Algebra e geometria

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Appunti esame

Scarica

Appunti di Algebra lineare e geometria analitica. L’algebra e la geometria sono due pilastri fondamentali della matematica, strettamente legati tra loro. L’algebra studia le strutture e le operazioni sui numeri, sulle variabili e sui simboli, permettendo di risolvere equazioni e di rappresentare relazioni astratte in forma generale. La geometria, invece, si occupa delle figure, delle forme e delle proprietà dello spazio, fornendo strumenti per descrivere e comprendere il mondo visibile. Dalla scuola pitagorica a Euclide, la geometria ha cercato di spiegare l’armonia dello spazio; l’algebra, con al-Khwarizmi e successivamente con Cartesio, ha introdotto un linguaggio simbolico che ha permesso di unire le due discipline. Con la nascita della geometria analitica, le figure geometriche sono state descritte da equazioni, aprendo la strada alla geometria algebrica e alla moderna visione unificata della matematica.

...continua

Algebra e geometria

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Appunti esame

Scarica

Appunti di Algebra lineare e geometria analitica. L’algebra e la geometria sono due pilastri fondamentali della matematica, strettamente legati tra loro. L’algebra studia le strutture e le operazioni sui numeri, sulle variabili e sui simboli, permettendo di risolvere equazioni e di rappresentare relazioni astratte in forma generale. La geometria, invece, si occupa delle figure, delle forme e delle proprietà dello spazio, fornendo strumenti per descrivere e comprendere il mondo visibile. Dalla scuola pitagorica a Euclide, la geometria ha cercato di spiegare l’armonia dello spazio; l’algebra, con al-Khwarizmi e successivamente con Cartesio, ha introdotto un linguaggio simbolico che ha permesso di unire le due discipline. Con la nascita della geometria analitica, le figure geometriche sono state descritte da equazioni, aprendo la strada alla geometria algebrica e alla moderna visione unificata della matematica.

...continua

Algebra e geometria

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Appunti esame

Scarica

Appunti di Algebra lineare e geometria analitica. L’algebra e la geometria sono due pilastri fondamentali della matematica, strettamente legati tra loro. L’algebra studia le strutture e le operazioni sui numeri, sulle variabili e sui simboli, permettendo di risolvere equazioni e di rappresentare relazioni astratte in forma generale. La geometria, invece, si occupa delle figure, delle forme e delle proprietà dello spazio, fornendo strumenti per descrivere e comprendere il mondo visibile. Dalla scuola pitagorica a Euclide, la geometria ha cercato di spiegare l’armonia dello spazio; l’algebra, con al-Khwarizmi e successivamente con Cartesio, ha introdotto un linguaggio simbolico che ha permesso di unire le due discipline. Con la nascita della geometria analitica, le figure geometriche sono state descritte da equazioni, aprendo la strada alla geometria algebrica e alla moderna visione unificata della matematica.

...continua

Esercizi soluzioni Fondamenti di algebra lineare e geometria

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. C. Zanella

Università Università degli Studi di Padova

Prove svolte

4 / 5

Scarica

Nel documento di Fondamenti di algebra lineare e geometria troverete le soluzioni agli esercizi assegnati durante la seconda settimana da svolgere con i tutor. Gli esercizi riguardano prevalentemente i numeri complessi, all'interno del file sono presenti anche alcune notazioni per comprendere al meglio l'argomento.

...continua

Esercizi Fondamenti di algebra lineare e geometria

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. C. Zanella

Università Università degli Studi di Padova

Prove svolte

Scarica

In questo file potete trovare le soluzioni degli esercizi assegnati durante la prima settimana da svolgere con il tutor per l'esame di Fondamenti di algebra lineare e geometria. Gli esercizi in questione riguardano prevalentemente le matrici e le loro applicazioni.

...continua

Diagonalizzabilità

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. V. Casarino

Università Università degli Studi di Padova

Prove svolte

Scarica

Esercizi sulla diagonalizzabilita. Con annessa spiegazione dei punti per lo sviluppo e la risoluzione degli esercizi del corso di Fondamenti di algebra lineare e geometria per l’Università degli studi di Padova nel corso di laurea gestionale.

