Analisi 2 - Boella, Polimi

Analisi 2

Intervalli Aperti e Chiusi

Insieme aperto = ogni punto ha un intorno che è interno all'insieme

I punti a e b non fanno parte dell'insieme

Def: l'insieme A è aperto se ogni suo punto è punto interno

Esiste un intorno tutto contenuto nell'insieme

Se il punto P non è interno, allora esistono punti di A e punti che non appartengono ad A.

Punti di Frontiera

Def: l'insieme A è chiuso se fanno parte di A tutti i suoi punti di frontiera.

Esistono 2 insiemi che non sono aperti, che chiusi (un solo insieme e il suo complementare): l'universo

Insieme limitato = Esiste disco/iperpiano centrato nell'origine che contiene l'insieme

Insieme convesso = Per ogni coppia di punti P e Q ∈ A, la linea che collega P e Q non esce da A

Insieme semplicemente convesso = Se ogni linea chiusa può essere ridotta a un punto senza uscire da A (funziona solo nel piano \(R^2\))

Es.

∫(x,y)=√xy x,y >0 1^o & 3^o quadrante con inclusione

CHIUSO e punto di frontiera non gli esclusi

LIMITATO

(con i SEMI)

∫(x,y)=√xy x,y + 1

CE non ∫xy >0 x,y ≡1

Non è ne chiuso ne aperto (gli ara con funno portati D, non sono i rami dei parabole)

∫(x,y)=√(x²+y²)

CE non (x²+y²) >0

2πτ ≤ Λ ≤ (2k+1)π

-0 < x²+y² < τ

2π ≤ x²+y² ≤ 3π

CURVE CIRCOLARI

Considerare la generica retta

y = √rx

lim_x→0 f(x,y) = lim_x→0 x² / (x² + y²) = 1/2

COORDINATE POLARI

f(x,y) = lim_ρ→0 cosφ / (tanφ)

Il limite dipende da φ → F limiti

Il risultato deve essere un n° (es. 4,5,10...)

Es. f(x,y) = x(4) / (x² + 3y²)

lim_ρ→0 ρ³ cosφ / (ρ² cos²φ + 3ρ² sin²φ) = lim_ρ→0 (cosφ) / (2 + 1/2 sin²2φ)

= 0 indeterminato da φ

DIFFERENZIABILITÀ

y₀ + m(x - x₀) eq. generica retta passante per un punto

errore: discrepanza tra punto f(x₀ + Δx) e retta

_{limΔx → 0} errore = 0 (per) ∀m

_{limΔx → 0} errore (su) Δx = _{limΔx → 0} ^{f(x₀ + Δx) - f(x₀) - mΔx}/_Δx =

= _{limΔx → 0} [^{f(x₀ + Δx) - f(x₀)} - m] /_Δx = f'(x₀) - m

(rapporto incrementale derivato nel punto)

la retta che approssima meglio l'errore nel punto è la retta tangente

Δf = f'(x₀) Δx

DIFFERENZIALE della funzione f in x₀

Teorema di Schwartz

Se \( f(x,y) \) è continua con le sue derivate prime e seconde, allora:

\(\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\)

non solo, \( f \) è continua in \( A \) ma anche le sue derivate parziali sono continue in \( A \).

\( f \)

Derivata di funzioni a 2 variabili

\( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \)

\( g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)

pullback o anche "g composta f"

\( g \circ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \)

• \( \left[ g \circ f \right]_x = g' \left( f \left( x,y \right) \right) \cdot f_x \)
• \( \left[ g \circ f \right]_y= g' \left( f \left( x,y \right) \right) \cdot f_y \)

\( x,y : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)

Se _x e _y sono funzioni di 1 variabile la funzione composta

\( f \left( x(t), y(t) \right) \)

\( f \) è funzione di 2 variabili

\( x \, y \) di 1 variabile

• \( \left[ \beta (x(t), y(t)) \right]' = \beta_x (x(t), y(t)) \cdot x'(t) + \beta_y (x(t), y(t)) \cdot y'(t) \)
• oppure
• \( = \nabla \beta (x(t), y(t)) \cdot \left[ x'(t), y'(t) \right] \)
• prod. scalare

a h² + 2 b h k + c k² = [h k] ^{[a b] [h]} _{[b c] [k]}

= [h k] ^{[a h + b k]} _{[b h + c k]}

= a h² + b h k + b h k + c k²

Se il determinante non varia indipendentemente da h e k chi fa variare il segno è la matrice ^{[a b]} _{[b c]}

• Se tutti gli autovalori sono positivi => SEMPRE POSITIVO V h,k MINIMO
• Se tutti gli autovalori sono negativi => SEMPRE NEGATIVO V h,k (Mi pare autovalore λ positivo) MASSIMO
• Se almeno 1 autovalore è positivo e 1 autovalore negativo (⇒ CAMBIA SEGNO => PUNTO DI SELLA

Se un autovalore = 0 => DUBBIO Valido anche per 3 variabili => matrici 3x3

• a = ∂²f/_∂x0∂x0 c = ∂²f/_∂y0∂y0
• b = ∂²f/_∂x0∂y0

^{[∂2f/_∂x0∂x0] [∂2f/_∂x0∂y0]} _{[∂²f/∂x0∂y0] [∂²f/∂y0∂y0]}

MATRICE HESSIANA

Nelle matrici 2x2 il det. prodotto dagli autovalori

• ⇒ DET. > 0 MAX/MIN
• DET. < 0 PUNTO DI SELLA
• DET = 0 DUBBIO

in (0,0)

H = _{2 0}     0 0       → Non possiamo dire nulla

- lungo x: f_x(x,0) = x² → si vede un minimo

- lungo y: f_y(0,y) = 2y⁴ → si vede un minimo

Proviamo lungo retta y = mx: f(x, mx) = x⁴+3mx²x+2mx+1

È un polinomio con --> 0 È asintotico a x²

f_c(x,y) = (x+4x²)(x+4y²)

Il primario → ≠ ‰ x = -y²

Il 2^o → ≠ ‰ x = 2y²

Nell'intorno che contiene l'origine ci sono zone che sono

positive e negative   nell'origine   NON CI SONO MAX e MIN

f

f(x,y) = x²y⁴ - 2xy² + y⁴

f_x = 2xy² - 2y⁴

f_y = zxy⁴ - xy + 4y³

• 24x²(x-1)= 0
• 24(x²-2x+2y²)= 0

P_d(x=1, y=0)    → con y=0 tutti i punti devono valere

(1, ±\sqrt²), tutto una linea di punti dove H = 0

g(x,y) = ^x⁄₄

A = { ^x⁄₄ (y - 2) ≤ 1 } di un disco di r = 1 centrato in (origine o coordinata) chiuso e limitato

Poniamo trasformare la funzione in una funzione ad 1 variabile - PARAMETRIZZAZIONE

circ. con centro (x₀, y₀) e raggio R

• x = x₀ + R cos t
• y = y₀ + R sin t
• 0 ≤ t ≤ 2π

Nel nostro caso:

• x = cos t
• y = 2 + sin t
• 0 ≤ t ≤ 2π

g(x,y) = ^x⁄₄ = ^{cos t}⁄_{2 + sin t} funzione g(t) ad 1 variabile

Studiare g(t) per trovare min e max

g'(t) = ^{-sin t (2 + sin t) - cos t (cos t)}⁄_{(2+sin t)²} = ^{-2sin t - sin2t - cos2t}⁄_{(2+sin t)²}