Esercitazioni di Fondamenti di algebra lineare e geometria

E

z z2 ottenere

+ per

= =

= = =

=

- i) algebrica

i) la forme

+ 4i

n +

+ - divido

moltiplico e

il coniugato

per "ip"

invento di

il segno

!

1 4i

4 -

-

↑ 4i

4i

- 4 -4

+ -

4i

- n -

= (ui u)) mi)

n -

-

- 4i

-4 -

I (- (i)

16i2

i 16

+ +

- 4i

- 4 -

I 16

16 +

4) i)

1 -

-

I 3/2s

q

z

= -

-

Etir

=

z2

z . 4i

-

iV-Ez

= I

H

+i =

-

=

ES 2 R ?

Dato a Isoluzioni ?

-Quante sono

(a) lineare

Discutere il sistema

S 1

+

X z = 1)y

(a a

2z 1

+

a

+

x +

+ - =

3z 1

2x +

y =

- da

soluzioni dipendono

almeno parametro

un

-

co

(6) Se di le almeno

soluzioni

cui

esistono valori a sono

per hneare

varietà

di

risolvere sistema

il le

tali valori soluzioni

esprimendo

a come

per al

1 matrice

Trovo siste

associata me

1 O 1

1 1)

(a

(a2 1)

1 a

+ 2 +

-

1

2 3 1

- la matrice

Riduco scala

a

2 ~

1 ?

~ O 8 1

1 O 1 8

1 1

H2( 1) -1

1 1

1 1

Ma(2) H32

- ( 1)

1)

(a +

+ -

vo vo

1) (a2

(a >

(a2 (a2

1)

1) 1) 3

O 1

1

-1

1 1

a

+ a

a a

+ +

2 a

+ -

-

- -

( )

2 + 1 ?

x - (a2

O 1)

O

1

1

T

13

2

1

2 1

a

31 +

1 a

-

-

-

- -

come

risolvere verifica

quando si

a

CASO colonna

pivot

no tenza

-1 ) un

: in

0

a

+ =

= ! soluzione

quindi -

:

Caso la è scala

matrice

a-1 >

0 ancora

+ non a :

=

8 1

-1 8 1

-1

Hzz(a2

1 1) 1

a

+ -

vo vo

1

1

-1 1

-

>

- -

(a2 VO

1)

O a a

1 O

a

+ a a 1

+

+

- -

matrice scala

a

a

Caso 0

a

+

: =

1)

a(a 0

+ =

a 1

a 0

= -

=

.

Punico valore

ultime colonne

in

CASO 0

a = 8 1

1 1

= O 1

1

T -

-

O 1

O

O

-

PIVOT ultima colonna

in

SISTEMA INCOMPATIBILE

A

=> soluzioni

CASO 1

a -

= 8 1

1 1

= 0 1

11 -

-

O O

O

O

ho ultime

Pivot colonna

Non in

SISTEMA COMPARBILE

=> soluzioni : 3 2 at

-

+

gn - 0 =

= 3

z)

(X

variabili

di y

n numero =

: ,

,

(numesslight

-

M. della matrice

rango

soluzioni : E

a 0 soluzioni

· =

= c'

(0)

=> 1 Caso 7 y

0 +

soluzioni 1

a

a

a >

· -

= -

= !

5

+

01a

+ soluzione

1

a )

· - = 0 1

1 1

= 0 1

11 -

- araa

o o

(a soluzioni)

-1

t

a ↓

PIVOT

-

0 1

·

1 PIVOT

Non no

ultime

in colonne

O

O

O SISTEMA COMPATIBILE

↓

soluzioni :

( 3

n-r

1

z

+ +

o

+ A soluzioni

= go

z 1

+

y soluzioni

- - =

= !

7 soluzione

=>

da

colonne di

le PIVOT

scelgo prive usane

parametro Z

come =

tenmini

Z

Y

X noti

pivot pivot colonne

di

priva

PIVOT

↓ connisponde alla

variabile la

z

parametro

come

uso S + =

- z 1

y +

= ↓

Soluzioni :

((1 z) ERR]

S z

1

z z + :

= = , ,

((1 zERY

E)

(

0)

a z

+ z

- = :

= ,

, ,

,

(( 2)

z(

0) zERR]

scrivo 2

come - 2

+

2 :

= ,

, ,

,

VARIETÀ LINEARE 1)

(-1

0)

(1 <

1

Finale <

<

=

. , ,

,

,

3

ES . f(x 5y2

x 42

z)

Forma quadratica 4yz

4xy +

+ +

y

: = -

,

,

(a) classificare f quadratica

forma

8

CLASSIFICAZIONI :

* DEF M

i

Pos ce

N-O

Tra strettamente positivo

uno non

.

.

. POS

SEMID

· .

DEF NEC

· .

.

SEMID NEC

· .

.

INDEFINITA

· (def )

Criterio di Nord Ovest

Minori ??

Pos

1

Opzione -

: .

f

1 ad

matrice

Scrivo associata

. x2

I *

Af (senza cambianli)

sulla

scrivo

1 diag principale

= .

z i della quadrato

coefficienti al

variabili

4

Y Z

X

= O

Af termini

coefficienti

i dei misti

2

5 metà

divisi

Vanno a

0-24 4XY O 4yz

Xz -

120

Af i di matrice

di

minori

3 N-O questa sono

= 25 2

- ~

Mi

-24

0 det

1 >0

M1 1

= =

= sou

5)

(1 (2 2)

Mz det 5 1

4

Mz -

. =

=

= .