...continua

Esercizi determinante

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. V. Casarino

Università Università degli Studi di Padova

Prove svolte

Scarica

Esercizi di Fondamenti di algebra lineare e geometria per la risoluzione dei problemi in cui viene richiesto il calcolo del determinante completo di spiegazione ed esempi adatto per preparare al meglio l’esame di algebra e geometria lineare con tutto il necessario.

...continua

Temi d’esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. V. Casarino

Università Università degli Studi di Padova

Prove svolte

4 / 5

Scarica

Temi d'esame per il corso di ingegneria gestionale, Fondamenti di algebra lineare e geometria, Unipd con tutte le tipologie di esercizi che possono uscire all’esame completo di risoluzione passo passo di ogni punto con spiegazione.

...continua

Geometria affine

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. V. Casarino

Università Università degli Studi di Padova

Prove svolte

5 / 5

Scarica

Esercizi di Heometria affine per il corso di Fondamenti di algebra lineare e geometria. Esercizi proposti come richiesto all’esame, completo di descrizione e svolgimento passo passo di ogni punto dell’esercizio d’esame.

...continua

Esercitazioni di Fondamenti di algebra lineare e geometria

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. V. Casarino

Università Università degli Studi di Padova

Prove svolte

Scarica

Esercitazioni di Fondamenti di algebra lineare e geometria complete di spiegazione passo passo per la risoluzione dei esercizi richiesti per il superamento dell’esame. Tipologie di esercizi presenti all’esame fisso.

...continua

Definizioni Algebra e geometria

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Pasotti

Università Università degli Studi di Brescia

Appunti esame

4 / 5

Scarica

Appunti sulle definizioni di Algebra e geometria. Prodotto cartesiano, cardinalità di un insieme, funzione da A in B, immagine, funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva, funzione invertibile, involuzione, elemento neutro, gruppo, campo, operazione esterna, combinazione lineare.

...continua

Teoria Algebra e geometria

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Pasotti

Università Università degli Studi di Brescia

Appunti esame

3 / 5

Scarica

Appunti di teoria Algebra e geometria. Teoremi più importanti, dimostrazioni e definizioni di algebra. Definizioni di: sottospazio vettoriale, insieme di generatori, base, intersezione-unione e somme di sottospazi, somma diretta,sistemi lineari, sistemi lineari omogenei, autovalori e autovettori, norma, matrice diagonalizzabile e matrice diagonalizzante.

...continua

Esercitazione Prima Prova Intercorso di Algebra lineare e geometria analitica

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Prove svolte

Scarica

Esercitazione Prima Prova Intercorso di Algebra lineare e geometria analitica, con test preliminare completato. Riguardante matrice completa determinante, rango, per quali valori di k la matrice è invertibile ecc. Molto simile alla prova reale.

...continua

Appunti lezioni Algebra lineare e geometria analitica completi

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Appunti esame

Scarica

Appunti lezioni Algebra lineare e geometria analitica completi uguali agli appunti del docente. Per chi non segue le lezioni o per chi le segue ma non riesce a stare al passo del docente. Uguali a quelli del docente e comprendono anche suggerimenti orali.

...continua

Simulazioni d'esame svolte di Algebra e geometria lineare

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Prove svolte

4 / 5

Scarica

Ciao, qui troverete alcune simulazioni/prove d'esame svolte di Algebra e geometria lineare; con questo pdf potrai prepararti al meglio sullo svolgimento di esercizi che troverete nell'esame; potrete cosi affrontare l'esame senza preoccupazioni!

...continua

Schema per risoluzione di esercizi di Algebra lineare e geometria analitica

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Schemi e mappe concettuali

Scarica

Schema per risoluzione di esercizi di Algebra lineare e geometria analitica, con formule di retta, piano e spazio, descrizione di rette sghembe, incidenti e parallele. Autovettori autovalori, diagonalizzazione. Distanza tra rette e tra piani

...continua

Equazioni differenziali

Esame Equazioni differenziali

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. Pera

Università Università degli Studi di Firenze

Appunti esame

Scarica

Appunti dettagliati del corso di Equazioni differenziali svolto dalla professoressa Maria Patrizia Pera nell'anno accademico 2023 - 2024. Tutti gli argomenti trattati in aula sono stati riportati in maniera precisa.

