Geometria e algebra lineare

Proprietà Matrici Trasposte

1. (A^T)^T = A
2. A simmetrica ⟺ A = A^T
3. A antisimmetrica ⟺ A = -A^T
4. I = I^T
5. (A + B)^T = A^T + B^T
6. (k ⋅ A)^T = k ⋅ A^T
7. (A ⋅ B)^T = B^T ⋅ A^T

Proprietà Prodotto per Scalare

∀h, k ∈ ℝ e ∀A, B ∈ M_m×m

1. h ⋅ (k ⋅ A) = (h ⋅ k) ⋅ A (associativa)
2. (h + k) ⋅ A = h ⋅ A + k ⋅ A (distributiva per la somma di scalari)
3. h ⋅ (A + B) = h ⋅ A + h ⋅ B (distributiva per la somma di matrici)

Proprietà Matrici Inverse

1. A invertibile ⇒ (A^-1)^-1 = A
2. A invertibile ⇒ (A^T)^-1 = (A^-1)^T
3. A, B invertibile ⇒ (A ⋅ B)^-1 = B^-1 ⋅ A^-1
4. I_m^-1 = I_m

Determinante Proprietà

1. |A| = |A^T|
2. |A ⋅ B| = |A| ⋅ |B|
3. |A| ≠ 0 ⇒ |A^-1| = 1/|A|
4. Se |A| ≠ 0 allora A è invertibile e A^-1 = A^T/|A|

Proprietà Matrici Ortogonali

A, B ortogonali =>

1. |A| = ±1
2. A^T ort
3. A^-1 ort
4. A·B ort

A ortogonale se

1. La somma dei quadrati di una riga (colonna) = 1
2. La somma dei prodotti delle righe (colonne) a due a due sia 0

Proprietà Rango

1. rK(0) = 0 a rK(I_m) = m
2. rK(A) = rK(A^T)
3. rK(A) = rK(A^-1)
4. rK(A·B) ≤ rK(A) ∧ rK(B)
5. Il rango di una matrice non cambia se viene moltiplicata a destra e a sinistra per una matrice non singolare

Vλ si dice autospazio associato a λ se Vλ = {X ∈ Mn,1 | A ⋅ X = λ ⋅ X ∀ X = oV}

Vλ ≤ Mn,1

MOLTEPLICITÀ GEOMETRICA, ALGEBRICA

si dice molteplicità geometrica di λ la dimensione del relativo autospazio e si indica con mg(λ)=m, mentre si dice molteplicità algebrica "quante volte appare" λ in |A-Iλ|=0

• 1 ≤ mg(λ) ≤ ma (λ)
• mg(λ) = m - rk(A - I)

DIAGONALIZZAZIONE:

A diagonalizzabile ∃D∈Dm, ∃P∈Mm | D = P⁻¹ ⋅ A ⋅ P

CRITERI:

• A diagonalizzabile se:
• ammette m autovettori l.i.
• dim(Vλ1) + dim(Vλ2) +...+dim(Vλk) = m
• P(λ) = (A - Iλ) = 0 ammette m radici reali con ma(λ) = mg(λ)
• P(λ) = 0 ammette m radici reali e distinte
• è simmetrica (in tal caso la matrice diagonalizzante è ortogonale)

MATRICI ORTOGONALMENTE DIAGONALIZZABILI:

Aⁿ è ortogonalmente diagonalizzabile se

∃D∈Dm, ∃P∈Mm o¹ | D = P⁻¹ ⋅ A ⋅ P = P⁻¹ ⋅ A ⋅ P

FASCIO PROPRIO: λ (ax+by+cz+d) + μ (a'x+b'y+c'z+d') = 0 ∀λ,μ∈ℝ

ax+by+cz+d ≠ k (a'x+b'y+c'z+d') = 0 ∀k∈ℝ

Tutti i piani si intersecano in retta sostegno del fascio

FASCIO IMPROPRIO: ax+by+cz+k = 0 ∀k∈ℝ

Se π,π',π" sono tre piani e se rg(A) < 3 allora π appartiene al fascio generato da π' e π"

REtta NELLO SPAZIO

EQ VETTORIALE: P0P = t . v

EQ PARAMETRICA:

• x = x0 + te
• y = y0 + tm
• z = z0 + tm

P, P1 e P2 sono allineati ⟺ x∈K x(x-x1 y-y1 z-z1)

EQ RETTA PER DUE PUNTI: x-x1/x2-x1 = y-y1/y2-y1 = z-z1/z2-z1 = y-y1/m = z-z1/m

EQ CARTESIANA: ax+by+cz+d = 0 ∀k∈ℝ

a'x+b'y+c'z+d' = 0 = π∩π' => e = b c