Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Boella Marco Ugo Claudio

Dal corso del Prof. M. Boella

Università Politecnico di Milano

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Analisi e geometria 1 - appunti

Esame Analisi e geometria 1

Dal corso del Prof. M. Boella

Università Politecnico di Milano

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Appunti di Analisi e geometria 1 che contengono i seguenti argomenti, trattati durante il corso del professor Boella: - Numeri reali e complessi. Numeri razionali e numeri reali. Massimo e minimo estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Numeri complessi e loro algebra: forma trigonometrica, formula di De Moivre, radici n-esime, forma esponenziale. - Funzioni, limiti, continuità. Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni composte, funzioni inverse. Successioni. Definizioni di limite. Il numero e. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Continuità e teoremi sulle funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi). - Calcolo differenziale. Concetto di derivata e proprietà. Teoremi di Fermat, del valor medio (o di Lagrange) e di de l'Hospital. Test di monotonia e di riconoscimento dei punti stazionari. Concavità/convessità e flessi. Differenziale. Formula di Taylor. Studio del grafico di una funzione. - Calcolo integrale. Integrale di Riemann. Proprietà dell’integrale. Funzioni definite da integrali. Teoremi fondamentali del calcolo. Calcolo di primitive: integrazione di funzioni razionali fratte, per sostituzione e per parti. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza. Integrali dipendenti da un parametro. Derivazione sotto il segno di integrale. - Equazioni differenziali. Soluzione di equazioni a variabili separabili ed equazioni lineari del primo ordine. Problema di Cauchy per equazioni del prim'ordine. Modelli di Malthus e di Verhulst. - Vettori ed elementi di geometria analitica del piano e dello spazio. Vettori nel piano e nello spazio: somma e prodotto di un vettore. Prodotto scalare, norma, distanza, angoli, basi ortonormali e proiezioni ortogonali. Prodotto vettoriale e area. Prodotto misto e volume. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani nello spazio. Equazioni di circonferenze nel piano e di sfere nello spazio. - Curve nel piano e nello spazio, integrali di linea. Calcolo differenziale per funzioni vettoriali di una variabile. Versori tangente, normale, e binormale. Curve nel piano e nello spazio: lunghezza di una curva, parametro d'arco. Integrali di linea di prima specie. Applicazioni fisiche.

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Lezioni prima parte: Appunti di Analisi e Geometria 1

Esame Analisi e geometria I

Dal corso del Prof. M. Boella

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Appunti di Analisi e geometria I per l'esame del professor Boella sugli insiemi numerici: Gli insiemi N, Z e Q; operazioni elementari. Struttura di Q. Proprietà di Q.L’insieme R. Definizione di numero reale. Completezza di R. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme di R. Elementi di topologia in R. Teorema di Bolzano-Weiestrass. Numeri complessi: Definizione. Forma algebrica e forma trigonometrica. Le quattro operazioni in forma algebrica, prodotto e quoziente in forma trigonometrica. Potenza e radice n-esima di un numero complesso z . Teorema fondamentale dell’Algebra. Funzioni: Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive; simmetria, limitatezza e monotonia. Funzioni invertibili. Funzione inversa. Legame tra monotonia e invertibilità.

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Lezioni: Appunti di Analisi e Geometria I

Esame Analisi e geometria I

Dal corso del Prof. M. Boella

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Appunti di Analisi e geometria per l'esame del professor Boella sulle successioni: Definizione di successione. Successioni limitate e monotone. Limite di una successione; successioni regolari e successioni irregolari. Teorema di monotonia e corollario. Il numero e. Teorema di unicità del limite . Algebra dei limiti. Teorema di permanenza del segno e corollario. Teorema del confronto e corollario. Successioni infinite e infinitesime. Confronto di infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito o di infinitesimo. Equivalenza asintotica di successioni infinite e infinitesime. Funzioni: Limite di una funzione: definizione metrica, topologica e successionale. Limiti notevoli. Teorema di unicità del limite. Teorema del confronto e corollario. Teorema di permanenza del segno. Teorema di monotonia per le funzioni. Infiniti e infinitesimi. Funzioni continue: Definizione. Teorema di permanenza del segno. Teorema di continuità delle funzioni elementari. Algebra delle funzioni continue. Teorema di continuità della funzione composta. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux (o dei valori intermedi). Teorema di continuità della funzione inversa. Calcolo differenziale: Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra, non derivabilità in un punto. Legame tra derivabilità e continuità. Derivata della funzione inversa. Punti di massimo e minimo. Teorema di Fermat. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: test di monotonia e teorema sul limite della derivata. Concavità e convessità, flessi. Legami con continuità e derivabilità. Legame con la derivata seconda. Differenziabilità, legami con la derivabilità. Polinomi di Taylor e MacLaurin. Resto secondo Peano e secondo Lagrange. Calcolo integrale: Definizione di integrale, definizione di funzione integrabile e criteri di integrabilità. Proprietà. Definizione di media integrale e teorema della media. Definizione di primitiva. Teorema fondamentale del calcolo — 1. Integrazione delle funzioni razionali. Teorema fondamentale del calcolo-2. Funzioni integrali. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza per gli integrali generalizzati.

