Quaderno analisi 2

Funzioni in più variabili

Interno di x₀ in una variabile:

Interno di un punto in due variabili:

Punto interno - P₀ è interno se ∃ δ t.c. Bδ(P₀) ⊂ A

Punto esterno - P₀ è esterno se ∃ δ t.c. Bδ(P₀) ∉ A

Punto di frontiera - P₀ è di frontiera se ∀ δ ∃ Bδ(P₀) contiene punti ∈ A e punti ∉ A

Insieme aperto - un insieme si dice aperto se preso qualsiasi dei suoi punti, quel punto è un punto interno.

A° = insieme dei punti interni

• A° ⊆ A
• A = A⁻ chiusura di A

δA = frontiera di A

• A è aperto ⇔ A = A°
• A è chiuso ⇔ A = A⁻

OSS: Gli unici due insiemi sia aperti che chiusi sono Ø e l'universo.

A è connesso se ∀ P₀, P ∈ A ∃ linea passante tra P e P₀ tutta interna ad A

Insieme semplicemente connesso

Se qualunque linea chiusa è all'interno, la posso restringere fino a ottenere un punto senza uscire dall'insieme.

Esempio

f(x, y) = √x D { (x, y) ∈ ℝ² | x ≠ 0 }

C.E

- L'insieme è chiuso perché i bordi sono compresi

- Connesso perché ∃ sempre almeno una linea

LINEE DI LIVELLO

esempio: x ² + y ² = k

• Se k > 0 quindi è sempre ⊕
• Se k ≤ 0 x ² = 0 assi cartesiani
• Se k ≤ y ² = k ² - k ² / x ²
• ipérboli equivalenti

CONTINUITÀ PER FUNZIONI IN DUE VARIABILI

f continua in P ₀ se lim f(x,y) = f(x ₀,y ₀)

Calcolare il limite però significa valutare la funzione se mi avvicino a un punto da una data direzione. Più due variabili, più posso avvicinare un punto da infinite direzioni.

lim (x,y) = (0,0) lim x/x ² + 4

verso delle due bisettrici

lim (f_x - f_xx) - lim x ² / 2x ² = lim (ff) = lim x ₂ x ² = lim 1 / 2

Due valori sono diversi pertanto il LIMITE NON ESISTE.

lim (xy/x ² + 4)l(x,y) l(x,y) - x ² = 0 0-0

towards o_?

Se il limite è 0

mi avvicino quindi

lim x ^my ² lim m ²x lim m = 0

Potrebbe anche risultare il limite

la funzione f(x) dice differenziabile in x₀, se

 ∃ m t.c. lim errore = 0

             h → 0      h

m = f'(x₀)

oss: 2. dire che f è differenziabile ↔ f è derivabile

- In due variabili:

           giacino piano

    errore = a (x - x₀) + b (y - y₀) + c z + d.

x

deve passare per p (x₀, y₀, f(x₀, y₀))

• a (x - x₀) + b (y - y₀) + c (z - f(x₀)) = 0

eq piano z = f(x₀, y₀) = α (x - x₀) + β (y - y₀)

↓ blocco y - y₀ e curva diventa una sezione, il piano diventa la retta tangente:

z = f(x₀, t₀) + α (x - x₀)

ma α lo conosciamo perché α = m_x cioè la derivata parziale rispetto a x, quindi β sarà la derivata parziale rispetto a y.

Il piano è quello che contiene le due tangenti:

• α = f_x (x₀, y₀)
• β = f_y (x₀, y₀)

Queste sono però CONDIZIONI NECESSARIE e non sufficienti perché

deve anche verificare che il risultismo allo zero sia di ordine superiore all'infinitesimo dell'incremento:

Ci saranno tante direzioni quante incrementi (x_o, y_o) → (x_o+h, y_o+k)

Errore = f(x₀+h, y₀+k) - piano tg valutato nel punto =

    = f(x₀+h, y₀+k) - [ f(x₀, y₀) + f_x (x₀, y₀)(x-x₀) + f_y (x₀, y₀)(y-y 3m²x³ + 2M⁴x⁴ ∀ x²

(minimo)

Vale uce in x = -y²

x = -2y²

1. ?

● Calcolo del massimo e del minimo lungo una generica curva.

f(x,t) Vogliamo calcolare max e min lungo una generica curva

possiamo sostituire con generica curva di livello

Livelli = { (x,t) ∈ R² g(x,t) = 0 }

- Se siamo capaci possiamo ridurre la

curva da 1 variabile

PARAMETRIZZO

- Se f è liscia e la curva di f

è liscia chi possono essere

i massimi e i minimi?

Il grafico di f con le linee di livello è il seguente:

Per avere un massimo o un minimo

è necessario che in qualche punto

la linee sia tangente a una

linea di livello

Le gradienti sono ⊥ alla curva di livello,

quindi è comodo per la tang.

∇p = λ ∇g possiamo rispetta

proporzionale

L∇ deve

Furazione ausiliaria LAGRANGIANA

l (x,y,λ) = f(x,t) + λg (x,t)

{

{ L_x = f_x + λg_x = 0 }

{ L_y = f_y + λg_y = 0 }

{ (n, g (x,y) = 0) → Il punto deve appartenere a g

∇p,∇g = 0 trovo i punti

proporzionali