Appunti Analisi 1

O O

minimo &

Teorema di Fermat &

se x è un punto di estremo locale

R

f : (a,b) (a,b)

x & f’(x ) = 0

Y e se f è derivabile in x

DIM f(x) < f(x )

se x è vicino a x

x è massimo relativo

O f(x +h) - f(x )

f(x +h) - f(x ) [0

[0 devono essere uguali f’(x ) = 0

lim

lim 3

h 0

h 30 0

-

h

0

-

h >

> + >

- 0

20 x si chiama punto stazionario ( o critico)

Definizione Se f’(x ) = 0

Teorema di Lagrange f(b) - f(a)

C

Se E

f [a,b] ed è derivabile in (a,b) f’(c) =

(a,b)

c

& b - a

& :

f(b) - f(a) (x - n) ]

DIM w(x) = f(x) - [ f(a) + w(x) è continua in [a,b] e derivabile in (a,b)

b - a

w(a) = 0 e w(b)=0 per Weiestrass esistono max e min assoluto

f(b) - f(a)

M=m=0 w(x)=0 w’(x) =0 w’(x) = f’(x) - b - a

· E x* dove w ha un estremo

M>m almeno uno dei due è all’interno per Fermat w’(x*) =0

& f(b) - f(a) c = x*

f(x*) - =0

b - a &

Conseguenza 1 - teorema, test di monotonia

f è crescente se è solo se f’(x ) > 0 I

x

I è un intervallo f : I R &

Y è decrescente f’(x ) < 0

CS

f(x +h) - f(x )

lim > 0 x

DIM h

0

-

h >

>

-

- f(x2) - f(x1)

E = f’(c ) > 0

c

per Lagrange (x1,x2)

x1 < x2

prendiamo x1 e x2 f(x2) > f(x1)

x2 - x1

EI & : =>

C =

Corollario è costante x

f : I f’(x ) = 0 I

R &

1)

Y

Teorema del tappabuchi

R

f : (a,b) f è continua in (a,b) ed è derivabile in (a,b) , salvo al più x=x

Y f’(x) = L

lim

Se esiste finito allora f è derivabile in x e f’(x ) =L

x

-

x > )

f(x

-

+h)

f(x

x x + h ch tra x e x +h se h-> 0 => ch -> x

= f’(c )

DIM h

h

f(x +h) - f(x )

lim f’(x ) =L

f’(x) = L

= lim f’(c ) lim

=

h )

=

h

0

-

h x

-

x

0

-

h

> >

>

S S

cost Sin

X2 cos +

Sim X

X 0

+ 0

X + CoSX 2x

+ +

- im f(x)

E'(x) =

f(x)

Es >

-

=

= O X O

= 1 X 0

=

f(xoth)-f(x e

simhth

him cost 1

=

h C

Se f è derivabile in (a,b) e f’ è continua in (a,b) f [a,b]

&

3

Concavità

I è un intervallo f : I R

Y [0,1]

f ( x1 + (1 - ) x2) < f(x1) + (1- ) f(x2)

x1, x2

f è convessa in I se El -

& &

& LE

f è concava in I se -

f è strettamente convessa in I se f ( x1 + (1 - ) x2) < f(x1) + (1- ) f(x2) (0,1)

&

& &

& E

2

f è strettamente concava in I se

Teorema

Se è convessa (o concava) in un intervallo I f è continua in I , salvo al più gli estremi

=>

- in ogni punto interno di I , f possiede f’ e f’

=

Teorema

f : I R se f è derivabile in I allora f è convessa in I se e solo se f’ è crescente in I

Y allora f è concava in I se e solo se f’ è decrescente in I x

se f è derivabile due volte in I allora f è convessa in I se e solo se f” (x) >0 I