...continua

Spazi vettoriali associati ad una matrice

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. L. Solano

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Appunti esame

Scarica

Appunti di Algebra lineare. [cite_start]Questo documento introduce i concetti di spazi vettoriali associati a una matrice $M(n \times m)$[cite: 146, 148]. * [cite_start]Lo spazio nullo $N(M)$ è il sottospazio di $R^m$ formato dalle soluzioni di $M\underline{x}=\underline{0}$[cite: 147, 149, 150]. * [cite_start]Lo spazio delle colonne $C(M)$ è il sottospazio di $R^n$ generato dalle colonne di $M$[cite: 151]. * [cite_start]Lo spazio delle righe $R(M)$ è il sottospazio di $R^m$ generato dalle righe di $M$[cite: 152, 153]. [cite_start]Le relazioni tra le dimensioni dei sottospazi sono date da $dim~N(M) = m - dim~C(M)$[cite: 155]. [cite_start]L'eliminazione di Gauss per ottenere una matrice a scala $S$ associata a $M$ non cambia $N(M)$ o $R(M)$[cite: 163, 164, 165]. [cite_start]Le righe non nulle di $S$ formano una base per $R(M)$[cite: 165, 166]. [cite_start]Sebbene $C(M)$ possa cambiare, la sua dimensione rimane la stessa, e le relazioni di dipendenza lineare tra le colonne si mantengono[cite: 167]. [cite_start]Le colonne di $M$ corrispondenti alle colonne di $S$ con elementi pivot formano una base per $C(M)$[cite: 170, 171]. [cite_start]Viene presentato un esercizio per determinare una base per uno spazio vettoriale $V$ con $dimV=n$ a partire da un insieme di $m$ generatori non nulli $(m \ge n)$[cite: 173, 174]. Vengono forniti quattro vettori $v_1, v_2, v_3, v_4$ e si chiede di: [cite_start]a) Stabilire se $v_1, v_2, v_3, v_4$ sono generatori di $R^4$ e se ne costituiscono una base[cite: 177]. [cite_start]b) Determinare una base di $V$, lo spazio vettoriale generato da questi vettori, e la dimensione di $V$[cite: 179]. [cite_start]c) Determinare le coordinate di $v_1, v_2, v_3, v_4$ rispetto alla base determinata[cite: 180]. [cite_start]Per il punto (a), si verifica la dipendenza lineare tramite la matrice $M$ formata dalle colonne dei vettori e la si riduce a scala usando l'eliminazione di Gauss[cite: 187, 188, 189]. [cite_start]Le operazioni consentite includono lo scambio di righe, la moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo, e la somma di una riga con un multiplo scalare di un'altra riga[cite: 197, 198, 199]. [cite_start]Se ci sono righe nulle nella matrice a scala, i vettori sono linearmente dipendenti[cite: 220, 221]. [cite_start]Nel caso dato, la matrice a scala ha una riga nulla, indicando che i vettori $v_1, v_2, v_3, v_4$ sono linearmente dipendenti e quindi non formano una base di $R^4$[cite: 220, 221, 230]. [cite_start]Per il punto (b), la base di $V$ è costituita dai vettori linearmente indipendenti tra i generatori[cite: 233, 234]. [cite_start]Dal passo (a), i vettori $v_1, v_2, v_4$ sono linearmente indipendenti e formano una base per $V$, quindi $dimV=3$[cite: 236, 238]. [cite_start]Per il punto (c), si esprime ogni vettore come combinazione lineare della base determinata, trovando i coefficienti che rappresentano le coordinate[cite: 240]. [cite_start]Ad esempio, per $v_1, v_2, v_4$ rispetto a se stessi, le coordinate sono $(1;0;0)^T$, $(0;1;0)^T$, $(0;0;1)^T$ rispettivamente[cite: 242, 243, 244, 246, 248, 249]. [cite_start]Per $v_3$, si imposta un sistema lineare e si risolve per trovare le coordinate $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_4)$, risultando in $(2;-1;0)^T$[cite: 245, 251, 252].

