di 7

V1 ER In

KER

4 A

AI

molteplicità geometrica dimli

di a

A diordinen

reale

quadrata

MIR matrice

Sia una

Δ è severifica

che seguenti

delle

diciamo condizioni

una

diagonalizzabile

GLIELI

ha da A

di formata di

112

base autovettosi

A è matrice

simile

ad diagonale

una ⇥

n n

che

A diordine

reale h

quadrata

MIR matrice

Sia una

n V0

l'auto il

autovalore con

ammette spazio Coincide sottospazio

Vo Kern

A

Ker 3 2

EE

4 2 0

g di

conseguenza

soluzione quella

l'unica del nulla

sistema 3 4

EE 4 3

IEosauz

t.IE s 2 4

| ⇥

A 3 3 1

{ |

A V = x y = 0}

1 z è

simmetrica

? perché

A = 1 V = V 1

1 3

1 A

3 A T

| ⇥

A 3 3 A = A

{1, 2, 3}

A R 3 A

V , V , V

1 2 3

dim V = 1

1 T

| ⇥

A 3 3 A = A

2 3 8u 2 8w 2 hu,

V V wi = 0

2 3

dim V + dim V = 2

2 3 1

⇥

3 3 M M AM T

| ⇥

A 3 3 A = A 4 A

V = Span 1

4 1 T

M M AM

T

M M AM

A !

R 3

X A 1

n ( o

x y =0

x y =0 x + y + 2z = 2

8 8

> >

x = 2t x y = 0

< <

R

y = t +2 x + 2y + 2z = 7

> >

: :

z =0 x + z =1

n (

0 x + y + z =0

x y =0

8 x 2y + z = 0

> x = 2t + s + 1

< (

R

2 x + y + z =0

t, s

y = t

: 3x + 3y + 6z = 1

z = t + s

n 8

> x + 2y = 0

x + 2y = 0 < 2y + z = 0

: y z =0

mèi 8

> x = 2t

( R

x + 2y = 0 t

y = t +1

x + y + z =1 z = t

n ( 6x 3y + 4z = 2

x y =0

8 3x + y + 2z = 0

> x = t + s + 1

< (

R

2 6x + 2y + 4z = 2

t, s

y = 3t

: 3x + y + 2z = 0

z = t s R n

| 2

X , X

1 2

AX = B

2X 2A X = B

X X AX = 0

1 2 Y = X 3X Ker A

2 1

A X = X

1 2

R n

| 2

X , X

1 2

AX = B

X AX = B

X 2X AX = 0

1 2 Y = 2X 2X Ker A

2 1

rg A = n X = X

1 2 R n

| 2

X , X

1 2

AX = B

2X A X = 2B

X + X AX = 0

1 2 Y = X X Ker A

2 1

A R n

| 2

X , X

1 2

AX = B

X + 2X A X = 3B

1 2

2X X AX = 0

1 2 X Ker A

rg A < n ICOLONNA

IRIGA

A'B !

✓ ◆ 1 1

1 2 3

A = B = 1 0

1 1 1 1 1

01 19

AB ! !

✓ ◆ ✓ ◆ 2 1 4 2 1 2

6 4 6 1 1 2 3 1 2 1

1 2 4 2 2 1 4 4 3 4

! ✓ ◆

1 1 1 1 1

A = B =

2 1 1 0 1

3 1

O

AB ! !

✓ ◆ ✓ ◆ 2 1 4 2 1 2

6 4 6 1 1 2 3 1 2 1

1 2 4 2 2 1 4 4 3 4

! ✓ ◆

1 1 1 2 3

A = B =

1 0 1 1 1

1 1 111

AB ! !

✓ ◆ ✓ ◆ 2 1 4 2 1 2

6 4 6 1 1 2 3 1 2 1

1 2 4 2 2 1 4 4 3 4

✓ ◆ 1 1

1 1 1

A = B = 2 1

1 0 1 3 1

E

AB ! !

