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PIVOT

Z parametro beno

Il zm

2

) y =

= - 1

m -

I

S 1

1 z

X

X 2m

z

+ (m m2)z

= - m2

= 2m z => z

+ =

= =

- m(m 1)

-

2

y z

y

- -

= =

Dunque (c

(x z)

z) 2

z

y = -

, , , ,

( z) 0)

0) 2 0

2 + -

= ,

,

, , c( 0)

(1 0)

2 0

1

+

= -

, ,

, ,

è

Una è

una

matrice diagonalizzabile

1 matrice diagonalizzabile

Sei se

I :

. È d

È

i

completamente riducibile diag

simmetrica lungo la

su principale

· .

autovalore ha

ogni m

m a g H

· = .

. . Essendo A

simmetrica

7 matrice di

diagonalizzazione

ontogonale

Il

2

procedimento :

I Calcolo autovalori di A caratteristico

polinomio

del

= zeri suo

(A

Pa(x) XIn)

det -

= = 49 -x 07

(1 det

x Iz)

det = =

=

= - x0

01 - /

70 1 -

Sviluppo ottenendo

alla seconda riga

rispetto

49 -x 07

det

= =

10

01 - /

70 1 -

43

x)

(1 Autovalori

det

-

= &

X 0 ma

ma =

= ENDOMORFISMO

12 diagonalizzabile

x)

(1 x) x)(1 (7)(z) 1

(49 ma mg

= - . - =

=

- - X3 1

ma

50 mg =

=

=

x)4/ 49

x

(1 x

49x + -

-

-

-

= x)x2

(1 50x

-

= -

x)(x)(x 50)

(1 - -

=

I gli

Calcoliamo antospazi associati autovalori

agli

0zx]

(x (3

Ea(x) Ax

(x z) ( =

:

y

= = ,

, y

sostituisco con

matrice

il valore nella

suo )

(x 13

(x x

z) 03x

-

y :

= =

= , ,

,

Riscrivo forme

Osx nella

X = i

S by 0

ax cz

+ + =

fz

dx 0

ey

+ + =

hy iz 0

gx + + =

(x )

) pery x) )

=(x)

= : =

= = ,,

1, 03x)

(x

(x (x

03x] -R 03x]

z)

(x

(x z)(R3 Ea() (50)

Ax (X

Ea(0) z) (r3

Ax · EA Ax

y y

· +

·

=

:

=

: : =

=

= =

= =

, ,

= , ,

, , 80

: 1 07

49 03x) 03x)

0 (x -

7 os)

(x (x

+m ( z)[M3

( (yz)(m

z) 010x X 190x

= :

+ +

= =

=

= =

= 0

=

= = ,

, , , 70 0

70 49

70 -

il

Riscriviamo associato Riscriviamoo

sistema Riscriviamo Ax

grundi come

come

I S S

I

7z

49x 0 7z

7z

+ 7z

48x 0

= + X

-x 0

+ z 0

= =

=

=

= S

0

I

0

y 0 49y

y 0 0 0

= = 0

y

-

= = =

7x 0 7x

z z

+ = 7x 49z

o 0

= = - .

- - =

Risulta quindi Quindi

Quindi risulta

x ER)

(x (x

(x 7x) (1 ER]

Ea(0) yEMY (77

(50) z)

(0

0 0)

Ea() Ea

: 0

- =

=

= :

y

, =

: =

=

=

, ,

,

, , (7

7)

<( 1)

<(0 0)

0 =, 0

-

= 4

, =

I , .

, ,

I I ,

I I

autovettore autovettore

autovettore

formano

Gli Base

autovettori Ortogonale

una

Cautovettori Ortogonali)

autovalori distinti

ad

associati sono vettori

, 1)

( (7

7) (0

B (1 0)

base

=> =

ortogonale 0

7

0

= -

, 1

, , , .

, ,

B (dividendo

rendere

Dobbiamo (

ora la

ciascun vettore per sua nonma

=

BASE ORTONORMALE

Calcoliamo degli autovettori

le nome

(1 7)

Vell

Il 7) 12 02

11 (

/1 50

+ +

0 -

= = =

, , 0 )

(0 1

11 Vell 11

11 =

7

= =

,

,

(7 1) Il

11 50

11 V311 0 =

= , ,

I dei

normalizzati vettori sono :

VI 5

(5010

11 will = = -

.

11 ve11 (0 0

Vz

Il Il 4

U2 =

= .

.

livell

V3 (19 o

Il Il

43 = =

Ilvs11 fun us]

B

È

Base

l OrtoNormale un

= ,

, A

diagonalizza

che

ortogonale

matrice

E una B'

è i di ossia

colonne

motrice

la ha vettori

che come ,

"so 7

& 50

H 10

8

I -500 "so

Piano contiene

IT +

sette

che

fascio

il di PIANI

Imposto 1)

x(x 1)

m(z

2y z +

+ +

+ x

+

-

↑ 1

2yx xz

+ M

+ Mz

x +

+ + M

-

(x (m

M)X X)z 1

2xy

+ X entrambi

+ + 0 nui

+ + con

M u non

- = ,

a

Retta

c(3 (2

1) 1)

(2 1)

M 1

2

1 <

+ -

- -

: -

-

- , ,

. ,

, .

