Algebra lineare e geometria

Algebra

a. a. 2021 2022

Prof.re Francesco Belardo

appunti di Valeria Marra

Definizioni

Insieme

Un insieme viene definito attraverso gli oggetti che lo costituiscono, quindi descrivendo le sue proprietà appunto. Vengono indicati in vari modi: innanzitutto con gli elenchi mediante () o {}. L'appartenenza è indicata con € e si negano con la €. I principali insiemi che possiamo dare qui: A, B, C, D, E, rappresentano elementi.

• N: numeri naturali {tutti i numeri positivi 20: 1, 2, 3}
• Z: numeri interi {positivi e negativi 20: -1, 0, 1, 2}
• Q: numeri razionali {i numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione}
• R. numeri reali {-3.1. 7}
• C: numeri complessi {anch'essi esprimibili sotto forma di radici diverse}

Tuttavia esistono infiniti segmenti in cui possiamo suddividere un insieme, utilizzando delle relazioni di equivalenza. I numeri reali sono dati dalla buca degli insiemi razionali ed irrazionali, per questo motivo che négli irrazionali vi sono radici perciò pi log che dei numeri razionali.

Operazioni

L'unione A € e € un insieme P possiamo intersecarlo fra loro attraverso l'operazione e l'unione: A∪B: {x|x è A V x è B}

• intersezione
• unione
• prodotto cartesiano

AΠB: {x€Ax€B}

ΔxB: {(a,b)€AΠB.}

In particolazione, nel prodotto cartesiano si ottiene degli elementi posso essere distinti da sezioni di circostanza.

Esempio: M×Z: {(m,m)|m€M, n€Z}

(2, -3) e M×Z e (-3, 2) e M×Z

Definizione di operazione

Δ: Aⁿ→A

Si dice de un’operazione fra 2 simboli che ne restituiscono un terzo come risultato obiettive,tasto ad cero chi o’ dimostrativanente: (e.g.) a x b, e.g. a ÷ b.

Un esempio è +: (x, y) a x b mi. Queste dette operazioni elementari sull'algebra più (esempio.), l'algebra comprende tutte le operazioni complesse che si occupano delle necessità dell'associazione. Esse si equivalgono con tutti i problemi da sottoporre a un'intersezione secondo il racconto degli attributi dell'operazione e in generale a x b, aib e ass. Per uno, prematuratamente, qual boccp da recita intervenzioni.

Nell'autunno del boccpda capote di operazioni dette complementari a talumewiration le equivalenza semplice ed apertn possono alertarre i prodotti pregenziale.

Essendo anche in elementi il loro ordinary ai fact auto eveno imoppiaesciole l’anno, dei ma monagiano assidui.

Iminsieme moderazione.

Nell'intersezione ci verrebbero mudança della raci.

Spazi vettoriali

Lo spazio vettoriale V è un insieme di vettori che non sia l'insieme vuoto se, per un campo degli scalari, V risulta:

• (V, +) un gruppo abeliano se in cui [esistono neutro e opposto algebrico] (associativa e commutativa):

∀ u,v∈V, ∃! w∈V tale che: u + v = w

∀v∈V ∃! n∈V tale che: v + n = v;

∀v∈V ∃! w∈V tale che: v + w = 0;

esempio: ∀v∈V,

• α(u + v) = αu + αv

Esempio: V = spazio dei vettori parametrici è uno spazio vettoriale.

• R² e MN: R^ⁿn spazio sottovettoriale;
• R²²; (a, b) ∈ ℝR³ è uno spazio vettoriale
• R¹: gruppo abeliano, (a + b) associativo; (a + b) compositivo, associativo;
• (u•k^i + b)•∞, (b + k); associazione di campo; (a•b)•(k•b), (b•(t))•k; (a + k•b); (associativa) (prodotto esterno); algebra elementare; neutro; simmetrico per le operazioni di forma; associativa e commutativa;

Per C|R, R e per Mℝ spazio vettoriale;

• gli n ≥ ⁰ su U e M = A nel suo spazio vettoriale;
• (a, q+b•c) sono nel formato: (m•q, m ⁿ,
• m•a•k, (q, t) è formato: (q, c) = E;

(«m, n); {0 + a ^a + a} algebrico, se grup di t;

anno nei format agi {n (> c) e un gruppo di m, e

Esempio: [^θn;

mR ker Φ_{-2,1,0} e il unico vettore generatore => ||ker|| = 1

mettuto c'è più post obienza il vettore generatore

dimaphic Im Φ = rho(B1, B2)

ρ₁(4,0,1)

ρ₂(1,0,2)-(0,2)

ρ₁(0,0,1)=(1,-4,-1)

Questi 3 sono generazioni Im({Φ₁,Φ₂}) facemo l'immagine è una retta di lettere generazione ImΦ

Im Φ = {< ,(0,-1),(4,-2)>}, si noti quindi maggior 3 vettori provati per generatore Imp

Ritornando ci: ³→ ⁴ Φ(x,y,z)= (x,+y,-x)

calcoliamo ImΦ estobili della base comune di ³

Φ_g(1,0,0) : (1,0,1)

Φ_g(0,1,0) : (1,1,0)

Φ_g(0,0,1) : (0,-1,0)

ImΦ= {, (4,2,1,-0)}

Teorema Dimensione

Sia ρ: → applicazione liature e funziomente generazione. Allora si fa:

IV |kerΦ| + |ImΦ|

Morfeismi

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Re risultante

RisultiANDOsiculsativa i