Analisi e geometria 1 - appunti

ANALISI E GEOMETRIA 1

18/09/2007

Disequazioni razionali:

1) _√A(x) > B(x)

2) _√A(x) < B(x)

B(x) < 0

A(x) ≥ 0

B(x )> 0

A(x) ≥ [B(x)] ²

I numeri e gli insiemi numerici

N = {0; 1; 2 etc.} → insieme dei numeri naturali

Z = {0; +1; -1 +2 -2 etc.} → insieme dei numeri interi

N ⊆ Z (N e' un sottoinsieme di Z)

I numeri interi e quelli naturali sono due entità dindondi trillatriche dove i relativi numeri recuperifi constructom!!

Q = ^m⁄_n ∈ m ∈ Z, n ∈ N | {insieme dei numeri razionali

N ⊆ Z ⊆ Q → Se i numeri razionali m n etc. a loro volta recitano!!!

Q ∈ Q......... ma irrimotibilto

Q ∈ Q......... ma irrimotibilto

Q = ^m⁄_n ∈ m ∈ Z, n ∈ N | ...

Q ∈ Q......... ma irrimotibilto

Q = ^m⁄_n ∈ m ∈ Z, n ∈ N | ...

DIMOSTRAZIONE:

⁹⁄_√QQ²2 l'intera (t.c.o.i)

m²2 = m²zⁿ,m²pari → m ²pari_->3⁵k_->m²k · m²k

Q²k = 2 ·m ²m^=2k

ASSURDO

⁹⁄_√QQ²2 - e2.m... (z.k -intero (.k=2k)

il teorema è dimostrato

DEFINIZIONE:

Sia E⊆R¹, si chiama maggiorante di E ogni numero y∈R¹ y≥x ∀x∈E

Osservazione:

x∈E⇔[1;2π[ ogni n∈N non è il numero maggiorante

DEFINIZIONE:

Sia E⊆R¹, si chiama minorante di E ogni numero y∈R¹ y≤x ∀x∈E

x∈E={1;2;11π} ogni n∈N non è il numero minorante

DEFINIZIONE:

Sia E⊆R¹, si chiama massimo di E (maxE) il numero y∈E | y≥x ∀x∈E

DEFINIZIONE:

Sia E⊆R¹, si chiama minimo di E (minE) il numero y∈E | y≤x ∀x∈E

DEFINIZIONE:

Sia E⊆R¹, si chiama estremo superiore di E (supE) il numero y∈R¹ | y≥x ∀x∈E

Osservazione

x l’estremo superiore è il numero dei maggioranti

DEFINIZIONE:

Sia E⊆R¹, si chiama estremo inferiore di E (infE) il numero y∈R¹ | y≤x ∀x∈E

PRODOTTO GRAFICI

Piano cartesiano, coordinate cartesiane e coordinate polari

coordinate cartesiane → X e Y

coordinate polari → ρ e θ

dalla trigonometria →

• X = ρ cos θ
• Y = ρ sin θ
• ρ = √(x² + y²)

per il teorema di Pitagora

per θ = arctg _Y/^X nello stesso sod. per x = 0 danno distinzioni nei casi:

• arcctg _Y/^X se x > 0 per l’origine ( x = 0 y = 0) θ non ha significato
• (arcctg _-Y/^-X) + π se x < 0
• π/2 se x = 0 Y > 0
• -π/2 se x = 0 Y < 0

i numeri complessi sono espressi con le coordinate polari

a + i C = forma algebrica {a = ρ cos θ c =1 sin θ}

ρ (cos θ + i sen θ) = forma trigonometrica {ρ = modulo di z |z| (normi valore assoluto di 1 |Z’|) è sempre positivo} Θ = argomento di Z Θ = argZ

Z₁ = ρ₁ (cos Θ₁ + i senΘ₁)

Z₂ = ρ₂ (cos Θ₂ + i sen Θ₂)

• Z₁•Z₂= ρ₁ ρ₂ [cos Θ₁ cos Θ₂ + cosΘ₁ isen Θ₂ + isen Θ₁ •cosΘ₂ + i senΘ₁senΘ₂]
• = ρ₁•ρ₂ [cos Θ₁cos Θ₂- isenΘ₂i senΘ₁ + i (cosΘ₁ •senΘ₂+coΘ₂•senΘ₁)]
• = ρ₁•ρ₂ [cos (Θ₁ + Θ ₂ + i sen (Θ₁ + Θ ₁)] [dalla formula di addiziume e sottrazione]

la modulo il prodotto dei moduli l'argomento è la somma degli argomenti.

