Lezioni seconda parte: Appunti di Analisi e Geometria I

Geometria Analitica

Punti e Vettori

Punto: un punto nello spazio è identificato dalle coordinate (x, y, z)

Def: un vettore V (del piano e dello spazio) è un segmento orientato individuato da 3 quantità:

• Direzione: la direzione della retta cui V è parallelo
• Verso: l'orientazione con cui il segmento viene percorso
• Lunghezza: la lunghezza del segmento, detta anche modulo o norma, indicata con |v| o ||V||

Def: un vettore di lunghezza unitaria è detto versore

Oss: in geometria, i vettori non hanno punto di applicazione

Punti e Vettori

Punti e vettori sono legati:

P₀(x₀, y₀, z₀) individua il vettore

• V₀ = [x₀, y₀, z₀]

la cui coda coincide con l’origine O e la cui punta coincide con P₀

Anologamente, dati A (x_A, y_A, z_A) e B (x_B, y_B, z_B) il vettore V che congiunge A e B, orientato da A su B, indicato anche con AB e dato da

V̅ = _AB = [ ^{x_B - x_A y_B - y_A z_B - z_A} ]^T

operazioni con i vettori

• prodotti di un vettore V per un numero reale λ (una scala)
• somma di due vettori V e U

Def Dato in vettore V̅ e un numero reale λ, il prodotto λV̅ è in vettore adente streu direzione di V̅, lo stresso verso se λ≥0 cetio voro oposto se λ≤0 c lunghezza porta λ/|V̅|

Def Somma: regola del parallelogrammaLa somma di due vettori U e V si esegue con la "regola del parallelogramma": se U e V individuano i due lati di un parallelogramma la loro somma U+V corisponde alla diagonale di tale parallelogramma.

- In termini delle componenti dei fattori:

• Il calcolo del prodotto scalare tra 2 vettori non si basa quasi mai sulla definizione! (difficoltà coseno)
• Ma si calcola in termini delle componenti

Teorema:

Siano u = u₁i + u₂j + u₃k e v = v₁i + v₂j + v₃k allora

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Dimostrazione:

Usiamo la linearità (omogeneità e pr. distributiva)

u · v = (u₁i + u₂j + u₃k) · (v₁i + v₂j + v₃k) =

= u₁v₁(i · i) + u₁v₂(i · j) + u₁v₃(i · k) + u₂v₁(j · i) +

+ u₂v₂(j · j) + u₂v₃(j · k) + u₃v₁(k · i) + u₃v₂(k · j) + u₃v₃(k · k)

Osserva che i · i = j · j = k · k = 1, mentre tutti gli altri prodotti si annullano per la reciproca perpendicolarità di i, j, k.

Restano → u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Proiezione Ortogonale

• Proiezione:
• fondamentale il prodotto scalare
• Proprietà:

Data V e W due vettori, la proiezione ortogonale Vp del vettore V nella direzione individuata dal vettore W è data da

Vp = _v·w/_w·w w.

V e W formano un angolo acuto Vp e W concordi

Dimostrazione:

1. Per ottenere Vp devo moltiplicare W per un opportuno coefficiente rr > 0 se V e W concordi (ang. acuto)r < 0 altrimenti
2. Se normalizzo W e uso il vettore _w/_||w||
3. r (prendo il segno) sarà pari a ||Vp||
4. Poiché ||w||cosα è, conserva il segno, uguale a ||w||, ottengo la formula

Vp = (||v||cosα) _w/_||w|| = _||v||cosα/_||w|| · ||w||_w = _v·w/_w·w w

_{(x̄, ȳ)}

_v̄ = x̄ _i + ȳ _j = _(x̄/ȳ)

Al variare di λ trovo tutti i possibili vettori che hanno questa direzione

[ x / y ] = λ [ x̄ / ȳ ] con λ ∈ ℝ

Al variare di λ ho tutti i punti della retta

_{(x0, y0)}

la retta passa per il punto _{(x0, y0)}

ed è parallela a _v̄ = ai + bj

❶può costruire il vettore _xa parte dall'origine e punta a (x₀, y₀) (regola parallelogram.)

equazione parametrica della retta

[ x / y ] = [ x₀ / y₀ ] + t [ a / b ] t∈ℝ

trova tutte le possibili somme di vettori che individuano è un solo punto della retta che sto cercando

Fasci di piani:

Def Dati i piani:

P₁: a₁x + b₁y + c₁z - d₁ = 0

e

P₂: a₂x + b₂y + c₂z - d₂ = 0

l’equazione

λ (a₁x + b₁y + c₁z - d₁) + μ (a₂x + b₂y + c₂z - d₂) = 0

con λ, μ ∈ ℝ, definisce il fascio di piani F generato da P₁ e P₂.

Obs La natura del fascio F dipende dalla posizione reciproca dei piani che lo generano:

• Se P₁ e P₂ sono paralleli, P₁ ∦ P₂

il fascio F è composto da tutti i piani paralleli ad entrambi.

• Se P₁ e P₂ sono incidenti,

il fascio F è composto da tutti i piani che hanno in comune con P₁ e P₂ la stessa retta.

distanza tra 2 rette

• se r₁ ≡ r₂ o se sono incidenti → distanza nulla
• se r₁ ∥ r₂, la distanza è la distanza di un punto qualsiasi dell'una e dell'altra retta
• se r₁ e r₂ sono sghembe → FORMULA

Teorema:

r₁∋ p per P₁(x₁, y₁, z₁) diretta come V₁

V₁ = a₁i + b₂j + c₁k

r₂ per P₂(x₂, y₂, z₂) diretta come V₂

V₂ = a₂i + b₂j + c₁k

due rette sghembe, allora:

dise (r₁, r₂) = |P₁P₂ · V₁ × V₂| / |V₁ × V₂|

dimostrazione

Se r₁ e r₂ sono sghembe, la loro distanza è la lunghezza del più breve segmento che congiunge un punto di r₁ con uno di r₂, segmento che è anche l’unico segmento perpendicolare per entrambe le rette.

Si tratta quindi della proiezione ortogonale di P₁P₂ nella direzione del vettore ortogonale ad entrambe le rette, direzione individuata da V₁ × V₂.

dise = ||P₁P₂ · (V₁ × V₂) / (V₁ × V₂)|| = ||P₁P₂ · V₁ × V₂|| / ||V₁ × V₂||

Problema di Cauchy

y' = f(t, y) è un'equazione differenziale del primo ordine in forma normale

y(t₀) = y₀

Questa condizione prende il nome di problema di Cauchy

Definizione:

La condizione y(t₀) = y₀ è detta condizione iniziale (se t₀ è tempo — istante zero).

Siccome un'equazione differenziale ha di solito infinite soluzioni, si adotta una condizione che "restringa il campo" fino a trovare se possibile una singola soluzione, chiedendo che la soluzione passi per il punto (t₀, y₀).

con f: A → ℝ definito su un sottoinsieme aperto A di ℝ² e (t₀, y₀)^T punto finito di A.

Esiste l'equazione differenziale

y' = f(t, y)

con f: A → ℝ definito su un intervallo aperto A ⊂ ℝ²

Definizione:

Si dice che una funzione y: I ⊂ ℝ → ℝ con I intervallo, è una soluzione di y' = f(t, y) se:

1. y è derivabile in I
2. (t, y)^T ∈ A ∀ x ∈ I
3. y' = f(t, y), ∀ x ∈ I