Lezioni prima parte: Appunti di Analisi e Geometria 1

Insiemi, numeri e elementi di logica

Simbologia e operazioni sugli insiemi

Insiemi - lettera maiuscola
∈ appartenenza
⊆ e ⊂ inclusione
= uguaglianza
∪ unione
∩ intersezione
I insieme universo - I^C complementare
∅ insieme vuoto
P(A) insieme delle parti
I∩J = I/J differenza insiemistica

Proprietà di unione e intersezione

Commutativa: I∩J = J∩I e I∪J = J∪I
Associativa: (I∩J)K = I∩(JK)
Distributiva: (I∩J)∪K = (I∪K)∩(J∪K)

Leggi di De Morgan

1. I∪J = I^C ∩ J^C
2. I∩J = I^C ∪ J^C

Simboli logici

Simboli insiemistici:
∈ appartenenza
⊂ e ⊃ inclusione → sottoinsieme A ⊂ B (A contenuto in B)
= uguaglianza
∪ unione
∩ intersezione
U insieme universo - I^c complementare
∅ insieme vuoto
P(A) insieme delle parti (tutti i sottoinsiemi di A + ∅ + A)
I ∩ S = I/S → differenza insiemistica

Proprietà di unione e intersezione (dettagli)

Commutativa: I ∩ J = J ∩ I e I ∪ J = J ∪ I
Associativa: (I ∩ J) ∩ K = I ∩ (J ∩ K)
Distributiva: I ∩ (J ∪ K) = (I ∩ J) ∪ (J ∩ K)

Leggi di De Morgan (dettagli)

1. I ∪ J = I ∩ J "se un elemento ∉ a + b, allora ∀ a ∈ a e ∉ a ∈ b"
2. I ∩ J = I ∪ J "se un elemento ∉ A, allora ∀ a ∉ a ∈ B o a ∈ entrambi"

Prodotto cartesiano

Dati due insiemi I e J, il loro prodotto cartesiano I×J è l'insieme delle coppie ordinate di elementi del primo e del secondo:
I×J = { (a,b): a∈I, b∈J }
Nota bene: l'ordine è importante! I×J ≠ J×I

Elementi di logica

Proposizione (enunciato) = affermazione alla quale si può attribuire un valore vero o falso
es. x² è un predicato per diventare una proposizione uso i quantificatori:
∀ per ogni
∃ esiste
∃! esiste UNICO

Connettivi logici

P e Q sono 2 proposizioni:
¬P (non) negazione
P∧Q (e) congiunzione
P∨Q (o) disgiunzione
P⇒Q implicazione
P⇔Q coimplicazione ("P se e solo se Q")

Equivalenze logiche

P ∨ Q   equivalente a   ¬P ∧ ¬Q
P ∧ Q   →   ¬ P ∨ ¬Q
P⇒Q   ≡   ¬Q → ¬P
∀x P(x) → ∃x P(x)
∃x P(x) → ∀x P(x)
∀x ∃y P(x, y) → ∃x ∀y P(x, y)

Teorema

(P → Q) → enunciato del teorema
P è ipotesi, Q è la tesi
P ↔ Q   equivale a:
Se vale P, allora vale Q
P è condizione sufficiente per Q
Vale P solo se vale Q
Q è condizione necessaria per P

P ↔ Q   equivale a:
Vale P se e solo se vale Q
P è condizione necessaria e sufficiente per Q

Dimostrazioni

L'enunciato P → Q si può dimostrare in diversi modi:

1. Dim. Diretta (Parto da P, procedo per via logica fino a vera Q)
2. Per Assurdo (legge delle contraddizioni)

Dimostro che vale ¬Q & → ¬P
Per Assurdo
a) Se P → Q allora ¬P ∨ Q
b) P → Q equivale a ¬P ∨ Q
c) Dim. diretta che vale ¬P ∧ ¬Q → F

Esempi di dimostrazioni per assurdo

m² pari → m pari
Se m non è pari, allora m = 2k+1 con k ∈ IN, quindi
m² = (2u+1)² = 4u²+1+4u = 2(2k₁+2k₄) + 1
Ma (2u²+2k)₁ ∈ IN -> sarebbe dispari!

Per assurdo
x² = 2 → x ∉ Q
Sia x ∈ Q tale che x² = 2
Se x ∈ Q, allora x = r / s con r e s primi fra loro
x² = 2 ⇔ (r / s)² = 2 ⇔ r² / s² = 2
r² = 2s², r² è pari, dunque r è pari
Poniamo r = 2k₁ (2k₁)² = 2s² ⇔ 4k² = 2s²
2u² = s², quindi s² è pari, s è pari
Ma r e s sono primi fra loro, non possono essere entrambi pari, assurdo!

Funzioni

Definizione: Dati due insiemi X e Y, si dice funzione una corrispondenza tra X e Y che a ogni elemento di X associa uno e un solo elemento di Y.