Z=1/il

ρ (cos₁+ i sen₁ = scritto forma trigonometrica

Z = 3 (cos Ð^π/3 + i sen Ðπ/3)

non è scritto in forma

trigonometrica perché il Ð è null e mod1 ≠ 1

Quando due numeri complessi sono uguali:

Z₁ = a₁ + i b₁ Z₂ = a₂ + i b₂

{ Z₁ = Z₂ ⇔ a₁ = a₂ e b₁ = b₂ }

Z₁ = β₁ (cosθ₁ + i sinθ₁) Z₂ = β₂ (cosθ₂ + i sinθ₂)

{ Z₁ = Z₂ ⇔ β₁ = β₂ e θ₁ = θ₂ + 2Kπ }

β³ [ cos (3θ) + i sen (3θ) ] = 8 [ cos 0 + i sen 0 ]

1) β³ = 8 ⇔ β = 2

2) 3θ = 0 +2 Kπ ⇔ θ = 0 3 3

( 2a divido per 3, si formano infiniti gruppi di n intere famiglied )

θ = 0 ≈ K=0 soluzione dell'equazione Z = 0 Z = 2 [ cos 0 + i sen 0 ] = 2

θ = 2/3π ≈ K=1 Z = 2 [ cos 2/3π + i sen 2/3π ] = Z = - 1 + i √3

θ = 4/3π ≈ K=2 Z= 2 [ cos 4/3π + i sen 4/3π ] = Z = - 1 - i √3

θ = 6/3π ≈ K=3 Z=0

θ = 6/3π ≈ K=3 Z = 2 [ cos 8/3π + i sen 8/3π ]

radice n-esima di un numero complesso

W=Z

W=Z ( cosθ + i sen θ ) W=Z ( cosα + i sen α )

W_m = Z

Z^1/m ( cos m α + i sen m α )

W_Z = Z1/m [ cos ( α + 2 Kπ) + m m

i sen ) ]

{

w = β w = Z*√β Z∈R β∈R* m m

( α = θ + 2πK = α + 2Kπ ) m m

(nodolo ritorna in α )

α = α + 2Kπ = |θ + 2Kπ (modol ritorna ind. ) m n α

Un numero complesso Z ha n rotdeci in primo tutte con lo stesso modulo e argomenti equidistanti (forman "nosi" di un poligono regolare

√Z ≠ √β une è complesso e l'altro real

in R √4= 2 |√2 √4= -2

in C √4 = 2 -2

( con √ n intendono solo quantita+. - √4= 2 -2 in C √ con "."a intende tutti i valori tol del.

calculione

= √1 (cos π/t_1/2 + i senπ/1₂)

Z_1,2 = 1 +- sqrt(1-4) / 2 = 1 +- i sqrt(3) / 2

Verifica delle soluzioni:

Z = 0 R = 1 N.A.

Z = 1/2

Z = 1/2 + i sqrt(3) / 2

Z = 1/2 + i sqrt(3) / 2 ->

[( Z = 1/2 + i sqrt(3) /2 )^3 = (1/2 + i sqrt(3) / 2 )^3 =

(1 / 8 + 3i sqrt(3) / 4 -( 3 sqrt(3) / 2 )2 - 1 /8 =

( 1 - sqrt(3) / 2 )2i ( 13 ) - 1 / 2 sqrt(3) 1/2 ) + sqrt(3) / 8 =

1 - 3 sqrt(3) / 8 + 3 sqrt(3) / 8 = 5 / 4

√(1-4)

distante la distanza -> mio elabor -->

1. Z --> Im² = (z₁ - Z₁ ) R ² + Im ²
2. Z * 1 = | X + 1 |²) |
3. Z * 1 = Re ² + Im² = (X - 1) ²)|

equ. diretto/

X² 2X

grafico

l' Schez e l'assolu po - || dist _Schez e settimetrica

Le Funzioni

1. F : R -> R funzin
2. P : N - R successioni
3. P : R - > R³ o R³ curva R² piano R³ - sptvio

27/03/2007