Lezioni prima parte: Appunti di Analisi e Geometria 1

Insiemi, numeri e elementi di logica

• Simbologia

insiemi - lettera maiuscola

• ∈ appartenenza
• ⊂ e ⊆ inclusione → sottoinsieme A ⊆ B (A contenuto in B)
• = uguaglianza
• ∪ unione
• ∩ intersezione
• insieme universo - I^c complementare
• insieme vuoto

P(A) insieme delle parti (tutti i sottoinsiemi di A + ∅ + A)

I - J = I/S → differenza insiemistica

• Proprietà di unione e intersezione

• commutativa I ∩ J = J ∩ I e I ∪ J = J ∪ I
• associativa (I ∩ J)K = I ∩ (J ∩ K)
• distributiva (I ∩ J) ∪ K = (I ∪ K) ∩ (J ∪ K)

Leggi di De Morgan

1. I ∪ J = I^- ∩ J^- "se un elemento ∉ a+b, allora _{∄ a e ∄ b"}

2. I ∩ J = I^- ∪ J^- "se un elemento ∉ a (per e), ∄ a o ∄ b o ∄ entrerò"

Prodotto Cartesiano

Dati 2 insiemi I e J, il loro prodotto cartesiano I×J è l'insieme delle coppie ordinate di elementi del primo e del secondo.

I×J = {(a,b): a ∈ I, b ∈ J}

NB: l'ordine è importante!

I×J ≠ J×I

Elementi di Logica

proposizione (enunciato) = affermazione alla quale si può attribuire un valore vero o falso

es. X∈ è un predicato

per diventare una proposizione uso i quantificatori:

• ∀ per ogni
• ∃ esiste
• ∃! esiste UNICO

Connettivi logici P e Q sono 2 proposizioni:

• ¬P (non) NEGAZIONE
• P∧Q (e) CONGIUNZIONE
• P∨Q (o) DISGIUNZIONE
• P ⇨ Q IMPLICAZIONE
• P ⇔ Q COIMPLICAZIONE ("P se e solo se Q")

Numeri Razionali

insiemi numerici

• N naturali: {0, 1, 2, ...}
• Z relativi: {..., -1, 0, 1, ...}
• Q razionali: ^m/_n; m, n ∈ Z, n≠0
• R reali (numeri decimali "infiniti")

Struttura algebrica di Q

Le operazioni in Q hanno le seguenti proprietà:

• Somma
• Associativa
• Commutativa
• Elemento neutro (0)
• L'opposto tale che a+(-a)=0
• Prodotto
• Associativa
• Commutativa
• Elemento neutro (1)
• Reciproco di ogni elemento purché a≠0
• Distributiva rispetto alla somma

Un insieme con queste caratteristiche si dice campo.

Un campo in cui sussiste una relazione d'ordine si dice campo ordinato.

• proprietà di connessione (9. libro)

presi tre numeri reali x₁, x₂, x₃, se x₁ < x₃ ∈ I allora x₂ ∈ I

questa proprietà è soddisfatta dagli intervalli (limitati o illimitati)

• elevamento a potenza

◦ se x ∈ ℝ, m ∈ ℕ, x^m = x⋅x⋅...⋅x m volte

in ℝ₊ è sempre possibile effettuare l'operazione opposta.

Teorema:

sìa x ∈ ℝ₊ , y ∈ ℝ₊ uno e un solo y ∈ ℝ₊ tale che y^m = x, si pone y = x^1/m = ^m√x

• combinando le rappresentazioni, otteniamo le potenze con esponente razionale: se x ∈ ℝ₊

x^m/n = ⁿ√x^m

• se m è dispari → ha significato anche ^m√x con x < 0 si pone ^m√x = -^m√-x

• potenza con esponente reale

Teorema:

sìa a, b ∈ ℝ₊ e a ≠ 1, ∃ un unico numero x ∈ ℝ tale che: a^x = b. si pone x = log_ab

Esempio

I = [0,2) ∪ {3}

• 0 e 3 punti interni
• 2 non è esterno!
• 3 punto isolato

Punti di frontiera: 0, 2, 3

.punti di accumulazione

Idea alla base della definizione di limite

• Possiamo anche parlare di punto di accumulazione destro o sinistro
• Se ∀δ>0, in (x₀-δ, x₀) cadono infiniti punti di A (x₀ si trova "alla destra" di A)
• Si dice se x₀ ∈ A: se A ⊃ {1, 1/2, 1/3, ...} x=0 è punto di accumulazione sinistro ma 0 ∉ A!
• In ℝ², anche +∞ e -∞ possono essere punti di accumulazione (+∞) è punto di accumulazione di A se in ogni intorno di +∞ cadono infiniti punti di A

.Insiemi collegati a A ⊆ ℝ

• Def

  PARTE INTERNA è l'insieme A^o dei punti interni ad A

• Def

  FRONTIERA è l'insieme ∂A dei punti di frontiera di A

• Def

  CHIUSURA è unione di A con la sua frontiera Ā = A ∪ ∂A

• Def

  DERIVATO è l'insieme A' dei punti di accumulazione di A

FORMA ALGEBRICA

z = a + ib

• Dato z = a + ib si dice:
• parte reale di z   z = Re(z)
• parte immaginaria di z   b = Im(z)
• Dato z = a + ib si dice:
• coniugato di z   z̅ = a + i(-b) = a - ib
• Per ogni z ∈ C, se z = a + ib,   z̅ · z = a² + b²   dunque   z̅ · z ∈ ℝ₊

operazioni:

z = a + ib   e   w = c + id   (i² = -1)

• z + w = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d)
• z · w = (a + ib)(c + id) = [ac - bd] + i [bc + ad]
• z/w = z̅/w   ·   w̅ / w̅ = z / ww̅̅̿u̿̅̅> = (a + ib)(c - id) / c² + d² = (ac + bd) / c² + d² + i (bc - ad) / c² + d²

Se m ∈ ℕ, la potenza m-esima   è definita come in ℝ

1. z^m = z · z · z · ... · z   _{m volte}

Equazioni di secondo grado

• Dividiamo per a ottenendo: ^z₂ + ^bz/_a + ^c/_a = 0
• "Completo il quadrato": (^z + ^b/_2a)₂ = (^bz/_a) + ^c/_a (^b/_2a)² - ^b2-4ac/_4a²
• Dunque l'equazione è equivalente a: (^z + ^b/_2a)² = ^b2-4ac/_4a²
• Essendo in C, possiamo estrarre le radici quadrate di ambo i membri, ottenendo: z = -^b/_2a ± √(^b2-4ac/_4a²) = -^{b ± √b2-4ac}/_2a N "comprendono 2 valori"

Teorema Fondamentale dell'Algebra

(Gauss, 1799)

Ogni equazione polinomiale di grado m: d_mz^m + d_m-1z^m-1 + ... + d₂z² + d₁z + d₀ = 0 (per d_m diverso da 0) ha in C m soluzioni, contate con la dovuta molteplicità.