(2 <(2 2)

1) 1

: -2 + -

- ,

,

,

. IRETTA

PIANO X fattore

definiti di ,

Siccome un

M a meno non

e nullo

sono

il piano il

esiste sistema

vale

cercato se

! x 1

M

+ = -X

2x -

1

- =

=

= =

-M = X

sostituisco M

=> e

I

( (3

2) z)y

z)x 2)z z

E

z + 0

+

+ +

+ =

-

- 2z 1 0

- +

Y + =

- 1

2z

=> 0

y

x + + =

-

PORTO FORMA ALGEBRICA

IN

TUTO e i

it

I I

4i) -

it

(2 Z

Ze 2

2

+

+ I I

3

+

4

+ 4i

2 c +

= I I

i3 =

E

2

4i cost

0 O

2 + g

+ cos f

= = =

=

I I V

0 0 sind

sin8

i 1

4i = F

2 +

= - - = =_

= -

- 2

I I

3i

2 +

= I I .

v

0 cost 1

20s0 a

a g

g

= =

=

=

. = . 2

I I

(2 Ez

3i) E

6 sin8 -7

6 sind

2

+ g g

= = - =

. = =

. . Z

I I

I I

(0 (1

zi) i)

-

-

I I

I I

Quindi ottengo

(2 (0

3i)z (1

2i)z i) 0

+ - - - =

+ (2)

t Si

z zz

+ = = =

- - =

- =

i

23ii

=

z2

21 = =

(a) MATRICE SCALA

A

1059 1059 1059 1059 15

132

H21() ( 2) Hzy (

Hus 1)

-1030 a -

o s

o os a

o -

1114

, >

> H

001618 a

08

0

001618 a

0 O 08

32 0

0 0 0

1114 0

0 0

114 0

1 0

0

114

1 0

MATRICE A

SCALA

base

Le righe mule danno una

non :

10 10

(7 -5)

9)

Beurebase 9)

8

5

< 1 0

-4

0

= , .

,

,

, ,

, . .

,

,

(6) B

matrice

Scriviamo i di

ultima colonne

di le coordinate

vettori L

a e in

100 1000 1000

100 1

O 0

O O

O

Hz)( 5) Hzz(4) 44-( Hus(-)

9)

-

0100 0100 010

0100 0100 o

> > > ,

483 0083

5 0083

-483

0 083

O Muz (5)

- 00 00 27

59h

9 h

9

59h

9 0

h

59h

9

- --

- - S

MATRICE SCALA

A

20

h PIOT

no

con COL

ULR

in

un

: .

- .

E

n 2 w

0

con :

=

-

(a) f

scrivo la ad

associata

matrice

X2

2 3 O

-

-[

Af = O 1

CRITERIO AUTOVALORI

DEGLI x 13)

(Ag

Pay(x) det

= -

x

2 30

- -

det 32-x =

- 12 X

0 - riga -

sviluppo alla prima

rispetto

(2 det i

(-3)

x) det

=> - -

x) (

x)(2

(2 3) ( 3)(2 x)

1

+ -

- - -

- -

= q(z x)

x)(2 x)

x)(2

(2 + -

- - -

= - x)5

(2 q(2 x)

x

4x + -

- -

= -

x)((5 9)

(2 12)

4x +

-

= -

-

(1)

= ist Se

2 2 e

AUTOVALORI !

X 2 0

>

= fe UNA FORMA

xz 2 > 0

+ 10

= QUADRATICA

13 -O

2 INDEFINIIA

10

-

= ↓

(6) (X Er3

Essendo & z)

E 2) f(x

indefinita +.

F Q o

vettori y

y <

c

. . , . , ,

,

[R3

(X0 Zo) l'autovettore 13

Sia associato

%0

Mo a .

= , ,

Poiché 20)

(x0 (0

z0)

(x0 Ag

8 z0)

40 %0

40 = , . , ,

,

, 20)"

xg(x0 (x0 z0)

40

y0

= ,

, ,

,

(x02 202)

13 yo 0

>

+ +

= ER3

(x0 f(uo)

20) 0

=> >

=

y0

=

o , ,

0)

f(1 <0

Esempio 1

: ,

,

(a) (e'

(e n')

m'

n)

↑Il di

multiplo

s <) m

, .

, ,

di

direttori S:

parametri

S 3 0

+

- x z - =

2x 7 0

y + =

- esprimenti

possiamo come : 1}

((x z) 2z

7

3 2x

z +

x y +

y : = =

=

-

, ,

,

((z z) zEIR

3 2z 1

+

-

= :

, ,

+

(3 0)

1

= ,

, din

parametri . -

visto che

/ I S

↓ ↓

(punto) (par )

die

M + <

: (

.

. (9

n)

(e n')

,

, m

m =

, ,

(1

(5 7)

2) ↓

2

+

0 < >

· , ,

, , parametri M

di

direttori

Eg M

parametriche

.

S t

5 +

X = 2t

y = t

2 +

z = RETTA

PIANO I by d

Plano

Eg 0

ax + cz

+ +

gen : =

. .

L PIANO

RETTA P

w

Mk90c 1

=

emn

PIANO IM d

=> 0

z

2y + +

+

x = P(5 2)

I

Imponendo passi

che ottengo

0

per :

, ,

2(0) (2) d

5 +

+ 0

+ =

5 d

+ 2 + 0

=

d 7

= -

da

=> cui :

# 7

2y z 0

x + +

: =

-

1

11 1 12

1 1 01

1 1

1 1

+

+

A . . .

. =

=

= 0101 O 1

1

0 1 1 1

0

+ 0 1

+

. .

. .

1 17

+ 13

.

or

1 2 1

A3 2. =

=

= 01

O 1

0 + 1

0 +

. .

.0

1 1 1

.

Ricondo funzione lin.

la

che

( o

a M(2 19 d)

m) ERY

= 2 6

C c

+

: - ,

,

, ,

1101

E = 1201

130 T

Ponto SCALA

a 1

10

1101 101

H32( 2)

H2 (1) - 0100

> >

0100<

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Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher BlanchitoBabe di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di algebra lineare e geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Padova o del prof Casarino Valentina.
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