PIVOT
↓
Z parametro beno
Il zm
2
) y =
= - 1
m -
I
S 1
1 z
X
X 2m
z
+ (m m2)z
= - m2
= 2m z => z
+ =
= =
- m(m 1)
-
2
y z
y
- -
= =
Dunque (c
(x z)
z) 2
z
y = -
, , , ,
( z) 0)
0) 2 0
2 + -
= ,
,
, , c( 0)
(1 0)
2 0
1
+
= -
, ,
, ,
è
Una è
una
matrice diagonalizzabile
1 matrice diagonalizzabile
Sei se
I :
. È d
È
i
completamente riducibile diag
simmetrica lungo la
su principale
· .
autovalore ha
ogni m
m a g H
· = .
. . Essendo A
simmetrica
7 matrice di
diagonalizzazione
ontogonale
Il
2
procedimento :
I Calcolo autovalori di A caratteristico
polinomio
del
= zeri suo
(A
Pa(x) XIn)
det -
= = 49 -x 07
(1 det
x Iz)
det = =
=
= - x0
01 - /
70 1 -
Sviluppo ottenendo
alla seconda riga
rispetto
49 -x 07
det
= =
10
01 - /
70 1 -
43
x)
(1 Autovalori
det
-
= &
X 0 ma
ma =
= ENDOMORFISMO
12 diagonalizzabile
x)
(1 x) x)(1 (7)(z) 1
(49 ma mg
= - . - =
=
- - X3 1
ma
50 mg =
=
=
x)4/ 49
x
(1 x
49x + -
-
-
-
= x)x2
(1 50x
-
= -
x)(x)(x 50)
(1 - -
=
I gli
Calcoliamo antospazi associati autovalori
agli
0zx]
(x (3
Ea(x) Ax
(x z) ( =
:
y
= = ,
, y
sostituisco con
matrice
il valore nella
suo )
(x 13
(x x
z) 03x
-
y :
= =
= , ,
,
Riscrivo forme
Osx nella
X = i
S by 0
ax cz
+ + =
fz
dx 0
ey
+ + =
hy iz 0
gx + + =
(x )
) pery x) )
=(x)
= : =
= = ,,
1, 03x)
(x
(x (x
03x] -R 03x]
z)
(x
(x z)(R3 Ea() (50)
Ax (X
Ea(0) z) (r3
Ax · EA Ax
y y
· +
·
=
:
=
: : =
=
= =
= =
, ,
= , ,
, , 80
: 1 07
49 03x) 03x)
0 (x -
7 os)
(x (x
+m ( z)[M3
( (yz)(m
z) 010x X 190x
= :
+ +
= =
=
= =
= 0
=
= = ,
, , , 70 0
70 49
70 -
il
Riscriviamo associato Riscriviamoo
sistema Riscriviamo Ax
grundi come
come
I S S
I
7z
49x 0 7z
7z
+ 7z
48x 0
= + X
-x 0
+ z 0
= =
=
=
= S
0
I
0
y 0 49y
y 0 0 0
= = 0
y
-
= = =
7x 0 7x
z z
+ = 7x 49z
o 0
= = - .
- - =
Risulta quindi Quindi
Quindi risulta
x ER)
(x (x
(x 7x) (1 ER]
Ea(0) yEMY (77
(50) z)
(0
0 0)
Ea() Ea
: 0
- =
=
= :
y
, =
: =
=
=
, ,
,
, , (7
7)
<( 1)
<(0 0)
0 =, 0
-
= 4
, =
I , .
, ,
I I ,
I I
autovettore autovettore
autovettore
formano
Gli Base
autovettori Ortogonale
una
Cautovettori Ortogonali)
autovalori distinti
ad
associati sono vettori
, 1)
( (7
7) (0
B (1 0)
base
=> =
ortogonale 0
7
0
= -
, 1
, , , .
, ,
B (dividendo
rendere
Dobbiamo (
ora la
ciascun vettore per sua nonma
=
BASE ORTONORMALE
Calcoliamo degli autovettori
le nome
(1 7)
Vell
Il 7) 12 02
11 (
/1 50
+ +
0 -
= = =
, , 0 )
(0 1
11 Vell 11
11 =
7
= =
,
,
(7 1) Il
11 50
11 V311 0 =
= , ,
I dei
normalizzati vettori sono :
VI 5
(5010
11 will = = -
.
11 ve11 (0 0
Vz
Il Il 4
U2 =
= .
.
livell
V3 (19 o
Il Il
43 = =
Ilvs11 fun us]
B
È
Base
l OrtoNormale un
= ,
, A
diagonalizza
che
ortogonale
matrice
E una B'
è i di ossia
colonne
motrice
la ha vettori
che come ,
"so 7
& 50
H 10
8
I -500 "so
Piano contiene
IT +
sette
che
fascio
il di PIANI
Imposto 1)
x(x 1)
m(z
2y z +
+ +
+ x
+
-
↑ 1
2yx xz
+ M
+ Mz
x +
+ + M
-
(x (m
M)X X)z 1
2xy
+ X entrambi
+ + 0 nui
+ + con
M u non
- = ,
a
Retta
↑
c(3 (2
1) 1)
(2 1)
M 1
2
1 <
+ -
- -
: -
-
- , ,
. ,
, .
