Simulazioni d'esame svolte di Algebra e geometria lineare

TEST PRELIMINARE

E 3

R

1. Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo , determinare i numeri direttori di una retta ortogonale

al piano 3x 2y + 5z = 1.

R 4

2. Determinare una base del seguente sottospazio di

U = [(1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 2)].

E 2

R

3. Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo , si determini l’aerea del triangolo formato dai punti

di coordinate (1, 1), (2, 2) e ( 1, 8). E 3

R

4. Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo , si determini l’equazione del fascio di piani passanti

per la retta ⇢ x 2y + z = 0

r : x y z 1 = 0.

5. Determinare gli autovalori reali della matrice 0 1

1 5 2

@ A

0 2 8 .

A = 0 0 11

Risolvere gli esercizi inserendo le risposte negli spazi predisposti, riportandone lo svolgimento.

COMPITO

Valutazione: su 4

1. R 5

In si considerino i sottospazi vettoriali W = [(1, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 1), (1, 0, 2, 1, 0)], e

R}.

{(a 2

V = + 3b 5c, 0, 0, b c, 2a b 3c) : a, b, c \

i) Determinare la dimensione ed una base di V , W , V W e V + W ;

R 5

ii) Scrivere le equazioni ordinarie, nella base naturale di , di ciascun sottospazio al punto i).

Valutazione: su 3

2. R

B B

Nel riferimento naturale di [x], sia U il sottospazio rappresentato in dalle equazioni

5

N N

8 x 2x + 4x + x = 0

< 1 2 5 6

2x x = 0

⌃ : 5 6

U : x + 3x = 0

5 6

Determinare:

(a) La dimensione ed una base di U . 4 5

(b) Per quali valori del parametro reale il polinomio +2+( 1)x + x + x appartiene al sottospazio U .

Valutazione: su 5

3. E 2

R

Fissato un riferimento cartesiano nel piano euclideo assegnate le rette s ed r di equazioni:

⇢ x =1 t

s : e r : x y + 1 = 0,

y = 1 + 2t

• stabilire la loro mutua posizione;

0

• ⌘

determinare il simmetrico P del punto P (1, 2) rispetto ad s;

R 0

• determinare l’area di un quadrato avente come lato P P .

Valutazione: su 3

4. E 3

R ⌘

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo , si determini la proiezione ortogonale del punto P R

(1, 1, 0) sul piano avente equazione ⇡ : 2x y + 1 = 0 e calcolare la distanza di P da ⇡.

Valutazione: su 2

5. E 3

R

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo , si determinino le equazioni ordinarie e parametriche

⌘

del piano ⇡ passante per il punto A (2, 1, 0) e contenente la retta

R ⇢ x 2y + 1 = 0

3x z 2 = 0.

Valutazione: su 5

6. E 3

R

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo , sia ⇡ il piano rappresentato dalla seguente equazione

⇡ : x + y 2z 1 = 0,

e sia ` la retta di equazioni 8

h x = h 1+ t

< y = ht

` : .

h : z = 1 + 2ht

6.1) determinare se esistono valori del parametro h in modo che ` sia ortogonale al piano ⇡;

h

6.2) determinare se esistono valori del parametro h in modo che ` sia parallela a ⇡;

h ⌘

6.3) determinare se esistono valori del parametro h in modo che la retta ` passi per il punto P (1, 1, 3).

R

h

Valutazione: su 4

7. E 3

Fissato nello spazio affine euclideo un riferimento cartesiano si considerino le seguenti rette

⇢ 3x 2y + 1 = 0

r : x + z =0

⇢ 6x 4y = 0

s : x + z +1=0

Determinare la posizione reciproca di s e r e la relativa distanza.

Valutazione: su 3

8. R n⇥n

2

Sia A . Se A è diagonalizzabile, 2A è diagonalizzabile?

Valutazione: su 4

9.

Si consideri la matrice 0 1

1 1 0 0

B C

1 1 0 0

B C 4⇥4

R

2

A = .

