Analisi e geometria 1 - appunti

Analisi e geometria 118/09/2007

Disequazioni razionali

1) _A(x) > _B(x) {_B(x) < 0 {_A(x) > 0 {_B(x) > 0 _A(x) ≥ _B(x)

2) _A(x) < _B(x) {_A(x) ≥ 0 {_B(x) ≥ 0 _A(x) < [_B(x)]²

I numeri e gli insiemi numerici

N = {0; 1; 2 etc.} insieme dei numeri naturali

Z = {0; +1; -1; +Z; -Z etc.} insieme dei numeri interi

N CZ (N è sottomesso di Z)

I numeri interi e quelli naturali sono due entità diverse. Tuttavia, gli interi, nel linguaggio specifico con numeri naturali, parla di numeri composti allo stesso modo...

Q = {_m/_n m∈ Z n∈N} insieme dei numeri razionali

N CZ CQ a numeri razionali M e N etc. a forma generica...

1. Periodico (con 0 periodo, antiperiodico)

Numeri razionali senza una mantissa infinita, possono contenere una mantissa infinita... ex. 1 ... Ex. 4 = 0,25{0000} (antiperiodo)

Le operazioni

• Di 10 librarle → somma e sottrazione
• Di 2 chiudere → moltiplicazione e divisione
• (Librarle) → 0 chiudere

Dimostrazione: dimostrare per assurdo che √2 non è razionale

1. ∈Q: 0², 2 Italità (t.c.o.)

_M² / _n² = 2→ _m² = 2_n²→ _m² pari → _m è pari → _m = 2k

1. Assurdo → 3 k intero; m = 2k

Sostituiendo → (2_k)² = 2_n² 4_k² = 2_n²͢; 2_k² = _n²͢ → _n è pari x = 0², 2 - il teorema è dimostrato

Analisi e geometria 118/09/2007

Disequazioni razionali

1) √A(x) > B(x){ B(x) < 0{ A(x) ≥ 0{ B(x) > 0{ A(x) ≥ B(x)²

2) √A(x) < B(x){ A(x) ≥ 0{ B(x) ≥ 0{ A(x) < B(x)²

I numeri e gli insiemi numerici

N = { 0; 1; 2 etc. } insieme dei numeri naturali

Z = { 0; +1; -1; +2; -2 etc. } insieme dei numeri interi

N ⊂ Z (N è sottoinsieme di Z)

I numeri interi, i quali naturali, sono due entità diverse; tuttavia, ogni numero intero si identifica con numeri naturali positivi o, con il segno -, dello stesso modulo.

Q = { m/n | n, m ∈ N 1} insieme dei numeri razionali

N ∪ Z ⊂ Q ⇒ ai numeri razionali M, n etc. appartengono zero e i relativi numeri rappresentati dal loro rapporto di numeri naturali una parte intera e composta alle stesse cond.

ℚ ∉ ℚ ... 1 ... manifesto

1. Finito
2. Periodica (concreto antipodico)

Numeri razionali contano una mantissa infinita, possono contenere una comune constante infinita ex 1 e periodo antipodico ex 4 = 0.25

Le operazioni

• A 10 binario ⇒ somma e sottrazione
• B 2 cifre ⇒ moltiplicazione e divisione
• C 16 cifrallo ⇒ modulo (potenza)

Dimostrazione

Dimostrare per assendo di 2 mantissa

∀ 9 ∈ ℚ 0; 2²∞ esiste e (t.c.o.)

m²/n² = 2 ⇒ m² = 2n² ⇒ m² pari ⇒ m ∈ pari ⇒ m = 2k

Sostituendo ⇒ (2k)² = 2n²

ASSURDO 4k² = 2n² ⇒ 2k² = n² ⇒ n ∈ pari ASSURDO

∀ 9 ∈ ℚ 0; 2² - il teorema è dimostrato

Come si possono pensare i numeri irrazionali

1_<^√2 ≤ 23 _< π ^< 44 ^< √2 + π ^< 61,4 ^< 1,53,1 ^< 3,21,41 _< 1,423,14 ^< 3,15

Crescente decrescente crescente decrescente convergenti in √2 convergenti in π

R insieme dei numeri reali

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

In R si possono portare le operazioni tranni la divisione per 0