Riassunto esame Algebra e geometria, Prof. Belardo Francesco, libro consigliato Geometria e algebra lineare, V. De Filippis

Geometría e Algebra

GRUPPI

(A, * ) con A insieme + operazione

1. Vale l'associatività
2. ∃ l'elemento neutro
3. ∃ il simmetrico per ogni elemento
4. Vale la commutazione → gruppo abeliano

ANELLI

(A, *₁, *₂)

1. (A, *₁) è un gruppo abeliano
2. (A, *₂) è associativo (semi gruppo)
3. Vale la distributiva

CAMPI

Esempio: (R, +, . )

È un anello in cui (A, *₂) è abeliano

SPAZIO VETTORI GEOMETRICI

(V, + ) Gruppo abeliano

— direzione —

verso

modulo

EQUIPOLLENZA

1. Stessa direzione
2. Stesso verso
3. Stesso modulo

CLASSI DI EQUIVALENZA

Sono insiemi di vettori equipollenti tra loro, ma si espande a qualsiasi insieme di elementi algebrici aventi caratteristiche univoche.

SPAN

d(S), <v_i>

è il sottospazio generato da tutte le possibili combinazioni lineari di un sistema di vettori. Se S è un sistema di vettori indipendenti, allora essi generano l'intero spazio.

Ex:

v₁, v₂ ∈ ℝ²

Se v₁, v₂ sono indipendenti

ℝ² è generato da <v₁, v₂>

Se v₁ = v₂ allora il sottospazio è generato da un solo vettore

BASI

Un sistema S di vettori è detto base se:

1. S genera V
2. S è linearmente indipendente

Ex:

V = ℝ²

S = {v₁, v₂}

Se v₁ e v₂ sono indipendenti

=> sicuramente <v₁, v₂> generano tutto ℝ²

BASI CANONICHE

Le basi canoniche sono vettori banali le cui combinazioni lineari generano tutto lo spazio.

① (U ∪ W ⇒ U ∩ W = ξ 0 ̸= ξ)

Siano { u₁, ..., u_s } base di U

Siano { ω₁, ..., ω_t } base di W

U + W = ξ U + W = { u₁, ..., u_s, ω₁, ..., ω_t } = s

S genera tutto U ∩ W ⊇ s ⇒ v ∈ U ∪ W

v = α_iu₁ + ... + α_su_s + β₁ω₁ + ... + β_tω_t

S è una base?

v' = ȃ = α_iv_i + t_ooo + α_sv_s + β₁ω₁ + ... + β_tω_t

v' ∈ U ∩ W

ȗ = a_iv₁ + t_ooo + α_sv_s

= - β_iv₁ + o_oo + β_tω_t

S'ba dim (s + t)

② U ∩ W ≠ ξ 0 ̸= ξ Quindi avrò una base

Considero ξ v₁, ..., v_n ξ la base di U ∩ W

{ v₁, v₂, v₃ } v_n vettori indipendenti di U

ξ v₁, ..., v_n ξ vettori indipendenti di W

Sono indipendente quindi posso procedermearlo ad una base

ξ v₁, ω₁ ..., ω_t, υ_n1, ..., ω_t, ω_t ξ base di U

K = {k₁, ..., k_r} base del ker

Poiché K è indipendente, posso complementare ad una base

β = {k₁, ..., k_r, w₁, ..., w_s}

genero il generano V=I

ker

dim=r

dim=u

Dimostrare che β è una base di Im(f)

w ∈ Im(f) => ∃v ∈ V

f ( y ) = w

v = ∑ α_i k_i + ∑ β_s w_s

Per linearità

f(v) = f(∑ α_i k_i + ∑ β_i ω_i) w ∈ ω

w = ∑ β_i ω_i

DEVO DIMOSTRARE CHE È INDIPENDENTE

β_i w₁ + ... + β_j ω_j = 0 ∀ β_j = 0

Per linearità

f(β₁ w₁, β₂ w₂, ...) = 0

v' ∈ ker(f)

v' ∈ v¹

v' = ∑ k_i k_i + ... + α m k_r

β₁ w₁ + ... + β_n w_m = α m k₁ + ... + α m k_r

In particolare

A = | 1 1 -1 || 2 0 3 || -3 0 1 |

COMPLEMENTO => di a_ij il numero A_ij = (-1)^i+jM_ij

• Fa +1 se i+j è pari
• Fa -1 se i+j è dispari

|A_ij| = | 2 3 || 0 1 |

Poche le eliminato la prima riga e colonna

=> Sottostante

|A| => 1 * A₁₁ => Minore complementare => Det. Della matrice

A_ij = Numero Compl. Di A_ij

I FORMULA DI LAPLACE

A Є R^n,n|A| = Σ_k (-1)^i+k a_ik|A_ik|

Sviluppo Laplace per la 3°riga (perché c’è zero)

| 1 1 -1 || 2 0 3 || 0 a₃₂ 0₃₃ |

= (-1)³⁺² | 2 3 || -1 | + (-1)³⁺³(3) | 1 || 1 | | 2 |

= 3*3:0

=> Se il determinante è zero => Un vettore è dep. => Il rango deve essere < 3

Esempio:

| 2 0 λ || -1 -2 + λ | | λ | | 1 || 0 1 |

2C(-1)+λ = -2λ λ = 0 λ = 2

ρ(A):3 ⟺ λ ≠ 2

CALCOLO MATRICE INVERSA

A A^-1 = ISia A Є R^n,n con |A| ≠ 0=> A^-1 = 1/|A| * Aggiunta(A)| (-1)^i+j|A_ji|

Ed esiste un'unica soluzione perché n = ρ(A) ⇒ oo = 1 soluzione

con x_i = |A_i|/|A| b matrice ottenuta scambiando a_i-esima

colonna con B

DIMOSTRAZIONE

Sia Ax = B e |A| ≠ 0

⇒ ∃ A^-1

A^-1 Ax = A^-1 B ⇒ x = A^-1 B

A^-1 = (1/|A|) • (agg C(A)) = ((-1)^i-j |A_i,j|)

lo x_i si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la colonna di B.

x_i = (1/|A|) Σ_k=1ⁿ (-1)^(i-1) |A_i1| b_i = |A_i| / |A|

2 x₁ + 4 x₂ + 3 x₃ = 0

x₁ + x₃ = 4

2 x₁ = 2

2 | x₁ = |A_i| / |A| | = 870

= 8/8 = 1

C^-1AC → Matrice che risolve X₀ : Y₀

A'

sono

matrici

simili

Matrici simili hanno stesso determinante

A' = C^-1AC

→ |A'| = |A|

|A'| = |C^-1AC|

|A'| = |C^-1||A||C|

                                      (da Binet)

|A'| = |C^-1||C||A|

1

|I| = 1

→ 1 · |A| = |A|

Autovalori e autovettori

Sia f ∈ V → V endomorfismo e V finito generato

f(v) = λv     con v ≠ 0

λ : autovalore

v : autovettore

(λ, v) : autocopeva

Autospazio

È un sottospazio vettoriale del tipo

f(y) = λv

Se B una base di V

HB(f) = A

λxB = λxB

A xB = λ xB

Invarianza Polinomio Caratteristico

A = C^-1AC

sono simili

Se A e B sono simili

• B = C^-1AC con |C| ≠ 0

|A - λI| = |B - λI|

Posso moltiplicare la matrice id. per C^-1C

C^-1AC - λC^-1C I

|C^-1AC - C^-1λ IC|

|C^-1CA - λ IC|

= |C^-1| |(A - λI)| |C|

|A - λI| = |A - λI|