Algebra lineare, numeri complessi, il piano di Gauss

Appunti algebra lineare

I numeri complessi

Il piano di Gauss

asse immaginario

asse reale

FIGURA 2

Gennaio 2022

Appunti algebra lineare

I numeri complessi

Il piano di Gauss

Gennaio 2022

Il piano di Gauss

Si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri complessi e l’insieme dei punti di un piano in cui sia stato fissato un riferimento cartesiano. Questo piano, dotato di tale corrispondenza, viene detto piano di Gauss. Convenendo di rappresentare il numero complesso a+ib con il punto P di coordinate (a;b).

• Il punto P(a ; b) è l’indice (o immagine geometrica) del numero complesso a + ib.
• Il numero complesso a + ib è l’affissa del punto P(a ; b).
• per b = 0 il numero complesso si riduce al numero reale a, e il punto P viene a trovarsi sull’asse delle ascisse, che si dice perciò asse reale;
• per a = 0 il numero complesso si riduce al numero immaginario ib, e il punto P viene a trovarsi sull’asse delle ordinate, che si dice perciò asse immaginario;
• per a = 0 e b = 0 il numero complesso coincide con lo zero complesso, che perciò è associato all’origine degli assi.

• due numeri complessi sono coniugati se e solo se i punti a essi associati sono simmmetrici rispetto all’asse reale, come 3 + 2i e 3 – 2i;
• due numeri complessi hanno le parti reali opposte se e solo se i punti a essi associati sono simmetrici rispetto all’asse immaginario, come 1 + 4i e –1 + 4i;
• due numeri complessi sono opposti se e solo se i punti a essi associati sono simmmetrici rispetto all’origine, come 2 – 3i e –2 + 3i.

Modulo e argomento di un numero complesso

DEFINIZIONE MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO

Si dice modulo del numero complesso a + ib, e si indica con |a + ib|, il numero reale √a² + b².

|a + ib| = OP = √a² + b²

DEFINIZIONE ARGOMENTO DI UN NUMERO COMPLESSO

Si dice argomento del numero complesso a + ib la misura dell’angolo orientato che il vettore OP forma con il semiasse reale positivo.

SINONIMI

L’argomento di un numero complesso è anche detto anomalìa o fase.

Se indichiamo con ρ = √a² + b² il modulo di a + ib, le coordinate polari del punto P sono (ρ, θ) e quindi si ha

• a = ρ cos θ
• b = ρ sen θ

da cui:

cos θ = a∕ρ

sen θ = b∕ρ