E

x

allora f è convessa in I se e solo se f” (x) <0 I

E

Definizione f : I R x I oppure f’(x ) =

è un punto di derivabilitá +

E

Y 8

E

x si dice punto di flesso per f se : f convessa [ x , x +h) e concava (x -h, x ] o viceversa

h>0

Teorema f”(x ) =0

se x è un punto di flesso e f”(x )

E >

-

-

Teorema di De L’Hopital

Siano f e g due funzioni derivabili in (a,b) con g e g’ = 0 f’(x) f (x)

se =L =L

lim lim

(oppure ) e

lim g (x) = 0

f (x) = lim + g (x)

8 g’(x)

a

-

x a

-

x

a

-

x > >

a

-

x

> t t

>

+ t

Teorema retta (non per forza tangente ma che

approssimiamo con una retta

y = f(x) 3

- passa per x ) y = f(x ) + m (x - x )

f = f(x +dx) -f(x ) y = m dx

· f

-y f ->0 e y ->0

quando dx ->0 errore = f - y

se mi muovo sulla retta

anche errore->0 e non sulla funzione

S

dx

Xo +

Xo

Se dx è un infinitesimo, anche errore è un infinitesimo f - y

errore 0

Esiste m tale che l’errore è trascurabile rispetto l’incremento di x? lim dx

dx

cioe = / -

->0

dx

Def. f si dice differenziabile in x se esiste un valore m tale che il limite valga zero

f -f -m dx

(x +dx) (x )

lim =0

-

dx

->0

dx è derivabile in x

f è differenziabile in x

T R

f : (a,b) · (

Y 8

f -f

(x +dx) (x ) se m = f’(x )

DIM = f’(x ) -m = 0

lim - m

dx

- O

O

->0

dx m è finito -> f è derivabile

f -f f -f

(x +dx) (x ) (x +dx) (x )

=

lim - m lim

0= = m

S dx dx

- -

->0

dx ->0

dx m = f’(x )

o

Si chiama differenziale (primo) della funzione f in x d f(x ) = f’(x ) dx

8

O O

abbiamo approssimato f(x) ( quando x è vicino a x ) con il polinomio P(x)= f(x ) + f’(x ) (x - x )

tale per cui P(x ) = f(x ) e P’(x )= f’(x )

proviamo con un polinomio di secondo grado P(x) = ax + bx + c

2 - — f” (x ) x

a x + b x + c = f(x )

P(x ) = f(x ) c = f(x ) - [f’(x ) - f”(x ) x ] x

S & .. 2

Z

P’(x ) = f’(x ) b = f’(x ) - f” (x ) x

2a x + b = f’ (x ) ~

a = — f” (x )

2a = f”(x )

P”(x ) = f”(x ) I

2 &xf"(xx)

(f(x)

"(xd)(X

(f'(xd) f

Ef"(x)

P(x) f'(xo

* -

+ +

xo +

x xo

- -

= - -

x(n

P(x) P'(x)

P'(x)

* P(x) M(x

(x-xo 0

0 =

= = -

=

1)

(n - (xd

derivato p(m +

P(x) n(n 1) (x

(m xo)

2) 2

= = 0

esima

2 - - . =

- -

m - -

.

-

-

↑ p(m)(xa)

delian !

(x) ! =

m m

= =

1)(x)

p(n + 0

= Xo)m

(X -

P(x) vale

derivate trave che

valgono

tutte le 1

O rua

!

= >

-

n ,

[P(x)x E m + m

O se

x

= 1 M

m

se = ↳ rado

↓ 9 polirario

ordive

denivala

Teorema, Polinomio di Taylor di grado n centrato in x

E

data f derivabile n volte in x uno e uno solo polinomio di grado, al più, n che ha in comune con f i valori di

O

tutte le derivate fino all’ordine n nel punto x = x n (x - x ) k

(x - x ) (x

3 - x )

(x n

- x ) 2 f (x )

T k

=

+ … + f (x )

+ f’’’ (x )

(x) = f(x ) + f’ (x ) (x - x ) + f”(x ) n

n, x k!