-

120 X

M3 Af

det

det

M3 0

=

25 =

= 2

-

-24

0 -1 2

12 25

25 2

-

240 2

0 -

-

12012

225

25 -

240 2

0 -

- 16 Posso

P

20 NON

+

4 = CONCLUDERE

H

PASSO AL

CRITERIO DEGLI

AUTOVALORI

Criterio Autovalori

degli

2

Opzione : Af

Calcolo di

valori

auto

Af-XI3

det 201 x2

1 x -

-

det

= x

25

2

x

25 -

-

- x0 2

24

0 -

-

- 1 x2

1 x20 -

-

det

= X

25

X

25 2 -

-

- x0 2

24

0 -

-

-

( ( -

x)(u

x)(5 x) 2) (2)(1 (u

x) x)(z)(2)

+

= - -

- -

- -

xz)(n

(5 (4

x) 4x)

x 16

5x 4x +

+ -

= -

- -

- - (x

( y

(x

yo -B

=

4x zx 4

X

-

20x +

+ +

-

= -

- +

- =

43 10x2

5x

4x

+

20x +

-

= -

= 43 10x2 21x

+

-

= -

(x3 2x)

1042 +

= -

= x(x 21)

10x +

-

-

= 24 7

x = =

10 = 84

100

X -

12 = x2 6 3

=

2 =

7)(x

x)(x 3)

( -

-

-

= Af

Autovalori di :

X

x 1

0

0 1

ma => =

mg

=

=

- =

>

- x

X 0

7 7 1 =

me )

= = mg

= =

- >

- 3

x

x 3 0 1 1

=> mg

= ma

= =

- =

>

- 0

due positivi,

= uno :

=

J è positiva

semidefinita

13 f(x 2)

(6) forma

la 0

.

tale

esiste

dire che sia

se nulo

vettore

un non

in 4 ,

,

:

z)

(x

F 90) z)

(0 f(x

+

+ 0

=> y y

c =

, . , ,

, , RISPOSTA

=

RISPOSTA

=> a 423

f(x x 5x2

z) 4yz

4xy

+ + +

prendere di 0

bene

va y

autovettore -

un =

, ,

T f(1)

Af f ad

forma

della applicata

equivalente

· = x

=>

↓ x y2 4z

hy

dimostrazione hyz

4xy

+ + +

+

= -

(x yz) X

1 20 =

Y

25 2 (y 2z)

2y)

(x

- +

+

= -

Z

4

2

0 -

(x yz)

= 20

x = 0()(x 0

2y 2y

+

2x5y x

2z = -

f(x =

z)

- x =

, ,

4z

0 2y

- EY

0z

2z

y - = =

He

x 5y2 4z2

2yz 2xz

2xy 2xy

+ + +

+

= - - ( zY)

2y y

- ,

,

4z3

x 5x2 4yz

4xy

+ + +

= - ↓

m it vettore

matrice

di partenza 8) 2) 0

7

2 =

- , ,

· f(z)

Af = =

sappiamo O autovalore

che è un

- +.

=> 0

+ c

=

Ag e

E

f(E) A 0

= = (cioè autovalore

sì è

f è

perché o

semidefinita positiva

, un

.

(x z)

F

(2) z)

f(x

+ 0

y

c

y .

, , , ,

!

Risposta No e

semidesima

e se

perché f poi

: -0

4.

ES . il

Discutere sistema

I E

dy

X 0 Qu

- = 1)z

(a &

+

y +

x + = 1)z a2

(a)

(a 1)y 4

+ a

ax +

+ + +

+ =

associate sistema

matrice

Trovo al

1 1 - O

O

1 a

1 O

1

+

22

d a

Q 1

+ + + 1

or 4

+

Riduco matrice scala

2 a O D

O D 1

1

1 - -

O (

O - Hz) a)

Hzi - D

O 1

D

1 a

+Q

O 1

+

+aa 1 =

+

D

11 O

Att a

al O

22 1 a 12 4

+

di

h

d 1

a

Q +

a + a

d 1 d

+a +

+

1 + +

+ + + 1 +

or 4

+ Sea 0

> 1

+ +

- a = 15

1 +

an -

=

-

4

- 1 2

d

= =

z az

, 2 i

-1 -

= 2

MATRICE A SCALA

No ultime

pivot colonna

in

Sistema INCOMPATIBILE

=>

↓ soluzioni

Seaz +

1 0

> + +

au

- matrice scala

ancora

non a a

H2s( D

O a0

D 1

1 -

- - O D

D

O 1

1 a

+Q

a 1

+Q +

1

+ a

a O

O

O (a &

12 4

(1

4 1) +

a)x

+

di 1

+ a 0

a + +

d + +

+

+ + = (a 1)

+ a

x +

-

= (1 a)

+ +

con a 1

- MATRICE

A SCALA + 0

sed 1

+

>

- 1

=> Q = -

compatibile

Sistema #

a 0

4

+ =

I 2i

& =

1

sed =

> -

- !

PROBLEMA

dividere

Non posso

o

per

W

1100 H23

- >

000 0

0115

1 100

#

Sistema incompatibile 2i

Incompatibile d

Sist 1

sempre - 011 5

. ,

= d' 0 0

O 0

quando Se soluzioni

12i

tranne zi -1

d -1

1

a a

o = -

=

= ,

,

o compatibile

Sistema

dove soluzioni

abbiamo L soluzion

e

con

BO