@ A

0 0 2 1

0 0 0 3 R 4⇥4

2

Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile. In caso a↵ermativo, determinare una matrice P che diagonalizza

R 4⇥4 1

2

A e una matrice diagonale D tale che P AP = D.

Valutazione: ........./30

Algebra Lineare e Geometria Analitica

Prima prova intercorso del 12-04-2022 - PROVA C

COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATRICOLA . . . . . . . . .

Risolvere gli esercizi inserendo le risposte negli spazi predisposti, senza riportarne lo svolgimento.

Se non si risponde correttamente ad almeno 3 domande/esercizi

la prova è considerata NON SUPERATA .

TEST PRELIMINARE

1. Stabilire per quali valori di k la seguente matrice è invertibile

0 1

k 1 0 2

@ A

0 1 3

A = .

k 0 0 1

2. Calcolare il determinante della seguente matrice:

0 1

1 1 1 1

@ A

2 2 2 2

A = .

3 3 3 3

3. Determinare, se esiste, una combinazione lineare non banale dei seguenti vettori che produce il vettore nullo

(1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (2, 2, 0, 2).

4. Calcolare, quando possibile, il prodotto AB e BA delle seguenti matrici

✓ ◆ ✓ ◆

1 1 0 0 3

A = ,B = .

2 0 1 2 0

5. Trovare una soluzione del seguente sistema lineare

⇢ 2x y = 1 .

x + z = 3

Risolvere gli esercizi inserendo le risposte negli spazi predisposti, riportandone lo svolgimento.

COMPITO

Valutazione: su 2

1.

Stabilire per quali valori del parametro reale k la seguente matrice è invertibile:

0 1

2k 0 2

@ A

2 k 0

A = .

k 1 1 1

Valutazione: su 6

2.

Studiare il sistema lineare AX = B, dove

0 1 0 1 0 1

0 0 2 x 1

1

@ A @ A @ A

2 0 0 x 1

A = , X = e B = .

2

1 1 1 x 0

3

Valutazione: su 2

3.

Stabilire se la seguente matrice a coefficienti reali è invertibile e, in caso a↵ermativo, calcolarne l’inversa.

0 1

1 1 0

@ A

2 1 1

M = 0 0 1

Valutazione: su 3

4.

Determinare il rango della seguente matrice: 0 1

3 1 0 2 4

@ A

3 0 1 4 7

A = .

3 2 1 0 1

Valutazione: su 4

5.

Determinare al variare del parametro reale t il rango della seguente matrice:

0 1

t 2 t 0 1

@ A

t 1 0 1 t

A = .

t 1 2 1 0 1

Valutazione: su 3

6.

Determinare al variare del parametro reale k il numero massimo di vettori indipendenti del seguente sistema di

R 4

vettori di : {(0,

T = 2, k 1, 2), (k + 1, 1, 2k, 0), (0, 0, k 2, 1), (0, 0, 1, 0)}.

k R 4

In particolare, stabilire per quali valori del parametro reale k l’insieme T costituisce una base di .

k

Valutazione: su 8

7.

Si consideri il seguente sistema lineare 8 (k 3)x = 2k + 1

< 1

3x + x x = k + 1

⌃ : 1 2 3

k : 3x + 3kx = 1

1 2

Determinare al variare di k il numero e le soluzioni del sistema ⌃ .

k

Valutazione: su 4

8.

Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi:

• R} R 3

{(b, 2 ✓

U = b, 4a) : a, b ;

1

• R} R

4 2 4

{(b 2 ✓

U = , b, 0, a ) : a, b ;

2 ⇢✓ ◆

1 2 0

• R R 2,3

2 ✓

U = : x, y, z .

3 x 2y 3y + 4z

Valutazione: su 3

9. 2

Determinare il numero delle soluzioni del sistema omogeneo avete come matrice incompleta la matrice A = (a )

i,j

R n⇥n dove a = 1 per ogni i e j.

i,j

Test Preliminare: ..../5, Esercizio Spazio: ....., Valutazione: ........./30

Algebra Lineare e Geometria Analitica

Simulazione Seconda prova intercorso

COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATRICOLA . . . . . . . . .

Risolvere gli esercizi inserendo le risposte negli spazi predisposti, senza riportarne lo svolgimento.

Se non si risponde correttamente ad almeno 3 domande/esercizi

la prova è considerata NON SUPERATA .

TEST PRELIMINARE

1. Stabilire per quali valori del parametro reale k la seguente matrice è a spettro semplice:

0 1

1 0 2

@ A

2

0 k 1 k 1

A = .

k 0 0 3

E E

3 3

R

2. Sia un fissato riferimento in . Determinare un punto della retta in di equazioni

⇢ x y + z = 1,

2z 1 = 0

E E

2 2

R

3. Sia un fissato riferimento in . Determinare in la retta ortogonale ad r : x y + 1 = 0 e passante per il

punto P di coordinate (2, 1).

4. Determinare una base del seguente sottospazio

2 3 2 3 R

}) ✓

U = L({2 + x 3x , x + 2x , 2 + 3x 3x + 4x [x].

3

✓ ◆

0 1

R R 2⇥2

2

2 2

5. Stabilire se il vettore (1, 2) è autovettore della matrice e, in caso positivo, determinarne

2 3

il relativo autovalore.

Risolvere gli esercizi inserendo le risposte negli spazi predisposti, riportandone lo svolgimento.

COMPITO

Valutazione: su 4

1. R 4

Nello spazio vettoriale assegnati i sottospazi:

R};

{(↵, 2

(1) V = , , ) : ↵, ,

1 R}

{(x, 2

(2) V = 2x, y, x + y) : x, y

2 \

i) determinare la dimensione ed una base di V , V , V V e V + V ;

1 2 1 2 1 2

R 4

ii) scrivere le equazioni ordinarie, nella base naturale di , di ciascun sottospazio al punto (i).

Valutazione: su 3

2. R 2,2

B B

Nel riferimento naturale di , sia U il sottospazio rappresentati in dalle equazioni

N N

8 x + 2x x + x = 0

< 1 2 3 4

x x = 0

⌃ : 3 4

U : x + x = 0

3 4

Determinare:

(a) La dimensione ed una base di U . ✓ ◆

+1 2

(b) Per quali valori del parametro reale la matrice appartiene al sottospazio U .

Valutazione: su 2

3. E 2

R

Fissato un riferimento cartesiano nel piano euclideo assegnate le rette s ed r di equazioni:

⇢ x = 2t

s : e r : x y + 2 = 0,

y = 1 2t

determinare:

• i numeri direttori di s ed r;

• la posizione reciproca delle rette s ed r.

Valutazione: su 3

4. 0

E 2

R ⌘

Sia un fissato riferimento nel piano euclideo . Determinare S la proiezione ortogonale del punto S (1, 2)

R

0

sull’asse x e determinare l’area del triangolo di vertici S, S , O.

Valutazione: su 2

6. E 3

R ⌘

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo , si determini la proiezione ortogonale del punto P R

(0, 1, 1) sul piano avente equazione 2x y + 1 = 0.

Valutazione: su 2

7. E 3

R

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo , si determinino le equazioni ordinarie e parametriche

⌘ ⌘ ⌘

del piano ⇡ passante per i punti A (1, 1, 2), B (0, 1, 0) e C (0, 1, 1).

R R R

Valutazione: su 5 - Esercizio obbligatorio

8. E E

3 3

Fissato nello spazio affine euclideo un riferimento cartesiano, sia ⇡ il fascio di piani di di equazione

k

⇡ : kx + (k + 2)y + (1 k)z + k 1 = 0,

k

e sia ` la retta di equazioni 8

h x = 1+ t

< y = t

` : .

: z =1+ t

3.1) determinare se esistono valori del parametro k in modo che ` sia ortogonale al piano ⇡ ;

k

3.2) determinare se esistono valori del parametro k in modo che ` sia parallela a ⇡ ;

k ⌘

3.3) determinare se esistono valori del parametro k in modo che il piano ⇡ passi per il punto P (0, 2, 1).

R

k