3! n!

2! k=0

-

caso particolare se x = 0 prende il nome di Polinomio di McLauren

n x k

x n f (0)

T (x) = f(0) + f’(0) x + f” (0) — k

+ … + f (0 )

2 =

n

n k!

n! -

- k=0

2

f(x)

Es cost

calcolare

cosX

=

f(x) f"()

f(a f"(0)

Ta(x) f""(a)

f'(d) 1

1 0 1

= 0

= = = - = =

, ,

, ,

4x 9

E

↳ Ta(x)

provo x

1 +

= - ,

(z)" 337

Ta(z) E. 2 t

8776 8775

1 0

+ . cos

= 0

,

= =

= - .

384

Polinomio di McLorin delle funzioni elementari

+

* 1

=

e +...

+

+ x !

m

x 2

1

Chx capire)

1 (2m solo

= perche potence

+

+ +

+ pari for

(per

. . .

- !

! (2m)

2

Sh 2n 1

+ d i

(divisiblexde + ,

!

2 1

2n +

* )4X

S i M x X- - (

+

+.... , -

1)

7 ! !

(2m +

x

hu(l x)

+ x

= X - Z 1)

4(9 N

c( +

) -

(d) - -

1 .

=

+ >

= - !

N

( -19xm

x)"* x3

x*

[e = 1 + +

a -x

1 + +...

-

= - x (m)xm

x) (2)x

(1 =

N EX

t 1

d + +

+ + +

=

= ..

-

T

di

polinomio

&

T + resto

f(x) = formula di T

n, x &

Teorema: formula di Tayler, resto secondo Peano n (x - x ) k

f (x ) n

+ o ( (x-x ) )

f derivabile n volte in x k

f (x) = k! 8

k=0

O

Teorema: formula di Taylor con resto secondo Lagrange c si trova tra x e x

f derivabile n+1 volte in (a,b)

R

f : (a,b) Y n (x - (x

x -

) x )

k n+1

f (x )

k (c)

+ f

f (x) = (n+1)

k! (n+1)!

k=0

f(x) (0 2) polinomio di

Sin

L Sinx 30

ES 0 con

Xo =

= ,

. X-sim() 2-302 sim()

(0 1985

Sinx 2)

Sim 0

,

0 = e

= +

= ,

,

erro 000015

0 , 2x2

Polinomio F(x)

di di

°

7

ESP -

= Xe

. 2x43 (2x

(2x

2x 2x2)"

( 0(

(

- -

2x)

1 +

+

e + -

+

= - :

3

Ex

t x o(x)

6

2x

2x2

1 + +

+

= - -

f(x) Ex Ex o(x)

2x

2x ~

1

X + +

+

-

= - -

Ex Ex o(x)

+

2x3 2x +

X +

+

= - - o(xt)

=

Ex*

P 2x3 o(xt)

2x5

X

= + +

-

- f(o) f (0) 5 !

2

=

- .

f(x) simx NX

ES cos

X

= .

- - NXNXN

- X

o cosNx 1

Sinx + =

X -

= 5 x7

wa

Y j -

f(x) - 0(x7)

o(xt) / x3

X t +

+

+ +

x

= -

- !

,

2

)x

(

)x

(

( o(xt)

- +

)x

- - +

+

+ !

= 1-557N

3N' 1 o(xt)

+

x3

- +

x

+

= ! !

7

3

3N'-170 fe di

infinitesimo ordine 3

se un

VETTORI v

P ( x, y, z)

P ( x, y) >

-

Il vettore v è un segmento orientato, cioè caratterizzato da : -direzione -verso -lunghezza

>

- x x - x

y

&

P ( x , y , z ) v =

= OP A ( x , y , z ) AB =

> A

B

>

- y - y

Po z A

A A A

B

z - z

B ( x , y , z )

j A

B

B

B

B

Operazioni λ

Prodotto tra vett