Geometria e algebra lineare

PROPRIETÀ MATRICI TRASPOSTE

1. (A^T)^T = A

2. A simmetrica <=> A = A^T

3. A antisimmetrica <=> A = -A^T

4. I = I^T

5. (A + B)^T = A^T + B^T

6. (k·A)^T = k·A^T

7. (A·B)^T = B^T·A^T

PROPRIETÀ PRODOTTO PER SCALARE

∀h,k ∈ ℝ e ∀A,B ∈ M_m,m:

1. h·(k·A) = (h·k)·A associativa
2. (h + k)·A = h·A + k·A distributiva per la somma di scalari
3. h·(A + B) = h·A + h·B distributiva per la somma di matrici

PROPRIETÀ MATRICI INVERSE

1. A invertibile => (A^-1)^-1 = A
2. A invertibile => (A^T)^-1 = (A^-1)^T
3. A,B invertibile => (A·B)^-1 = B^-1·A^-1
4. I_m^-1 = I_m

DETERMINANTE PROPRIETÀ

1. |A| = |A^T|
2. |A·B| = |A|·|B|
3. |A| ≠ 0 => |A^-1| = 1/|A|

Se |A| ≠ 0 allora A è invertibile e A^-1 = A^T/|A|

Proprietà Matrici Trasposte

1. (A^T)^T = A
2. A simmetrica <=> A = A^T
3. A antisimmetrica <=> A = -A^T
4. I = I^T
5. (A + B)^T = A^T + B^T
6. (k · A)^T = k · A^T
7. (A · B)^T = B^T · A^T

Proprietà Prodotto per Scalare

∀h, k ∈ ℝ e ∀A, B ∈ M_m,m:

1. h · (k · A) = (h · k) · A associativa
2. (h + k) · A = h · A + k · A distributiva per la somma di scalari
3. h · (A + B) = h · A + h · B distributiva per la somma di matrici

Proprietà Matrici Inverse

1. A invertibile => (A^-1)^-1 = A
2. A invertibile => (A^T)^-1 = (A^-1)^T
3. A, B invertibile => (A · B)^-1 = B^-1 · A^-1
4. I_m^-1 = I_m

Determinante Proprietà

1. |A| = |A^T|
2. |A · B| = |A| · |B|
3. |A| ≠ 0 => |A^-1| = 1/(|A|)
4. Se |A| ≠ 0 allora A è invertibile e A^-1 = A^T/|A|

PROPRIETÀ MATRICI ORTOGONALI

A, B ortogonali =>

1. |A| = ±1
2. A^T ort
3. A^-1 ort
4. A . B ort

A ortogonale se

1. la somma dei quadrati di una riga (colonna) = 1
2. la somma dei prodotti delle righe (colonne) a due a due sia 0

PROPRIETÀ RANGO

1. rk(O) = 0 rk(I_m) = m
2. rk(A) = rk(A^T)
3. rk(A) = rk(A^-1)
4. rk(A . B) ≤ rk(A) ∧ rk(B)
5. Il rango di una matrice non cambia se viene moltiplicata a destra e a sinistra per una matrice non singolare

Sistema Lineare

ogni sistema del tipo di m equazioni in m incognite a₁₁, ..., a_mn

si dicono coefficienti del sistema x₁, ..., x_m sono incognite e b₁, ..., b_n sono i termini noti.

Vengono associate due matrici: A =

e A' =

e dunque ogni sistema può essere scritto come A · X = B.

Un sistema è compatibile se ammette soluzioni si dia incompatibile se non ammette soluzione.

È determinato se ammette una soluzione, indeterminato se non ammette infinite soluzioni. È omogeneo se i termini noti sono tutti uguale a zero.

Teorema di Rouché-Capelli

Se A · X = B è un sistema di m equazioni in m incognite allora:

• se rK(A) = rK(A') = r_c il sistema ammette ∞^m-r soluzioni
• se rK(A) < rK(A') il sistema è incompatibile
• e come incognite ausiliarie le rimanenti

Sistema di Cramer

A · X = B è un sistema di Cramer se m = n esiste det(A) ≠ 0 e allora la sua soluzione è data da X_i =

, ∀i ∈ 1, ..., n

Spazio vettoriale:

Se K è un campo, V un insieme non vuoto dotato di un'operazione interna "+" e un'operazione esterna "⋅" avente K come dominio degli operatori allora V(+,⋅) è uno spazio vettoriale se rispetta 8 proprietà di spazio vettoriale.

Sottospazio vettoriale:

Affinché W⊆V sia un sottospazio vettoriale deve rispettare tre proprietà:

1. W ≠ ∅
2. ∀ w₁,w₂ ∈ W → w₁+w₂ ∈ W
3. ∀ k ∈ K, ∀ w ∈ W : k⋅w ∈ W

Combinazi