(2 <(2 2)
1) 1
: -2 + -
- ,
,
,
. IRETTA
PIANO X fattore
definiti di ,
Siccome un
M a meno non
e nullo
sono
il piano il
esiste sistema
vale
cercato se
! x 1
M
+ = -X
2x -
1
- =
=
= =
-M = X
sostituisco M
=> e
I
( (3
2) z)y
z)x 2)z z
E
z + 0
+
+ +
+ =
-
- 2z 1 0
- +
Y + =
- 1
2z
=> 0
y
x + + =
-
PORTO FORMA ALGEBRICA
IN
TUTO e i
it
I I
4i) -
it
(2 Z
Ze 2
2
+
+ I I
3
+
4
+ 4i
2 c +
= I I
i3 =
E
2
4i cost
0 O
2 + g
+ cos f
= = =
=
I I V
0 0 sind
sin8
i 1
4i = F
2 +
= - - = =_
= -
- 2
I I
3i
2 +
= I I .
v
0 cost 1
20s0 a
a g
g
= =
=
=
. = . 2
I I
(2 Ez
3i) E
6 sin8 -7
6 sind
2
+ g g
= = - =
. = =
. . Z
I I
I I
(0 (1
zi) i)
-
-
I I
I I
Quindi ottengo
(2 (0
3i)z (1
2i)z i) 0
+ - - - =
+ (2)
t Si
z zz
+ = = =
- - =
- =
i
23ii
=
z2
21 = =
(a) MATRICE SCALA
A
1059 1059 1059 1059 15
132
H21() ( 2) Hzy (
Hus 1)
-1030 a -
o s
o os a
o -
1114
, >
> H
001618 a
08
0
001618 a
0 O 08
32 0
0 0 0
1114 0
0 0
114 0
1 0
0
114
1 0
MATRICE A
SCALA
base
Le righe mule danno una
non :
10 10
(7 -5)
9)
Beurebase 9)
8
5
< 1 0
-4
0
= , .
,
,
, ,
, . .
,
,
(6) B
matrice
Scriviamo i di
ultima colonne
di le coordinate
vettori L
a e in
100 1000 1000
100 1
O 0
O O
O
Hz)( 5) Hzz(4) 44-( Hus(-)
9)
-
0100 0100 010
0100 0100 o
> > > ,
483 0083
5 0083
-483
0 083
O Muz (5)
- 00 00 27
59h
9 h
9
59h
9 0
h
59h
9
- --
- - S
MATRICE SCALA
A
20
h PIOT
no
con COL
ULR
in
un
: .
- .
E
n 2 w
0
con :
=
-
(a) f
scrivo la ad
associata
matrice
X2
2 3 O
-
-[
Af = O 1
CRITERIO AUTOVALORI
DEGLI x 13)
(Ag
Pay(x) det
= -
x
2 30
- -
det 32-x =
- 12 X
0 - riga -
sviluppo alla prima
rispetto
(2 det i
(-3)
x) det
=> - -
x) (
x)(2
(2 3) ( 3)(2 x)
1
+ -
- - -
- -
= q(z x)
x)(2 x)
x)(2
(2 + -
- - -
= - x)5
(2 q(2 x)
x
4x + -
- -
= -
x)((5 9)
(2 12)
4x +
-
= -
-
(1)
= ist Se
2 2 e
AUTOVALORI !
X 2 0
>
= fe UNA FORMA
xz 2 > 0
+ 10
= QUADRATICA
13 -O
2 INDEFINIIA
10
-
= ↓
(6) (X Er3
Essendo & z)
E 2) f(x
indefinita +.
F Q o
vettori y
y <
c
. . , . , ,
,
[R3
(X0 Zo) l'autovettore 13
Sia associato
%0
Mo a .
= , ,
Poiché 20)
(x0 (0
z0)
(x0 Ag
8 z0)
40 %0
40 = , . , ,
,
, 20)"
xg(x0 (x0 z0)
40
y0
= ,
, ,
,
(x02 202)
13 yo 0
>
+ +
= ER3
(x0 f(uo)
20) 0
=> >
=
y0
=
o , ,
0)
f(1 <0
Esempio 1
: ,
,
(a) (e'
(e n')
m'
n)
↑Il di
multiplo
s <) m
, .
, ,
di
direttori S:
parametri
S 3 0
+
- x z - =
2x 7 0
y + =
- esprimenti
possiamo come : 1}
((x z) 2z
7
3 2x
z +
x y +
y : = =
=
-
, ,
,
((z z) zEIR
3 2z 1
+
-
= :
, ,
+
(3 0)
1
= ,
, din
parametri . -
visto che
/ I S
↓ ↓
(punto) (par )
die
M + <
: (
.
. (9
n)
(e n')
,
, m
m =
, ,
(1
(5 7)
2) ↓
2
+
0 < >
· , ,
, , parametri M
di
direttori
Eg M
parametriche
.
S t
5 +
X = 2t
y = t
2 +
z = RETTA
PIANO I by d
Plano
Eg 0
ax + cz
+ +
gen : =
. .
L PIANO
RETTA P
w
Mk90c 1
=
emn
PIANO IM d
=> 0
z
2y + +
+
x = P(5 2)
I
Imponendo passi
che ottengo
0
per :
, ,
2(0) (2) d
5 +
+ 0
+ =
5 d
+ 2 + 0
=
d 7
= -
da
=> cui :
# 7
2y z 0
x + +
: =
-
1
11 1 12
1 1 01
1 1
1 1
+
+
A . . .
. =
=
= 0101 O 1
1
0 1 1 1
0
+ 0 1
+
. .
. .
1 17
+ 13
.
or
1 2 1
A3 2. =
=
= 01
O 1
0 + 1
0 +
. .
.0
1 1 1
.
Ricondo funzione lin.
la
che
( o
a M(2 19 d)
m) ERY
= 2 6
C c
+
: - ,
,
, ,
1101
E = 1201
130 T
Ponto SCALA
a 1
10
1101 101
H32( 2)
H2 (1) - 0100
> >
0100<
-
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