✓ ◆ ✓ ◆ 2 1 4 2 1 2

6 4 6 1 1 2 3 1 2 1

1 2 4 2 2 1 4 4 3 4

0 1 0 1

1 0

0 1

B C B C

U = Span( , )

@ A @ A

1 2 soluzione

una

2 1 prendo

a entrambe

? β con

U la moltiplico lasoma

0 1 0 1 0 1 0 1 se

date

1 4 1 2

1 1 1 1

B C B C B C B C per

da zero

@ A @ A @ A @ A

0 1 1 0

α entrambe

0 1 3 1

1 1 1 1 1 2

0 1 0 1 Efora

3 1

1 3

B C B C

U = Span( , )

@ A @ A

0 1

1 0 D

U

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0

E i

Ete

0 1 2 1

B C B C B C B C

È e

@ A @ A @ A @ A

1 2 7 2

1 1 1 1 I 1 end

0 1 0 1

1 0

1 2

B C B C

U = Span( , )

@ A @ A

0 1

2 1

U

0 1 0 1 0 1 0 1

1 3 2 1

0 1 0 1

B C B C B C B C

@ A @ A @ A @ A

1 1 1 1

0 1 1 3

0 1 0 1

1 3

3 1

B C B C

U = Span( , )

@ A @ A

0 1

1 0

U

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 2

0 1 0 1

B C B C B C B C

@ A @ A @ A @ A

3 2 1 7

1 1 1 1

te 11.1

3 2

⇥

A 3 3 p (t) = t + 2t t

A ETA HARIANI

I p

t = 1 A µ =1

1 È

t =1 A µ =1 H2z 1

VAI ESCUSIONE

dim Ker A = 1

X R

p (t)

q A TT III

tre EIITI.tn

⇥

A 3 3 p (t) = t + t

A soho.saaioil

t = 1 A µ =1

9ft ie calcolo

t =1 A m =2 irato

t =0 A µ =3

R

p (t)

A Info

EHI

3 2

⇥

A 3 3 p (t) = t + t

A 1

NON

t = 1 A µ =2 Nn

EEE

t =1 A µ =2 NO.PE

NO

dim Ker A = 2 R

p (t)

A I9Eseso

⇥

A 3 3 p (t) = t t

A

t =1 A µ =2

t =0 A m =1

t = 1 A µ =1

R

p (t)

A se ivea.ina

www

EE

faina

Iii

L am.mn i T

T

ÈOTTFFFFFFAGNA

adim

dimlultdim U

se co ALLORA seria

dimlaltdimm dmGI.IE

segIo

formule di

Istat grassman

L

Qicittravew se

sono dimiutcos.no

4 paleselo

ho W

ricordosoluzioni

secoldarica 81

colonna

R C 12K

| R 3

2 R 3

{(x, 2 |

y, z) x + y + z + 1 = 0} ideoghge

R 3 3

{(x, 2 |

y, z) x + y + z = 0}

0 0 1 0 1 0 1

I

1 1 3 gtII9Eo

@ @ A @ A @ A

A Ines'soso.gfipe.am

1 0 3

Span , ,

1 1 3

IEhes

R 3

{(x, 2 |

y, z) x + y + z = 2x + z = 0} R 3

1 dima

2 IIIIII

3 il

R 3

{(x, 2 |

y, z) x + y + z = 0} sistema

decisisavese

R 3

{(x, 2 |

y, z) x + y + z = 2x + z + 1 = 0}

0 0 1 0 1 1 Un'f.LILAQUI.im

1 2

@ @ A @ A A 1

1 2

Span , 3

1 2

R 3 3

{(x, 2 |

y, z) x + y + z = 0} R 4

2 R 4

{(x, 2 |

y, z, t) x + y = z + t + 1 = 0}

R 4 5

{(x, 2 |

y, z, t) x + y + z + t = 0}

TOD .fi

0 0 1 0 1 1

1 3

B B C B C C 9.7339

2 6

B B C B C C

Span ,

@ @ A @ A A

1 3 è

0 0 O

R 4

{(x, 2 |

y, z, t) x + y = z t = 0}

1 dimensione 922m

4 Zett

0 che

z si

non

annullano

R 4

3 R 4

{(x, 2 |

y, z, t) x + y +

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