Corso completo di Algebra

Proprietà delle matrici

Nota: non tutte le matrici sono invertibili (hanno divisori dello 0).

Esempio:

Si definisce diagonale principale gli elementi di posizione i=j.

A è una matrice diagonale principale.

Una matrice quadrata è detta diagonale se gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli.

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Una matrice quadrata è detta diagonale se gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli.

B è una matrice diagonale.

Una matrice si dice triangolare se gli elementi sopra (sotto) la diagonale principale sono nulli.

A è una matrice triangolare inferiore.

B è una matrice triangolare superiore.

La trasposta di una matrice si ottiene scambiando le righe con le colonne.

TA = A = [3,2; 2,3]

A^R = A^R

Una matrice si dice simmetrica se è uguale alla sua trasposta.

TA = A

Esempio:

A = A^T

Una matrice A si dice antisimmetrica se A = -A^T

A^R = -A

Rango di una matrice

n,m m

R nota che le righe R1, R2, ..., Rn sono vettori di R^m

C1, C2, ..., Cm sono vettori di R^n

Posso considerare SPAN(R1, R2, ..., Rn) = <R1, R2, ..., Rn>

Poiché SPAN(R1, R2, ..., Rn) è generato da un numero finito di vettori, avrà una sua dimensione.

1, 2, ..., n m

Lo spazio delle righe

è il sottospazio di R generato dai vettori riga di A. Analogamente ho uno spazio delle colonne di A (sottospazio di R). Si definisce rango (o caratteristica) di A la dimensione degli spazi delle righe e delle colonne.

Casi particolari:

1. Una matrice ha rango 0 se e solo se è la matrice nulla.
2. Una matrice ha rango 1 se e solo se vi è una sola riga indipendente e le altre sono proporzionali.

Il rango non può eccedere il minimo tra il numero di righe e il numero di colonne (n,m). Ovvero, A R alllora 0 (A) min {n,m} ≤ ≤ Se 0 allora (A) 1≥.

Esempi:

A = r(A) = 1

B = r(B) = 2

R = R = R - R

3 3 2 1

R = R + R

4 1 2

Mosse di Gauss (trasformazioni elementari):

1. Scambio di 2 righe R <-> Ri j
2. Moltiplicare una riga per uno scalare non nullo R -> cR c≠0
3. Sommare a una riga un'altra riga moltiplicata per uno scalare R -> R + cRi j

Le mosse di Gauss si usano per trasformare la matrice iniziale in una matrice in cui il rango è determinato dalle righe non

nulle.A -> A'A e A' hanno lo stesso rango. m n,m

Inoltre , preso un sistema di n vettori S di R , sia A R la matrice ottenuta dai vettori di S come vettori riga allora se A' è ottenuta da Aattraverso mosse di Gauss sulle righe, i vettori di A' generano lo stesso sottospazio dei vettori di S.

EsempiopivotB=R -> R -2R2 2 1R -> R -R3 3 1R -> R -3R4 4 1R -> R -R3 3 2R -> R -R4 4 2 Nuova sezione 3 Pagina 20R -> R -R4 4 2r(B)=2 Riduzione a "gradini"

Esempio5,6A RA=R -> R +2R2 2 1R -> R +R3 3 1R -> R -R4 4 1R -> R +R3 3 2R -> R -R4 4 2R <-> R3 4R -> -1/2R3 3R -> 1/2R4 4R -> R -2R4 4 3 r(A)=5

EsempioA=R <-> R2 1R -> R -2R2 2 1R -> R -4R3 3 1R -> R -5R4 4 1R -> R -3R5 5 1R -> R -R3 3 2R -> R -R4 4 2R <-> R3 5R -> R -R4 4 3 Nuova sezione 3 Pagina 21R -> R -R4 4 3R <-> R4 5r(A)=44Rv =(1,0,1,-1)1v =(2,0,1,1)2v =(1,1,-1,-1)3v =(0,0,1,1)4R -> R -2R2 2 1R -> R -R3 3 1R

<-> R2 3R -> R +R4 4 3

Determinante è un valore che si calcola dalla matrice (quadrata)

Permutazione: applicazione biettiva di n elementi in n elementi

1 2 3 (1)=2| | | (2)=1

2 1 3 (3)=3

Permutazione identican! numero di permutazioni

0!=1

1!=1

n!=n(n-1)!

S ={ : è una permutazione su n elementi }

n|S |=n!

n S =n

f:I I3 31 -> 12 -> 23 -> 3

pari dispari pari

dispari pari

Esempio[3]={1,2,3}

[n]={m N: m n}≤f:[3] -> [3] rappresentazione

1 -> 1

2 -> 3

3 -> 2

non è una matrice

3 -> 2

S = { }

1S = { , }

2S = { , , , , , }

3|S |=n!

