Algebra e geometria

(CARATTERIZZAZIONE

TEOREMA DELLE

- vettaiale

V di

Sie spazio

uno

dimensione m- equivalenti

seguenti

La sono :

V

B lase

1) di

è ;

una sistema lim

vettori

2) di

B è .

un Bl

1

indip ;

On = m

.

3) sistema di

massimale

B è un

retta him indip .;

: .

4) generatori

sistema

B di

è un

IB) ;

con m

= sistema generatori

5) di

B è un

minimale - sottospazio di

Sia V

W

def un -

- vettoriale quindi

è

W spazio

uno e

bese

ammette une -

definire &

Possiamo la

W come

vethriele

dimensione di W come spezio

PROPOSIZIONE

- vettoriale

Sie di

V spezio

uno

dimensione M -

sottostazio di

Sia allora

V

W un

(W)

1) dim m

dim (W) V

2) W

m E

= = -

Dim

- lased W

Sie Bu Es

una

sistema vettori lim.

Bu di

è un .

indip V-

di completamento

di

Per il terrma ,

estendere V

,

lase di

può

Bur si e

Blase V:

di

esiste

cioi B-

Bw =

IB)

IBwl

=> = M

=

X V

d'

base

B è una

dimensione

ha

de n

dim(W)

D = -

=

2) dim(W) V

W =

=

m

=

57

f IBwl e

Bu

=D

m

= vettri V

di

di

insieme

un IBwl

lim indip com m

=

. .

Car

Teorema Basi las

Bu

. è

= una

V

di =

L(Bw) v

w = =

↑ lase

Bu è lase

Bu è

di W [

div

COROLLARIO

- sottostati de V

-

de

Siano U v

e d'm(W)

(V)

edim

Se UzW =

u w-

=> =

ESERCIZI

- dei seguenti

1) Stelilize quali sottospazi

sott insiemi sono e

determinare lase-

dimensione e

-R3

4(x zt]

A z)

3 :

= , , 7ER]

h(z z)

A 3 y

:

= , , ,

(t 8)

z) (z

y z) (0 3

0 +

=

, ,

, .

, , 1) y(0

z(1 0)

0 1

+

= , ,

, . Il

((((10 0(3)

A 1) 10 1

=> = ,

. .

, IR

stospazio di

è un

(A) 3

dim :

0)3 sistema

4(1 è

10

1) 1

0 un

, , ,

,

, sereatri

di A

di

03

4(1 di A

lase

1) è

=> 0 10 1 una

1 , , ,

,

(A)

dim 2

= 3

h(x +

+)

T % :

t

= +

, .

, t y

z

x = -

+ +ERY

G (E +)

T + 3 y E

= z

y :

+ - , , ,

, .

t)

t z

(z y y =

+ - ,

,

, t)

(+ (

(z 0)

0)

t 3 %

+

0 0 0 0

+

, ,

, ,

, .

,

,

,

z(1 20) 1)

+ (

(1

0 0

0 1 0

y

0 1

+

+

= , -

, , ,

,

, .

, 04)

L(4(10

T (1

0) 2) (-1

1 1

8 0 0

= , , ,

, , ,

. ,

, ,

IRP

stospatio di

T è un 03

4(10 è

1)

40) 11,0 201 1 0

0

, ,

,

, , ,

,

,

sistema di T

per

gen

un .

(t)) =

· 9.04

4(99 2)

(1

0) (+

0 1

= 0

1 ,

, ,

,

. ,

,

, ,

T

lese

è pr

une

(T) 3

=

dim c)

4(2) b

S 0

a =

: =

= ,

cdERRY

1(d)

S :

= (i)

(2) (ii)

= + d(ii)

(i)

= +

(8i)])

((h(25)

S = ,

sollospezio

Se un ) (8i)]

4( % sistema

è un

, pers

di sen

]

4(i) (89) lese

e

=> una

, S

di

R"

2) Stude in 0) teRY

4) 2 =

u 3

: +

= , ,

37

= S

:

/(*)

w = (i)

((((8) (ii)

U = ,

,

(52) =

(j98)

5)

(x 2x +

+

+

o =(8)

(88) +

= (i)

8)

(i =

I +

stlospazio

U è un (88i))

4(8) %0,

(

,

sistema di

è l

gen

un per

.

(2) +(88)

p(i i)

a + +

- )

%

(88

=

( (

:

E

% (

metrici

2 O

= b

D

B =

= 0 indip

lim

sono

5 .

0

= i) (882))

4) (i

=> , _ ,

lase di

è u

una

(V) 3

dim =

b) 3

+

2x x2

x =

w ,

:

= X5 X1

0 =

=

xy ,

xz)

4 +ER)

x x

:

= , ,

+

) (in)

( +

=

+ S

(208

8)

( + (188])

(2) (88i)

w = ,

.

sottospazio

W è un

4(ii) (82) (988))

, ,

di

lase

è w

una

(W)

dim 3

= sottospazio

UnW è un )

&

Xz 2x1

=

( S

(

y)

x 2x1

2x O

=

- i

z 4x

=

= (

2x

( X1

* x4

-

=

DX4 0

= =

=

S

( X1

y 0

= (i)

)

( = )

i)

(

=G =R

unw : +

((4(ii)))

= i)

4) Y lase

è una po

W

Un

(UnW)

dim 1

=

stospazio

Somma

aER)

U h(e 0)

= :

, 1)

4(0 b)

w b =

= :

, sottospazio

UVW è

non un

1)

U

(10) (0 w

= =

, Unk

(11)

9)

(1 1)

(0 =

+ ,

. ospazio

definisce

Si Somma

def

di W

U e wew]

(a

w au

U 2 :

= +

+ ,

propositiv

e sottospesi d V-

due

sottospazio

1) di

U W V ;

è

+ un

[Urw)

2) U L(Uvw)

w =

=

+ -