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Lezioni seconda parte: Appunti di Analisi e Geometria I

Esame Analisi e geometria I

Dal corso del Prof. M. Boella

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Appunti di Analisi e geometria per l'esame del professor Boella sulla geometria analitica: Vettori. somma e prodotto per uno scalare. Prodotto scalare. Prodotto scalare e proiezioni ortogonali. Prodotto vettore. Prodotto misto. Equazione vettoriale della retta. Equazioni Cartesiane. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità. Equazione cartesiana del piano. Formula della distanza Punto–piano. Formula della distanza punto–retta. Formula della distanza retta-retta. Equazioni differenziali (Parte 1): Equazioni del primo ordine e problema di Cauchy. Equazioni lineari: principio di sovrapposizione, sue conseguenze; teorema di esistenza e unicità della soluzione; soluzione delle equazioni omogenee e complete. Equazioni differenziali a variabili separabili: teorema di esistenza, teoremi di esistenza e unicità; soluzione delle equazioni a variabili separabili. Curve: Curve cartesiane, polari e parametriche; Curve semplici, chiuse, regolari. Asse tangente.Triedro fondamentale. Cerchio osculatore, curvatura. Torsione. Ascissa curvilinea e sue proprietà. Integrali di linea di prima specie.

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Analisi e Geometria 2

Esame Analisi e geometria 2

Dal corso del Prof. M. Boella

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I seguenti appunti contengono la teoria e qualche esercizio di esempio del calcolo delle funzioni di due variabili a partire dall'insieme di definizione fino ad arrivare all'entità dei flussi di campi vettoriali attraverso superfici. Dettagliatamente si toccano i seguenti argomenti: - Domini e insiemi di definizione in R2 - limiti e continuita' delle funzioni in R2 - derivabilita' e differenziabilita' in R2 - punti stazionari (massimi e minimi su dominio o su frontiera, lagrange) - integrali doppi - campi vettoriali - flussi di campi vettoriali - regola di Green Sono presenti 3 temi d'esame di cui uno svolto.

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Quaderno analisi 2

Esame Analisi matematica 2

Dal corso del Prof. M. Boella

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Quaderno completo del corso, comprende spiegazioni, dimostrazioni ed esercizi svolti. Contenuti: -funzioni in più variabili: definizione, caratteristiche, derivabilità differenziabilità, gradiente, ricerca di massimi e minimi (Hessiano) generali o lungo specifiche linee; -serie: (mancante pagina introduttiva) studio del comportamento delle serie, criteri di convergenza e alcuni teoremi; -integrali impropri: definizione, criteri di valutazione, maggiorazione dell'errore; -equazioni differenziali: primo e secondo ordine definizione, teoremi e metodi risolutivi nei diversi casi; - integrali doppi e tripli definizione e calcolo; - parametrizzazione delle curve con uno o due parametri; -campi vettoriali: definizione, cnservatività, teoremi di divergenza e rotore, formule di Green; -serie di Fourier: definizione,calcolo, teoremi, caso di funzioni periodiche.

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Analisi 2 - Boella, Polimi

Dal corso del Prof. M. Boella

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Funzioni di piu' variabili reali (campi scalari): continuita', gradiente, differenziabilita'. Massimi e minimi. Moltiplicatori di Lagrange. Integrali doppi e tripli. Curve in 2 e in 3 dimensioni, superfici in 3 dimensioni. Integrali di linea e di superficie di un campo scalare. Campi vettoriali in 2 e in 3 dimensioni: rotore e divergenza; integrale di linea di un campo vettoriale; potenziale e campi conservativi; teoremi di Gauss e di Stokes. Equazioni differenziali ordinarie: il problema ai valori iniziali; soluzioni di equazioni del primo ordine, di equazioni lineari di ordine superiore. Integrali impropri, serie numeriche serie di potenze, serie di Fourier.

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Analisi matematica 2-Equazioni differenziali ordinarie, integrali doppi e tripli, curve e superfici, campi vettoriali

Dal corso del Prof. M. Boella

Università Politecnico di Milano

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L’appunto contiene tutti gli argomenti svolti nel primo mese di corso di Analisi II (sono presenti anche gli argomenti precedenti, sono stati divisi per comodità): -Equazioni differenziali, del primo ordine lineari, principio di sovrapposizione, struttura dell’integrale generale dell’equazione completa, teorema di esistenza ed unicità per il problema dei valori iniziali. Equazioni del primo ordine non lineari, metodi di integrazione. Equazioni lineari del secondo ordine, principio di sovrapposizione; struttura dell’integrale generale; teorema di esistenza ed unicità per il problema dei valori iniziali. Integrale generale dell'equazione omogenea. Soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea nel caso di coefficienti costanti. Integrale particolare dell'equazione completa col metodo di somiglianza. -Integrali doppi e tripli, Definizione di integrale doppio di una funzione continua. Proprietà e applicazioni (baricentro, momento di inerzia,...). Formula di riduzione a due successive integrazioni semplici per domini normali. Cambiamento di variabili da cartesiane a polari. Integrali tripli di funzioni continue. Formula di riduzione. Cambiamento di variabili da cartesiane a cilindriche, da cartesiane a sferiche. -Curve, integrali di linea e campi vettoriali, Curve in forma parametrica in R² e in R³. Curve semplici, chiuse, regolari, vettore tangente. Lunghezza di una curva regolare a tratti. Integrali di linea. Baricentro e momento d’inerzia. Linee di forza o di flusso. Campo elettrostatico, campo piano di velocità, campo magnetico. Lavoro lungo una linea regolare. Integrazione delle forme differenziali lineari, campi vettoriali conservativi, potenziale. Condizione necessaria per l’esistenza del potenziale; condizione sufficiente. Rotore. Formula di Gauss-Green. -Superfici e integrali di superficie, Superfici parametriche nello spazio. Piano tangente, vettore normale. Integrali di superficie. Baricentro e momento d’inerzia. Flusso di un campo attraverso una superficie. Teoremi della divergenza (teorema di Gauss) e del rotore (teorema di Stokes). Gli argomenti teorici sono corredati da numerosi esempi ed esercizi, al fine di preparare lo studente non solo dal punto di vista teorico, ma anche dal punto di vista pratico.

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Analisi matematica 2-Funzioni a più variabili, integrali impropri e serie numeriche, serie di potenze e di Fourier