Determinante

|A|= formula di Leibniz

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|A|= formula di Leibniz

permutazione parità di sigma

2,2A R A=S = { , }

Per cui : 0|A|= (-1)=A= - +A= |A|=1

A=|A|=+A= Metodo di Sarrus

- - -+ + +

Esempi

A= |A|=0

B= |B|=9-9=0

A = |A |=4-10=-6

1 1A = |A |=6-3=3

2 2A = |A |=-2-1-1+1=-4

3 3A = |A |=4+4+2+2

4 4

1 formula di Laplace

n,nA R somma dei prodotti degli elementi di una linea (riga o colonna) di A moltiplicati per i loro minori

nulloDimostrazioneSia A invertibile, allora :A = A =I

Passo ai determinanti|A |=|I| = 1

Teorema di Binet|A| | | = 1 => |

EsempiA=|A|=4-6=-2 0 A è invertibile≠Agg(A) Agg(A)=Agg(A)=B= |B|=-2+1=-1Agg(B) =( =| |=-1 | |=-1 | |=-1| |=0 | |=-1 | |=-1| |=0 | |=1 | |=2=-Agg(B)=A= |A|=-1-1=-2A è invertibile Agg(A)Agg(A)= Nuova sezione 3 Pagina 24Agg(A)=| |=-1 | |=-1 | |=-1| |=1 | |=-1 | |=-1|=-1 | |=-1 | |=1

Rango e determinanteSia A una matrice quadrata di ordine n: Allora se |A| 0 i vettori riga e i vettori colonna sono indipendenti e quindi formano una base.≠In generale,r(A)=k se e solo se esiste un minore di A di ordine k non zero e tutti i minori di ordine maggiore di k sono nulli.suoi orlatiSottomatriceSi costruiscono scegliendo certe righe e certe colonne di una data matriceA=Sia A' = =Orlare una sottomatrice significa aggiungere alla data sottomatrice una o più righe e una o più colonneA=A'= =A''= = (A)=3

incompleta del sistema)
X vettore incognite
B vettori termini noti
(A;B) matrice completa del sistema
A orlata con B(*) si dice compatibile se esistono che sostituiti a mi restituiscono m identità.
Il vettore numerico colonna dei termininoti B dipende linearmente dalle colonne di A.
Allora = è una soluzione di (*)
Esempio
A= X=(A;B) matrice completa
B=(A;B)=R -> R -2R
3 3 1
R -> R -R
3 3 2
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R -> R -R
3 3 2 -> Il sistema è incompatibile
Esempio AX=B
(A;B)=R -> R +R
3 3 1
R -> R -R
3 3 2
La soluzione generale è :
T(3/2,2+t,t)
Verifichiamo che è una soluzione
Inoltre(3/2,2,0) è soluzione particolare , non è presente il parametro libero
(0,t,t) è la parte col parametro , è la soluzione di AX=0
AX=0 è chiamato il sistema omogeneo associato (B=0)
(0,t,t)=t(0,1,1)=<(0,1,1)>
Le soluzioni di AX=0 formano un sottospazio vettoriale( due soluzioni le combino linearmente ed è ancora soluzione del

Le mosse di Gauss effettuate sulle righe della matrice completa del sistema non alterano le soluzioni.

1. R <-> Ri j
2. R <-> cR c≠0

Teorema di Rouché-Capelli

Sia AX=B un sistema lineare

1. AX=B è compatibile <=> r(A)=r(A;B)
2. Se AX=B è compatibile allora il sistema ha soluzioni ho k parametri liberi

Dimostrazione 1=>) hp: AX=B è compatibile ts: r(A)=r(A;B)

Supponiamo che r(A)≠r(A;B)

r(A)=k r(A;B)=k+1

Con opportune mosse di Gauss posso trasformare A in una matrice A' dove le prime righe k righe sono non nulle.

In A' le righe della k+1 in poi sono vettori (riga) nulli.

Le trasformazioni le applico sulla matrice (A;B). (A;B) -> (A';B')

(A';B')= non possono essere tutti nulli

k+1 -> m

Allora j , k+1 j m tale che b'j 0 ( altrimenti r(A;B)=k)

≤ ≤ ≠

La j-esima riga è incompatibile

0 = b'j 0≠

Dimostriamo il viceversa <=) hp: r(A)=r(A;B) ts: AX=B è

compatibile