...continua

Generatori e basi di uno spazio vettoriale

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. F. Scialpi

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Appunti esame

Scarica

Appunti di Algebra lineare. [cite_start]Un insieme $S = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ è un insieme di generatori per uno spazio vettoriale $V$ se ogni vettore $y \in V$ può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di $S$[cite: 4, 5, 6, 8]. [cite_start]Ovvero, $y = a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n$, dove $a_i \in R$[cite: 9, 10]. [cite_start]Una base di uno spazio vettoriale $V$ è un insieme di generatori di $V$ che sono anche linearmente indipendenti[cite: 11]. [cite_start]Ogni spazio vettoriale ha una base[cite: 12]. [cite_start]Lo spazio vettoriale nullo $V = \{\underline{0}\}$ ha come base l'insieme vuoto $\phi$[cite: 14, 15]. [cite_start]Una base $B \subset V$ è tale se ogni vettore di $V$ può essere espresso in modo unico come combinazione lineare degli elementi di $B$[cite: 16]. [cite_start]La base canonica di $R^n$ è l'insieme $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$, dove $e_i$ sono vettori con un 1 nella i-esima posizione e 0 altrove[cite: 17, 18, 19, 21]. [cite_start]Questi sono generatori e sono linearmente indipendenti[cite: 22]. [cite_start]La dimensione di uno spazio vettoriale $V$, indicata come Dim $V$, è il numero di elementi di una sua base[cite: 24, 25]. [cite_start]Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi[cite: 26, 28]. [cite_start]Ad esempio, Dim $R^n = n$[cite: 29, 30]. [cite_start]Dim $\{\underline{0}\} = 0$[cite: 32]. [cite_start]Per costruire una base da un insieme di generatori $S = \{x_1, x_2, x_3\}$ per $R^2$, si verifica la dipendenza lineare[cite: 39, 44]. [cite_start]Se i vettori sono linearmente dipendenti, come nel caso di $x_1, x_2, x_3$ in $R^2$ [cite: 66][cite_start], si può esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri (es. $x_1 = -3x_2 - 2x_3$)[cite: 73, 77]. [cite_start]Rimuovendo questo vettore, il sottoinsieme risultante (es. $T = \{x_2, x_3\}$) è ancora un insieme di generatori[cite: 78, 80, 82]. [cite_start]Se i vettori rimanenti sono linearmente indipendenti, formano una base[cite: 85, 87, 88]. [cite_start]Poiché Dim $R^2 = 2$, un insieme di 2 vettori linearmente indipendenti è una base[cite: 89, 91, 94]. [cite_start]Per costruire una base a partire da vettori linearmente indipendenti, come in $R^3$ [cite: 101][cite_start], si inizia con un vettore non nullo $x_1$[cite: 102, 104]. [cite_start]Si calcola il sottospazio $W_1$ generato da $x_1$[cite: 105, 106]. [cite_start]Si sceglie un secondo vettore $x_2$ non proporzionale a $x_1$ (quindi $x_2 \notin W_1$ e linearmente indipendente da $x_1$)[cite: 108, 109, 110, 111, 113]. [cite_start]Si continua il procedimento finché non si trova una base con il numero corretto di vettori (es. 3 per $R^3$)[cite: 115]. [cite_start]Si calcola il sottospazio $W_2$ generato da $x_1$ e $x_2$[cite: 116, 117]. [cite_start]Si può esprimere $W_2$ in forma parametrica e poi cartesiana[cite: 118, 119, 124, 125, 131, 134]. [cite_start]Si sceglie un terzo vettore $x_3$ tale che le sue componenti non soddisfino l'equazione cartesiana di $W_2$, assicurando che $x_3 \notin W_2$ e sia linearmente indipendente da $x_1$ e $x_2$[cite: 127, 128, 135, 136, 138, 139, 140]. [cite_start]Poiché Dim $R^3 = 3$, i tre vettori $x_1, x_2, x_3$ linearmente indipendenti formano una base[cite: 141, 142, 144, 145].

...continua

Risposta a domande poste durante la prova orale di Algebra lineare

Esame Algebra lineare

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. G. Rotundo

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Domande aperte

Scarica

Il documento raccoglie una selezione di domande poste dalla prof.ssa Rotundo durante l’esame orale di Algebra lineare. Per ciascuna domanda è fornita una risposta strutturata in modo da rispecchiare il tipo di ragionamento e livello di approfondimento richiesto durante l’esame, con l’obiettivo di offrire uno strumento utile alla preparazione orale.

...continua