Lezioni seconda parte: Appunti di Analisi e Geometria I

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Appunti di Analisi e geometria per l'esame del professor Boella sulla geometria analitica: Vettori. somma e prodotto per uno scalare. Prodotto scalare. Prodotto scalare e proiezioni ortogonali. …

Esame Analisi e geometria I

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Boella Marco Ugo Claudio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2013-2014

65 pagine

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Geometria Analitica

Punti e Vettori

Punto: un punto nello spazio è identificato dalle coordinate (x,y,z)

Def: un vettore V (del piano e dello spazio) è un segmento orientato individuato da 3 quantità:

Direzione: la direzione della retta cui V è parallelo
Verso: l'orientazione con cui il segmento viene percorso
Lunghezza: la lunghezza del segmento, detta anche modulo o norma, indicata con |v|

Def: un vettore di lunghezza unitaria è detto versore

Oss: in geometria, i vettori non hanno punto di applicazione

Punti e Vettori

Punti e vettori sono legati:

P_o(x_o, y_o, z_o) individua il vettore

V_o = [x_o y_o z_o]

La cui coda coincide con l'origine O e la cui punta coincide con P_o

Geometria Analitica

Punti e Vettori

PUNTO un punto nello spazio è identificato dalle coordinate (x, y, z)

DEF un vettore V (del piano e dello spazio) è un segmento orientato individuato da 3 quantità:

DIREZIONE: la direzione della retta cui V è parallelo
VERSO: l'orientazione con cui il segmento viene percorso
LUNGHEZZA: la lunghezza del segmento detta anche modulo o norma, indicata con │v│

DEF un vettore di lunghezza unitaria è detto versore

OSS in geometria, i vettori non hanno punto di applicazione

Punti e Vettori

Punti e vettori sono legati:

P₀(x₀, y₀, z₀) individua il vettore

V₀ = ^x₀ ^y₀ ^z₀

La cui coda coincide con l'origine O e la cui punta coincide con P₀

Analagomente, dati A(X_A, Y_A, Z_A) e B (X_B, Y_B, Z_B) il vettore V

che congiunge A e B, orientato da A a B, indicato anche con

AB e dato da

V = AB = [X_B - X_A Y_B - Y_A Z_B - Z_A]

operazioni con i vettori

Sono definite le operazioni:

prodotto di un vettore V per un numero reale λ (uno scalare)
somma di due vettori V e U

Prodotto:

Def: Dato un vettore V e un numero reale λ, il prodotto λV è

un vettore avente stesa direzione di V,

lo stesso verso se λ > 0 ovvero verso opposto se λ < 0 e

lunghezza pari a |λ|/|V|

Somma: regola del parallelogramma

Def: La somma di due vettori U e V si esegue con la

"regola del parallelogramma": se U e V individuano i

due lati di un parallelogramma la loro somma U + V

corrisponde alla diagonale di tale parallelogramma.

Proprietà delle operazioni

La somma di due vettori gode delle seguenti proprietà:

commutativa \( u + v = v + u \)
associativa \( u + (v + w) = (u + v) + w \)
esiste elemento neutro 0 → \( v + 0 = 0 + v = v \)
esistenza dell’opposto -v di ogni v ≠ 0 → \( v + (-v) = (-v) + v = 0 \)

Il prodotto di uno scalare per un vettore gode delle proprietà:

di omogeneità \( \lambda (\mu v) = (\lambda \mu) v \)
di compatibilità con la norma \( |\lambda v| = | \lambda | |v| \)
distributiva rispetto alla somma; \( \lambda (u + v) = \lambda u + \lambda v \quad \) \( (\lambda + \mu) v = \lambda v + \mu v \)

Locuzione Fondamentale

Si dice combinazione lineare

di n vettori la somma di tali vettori, moltiplicata ciascuno per un coefficiente \( \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_m v_m \)
m vettori si dicono linearmente indipendenti se l’uguaglianza \( \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_m v_m = 0 \) è verificata unicamente per \( \lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_m = 0 \)

Osservazione:

Se i vettori non sono linearmente indipendenti, allora tra di loro vi è almeno 1 che può essere espresso come combinazione lineare degli altri

In termini delle componenti:

Dato uno scalare λ∈ℝ e due vettori u=

u₁
u₂

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