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equazione differenziale de secondo ordine.
a(t)y" + b(t)y' + c(t)y = f(t), t ∈ I con a, b, c, f funzioni continue a ≠ 0
e soluzioni in intervallo I ⊂ R.
LA FUNZIONE y
R DERIVABILE DUE VOLTE PER CUI
si ottiene a(t)y" + b(t)y' + c(t)y =
s(t) ∀t ∈ I
es:
y" = 0
=>
sotto soluzioni è una funzione
=> FUNZIONI
la cui derivata seconda è nulla
=> LINEARI
y(t) = ct + c2 ∀c1,c2 ∈ R
Le equazioni differenziali lineari di secondo ordine
hanno infinite soluzioni che dipendono da due parametri
- PROBLEMA DI CAUCHY
- a(t)y" + b(t)y' + c(t)y = f(t)
- y(t0) = y0
- y'(t0) = v0
Teorema di Cauchy
- 1 soluzione garantita da
- 1. a(t)y" + b(t)y' + c(t)y = f(t) ∀t ∈ I
- 2. a, b, c, f funzioni continue in I
- a ≠ 0
∃! v0 e v ∀(y0, v0) ∈ R2
il problema di Cauchy
ha una e una sola
soluzione definita su tutto I
Per risolvere problema di Cauchy
si trovano le due equazioni in funzione di C1 e C2
e poi si mettono a sistema per trovare C1 e C2
INTEGRALI GENERALI
a(t)y″ + b(t)y′ + c(t)y = f(t)
L[y] operatore
combinazione lineare (derivata della somma e derivata prodotto per costante)
Principio di sovrapposizione
Hp. y1 soluzione di ay″ + by′ + cy = f1
y2 soluzione di ay″ + by′ + cy = f2
T.s y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) è soluzione di
ay″+by′+cy = c1f1 + c2f2
Dim. Considero y1 soluzione di L[y1]=f1 e y2 soluzione L[y2]=f2
Moltiplico entrambe le equazioni rispettivamente per c1 e c2 e sommo membro a membro
c1L[y1] + c2L[y2]=c1f1 + c2f2
= L(c1y1) + L(c2y2)=c1f1 + c2f2
L(c1y1 + c2y2) = c1f2 sfruttando la linearità di L
L(y) = c1f1 + c2f2
è la soluzione che rende vera l'equazione, ovvero y = c1y1 + c2y2
CONSIDERO IL CASO OMOGENEO
a(t)y″ + b(t)y′ + c(t)y = 0 => L[y] = 0
L(c1y1 + c2y2) = 0
L(y) = 0 per qualunque scelta delle costanti c1 e c2
OGNI COMBINAZIONE LINEARE È SOLUZIONE
DEFINIZIONE
dati f = f₁ + i f₂ dove f₁, f₂: R -> R derivabili, si ha:
f(t) = f₁'(t) + i f₂'(t)
da cui si può dimostrare che: per λ ∈ C, (e^λt)' = λ e^λt ∀t ∈ R
02/03/29 equazioni omocomplete a coeff. costanti
per trovare yp METODO DI SOMIGLIANZA
Forzante esponenziale:
f(t) = A e^αt ⟹ yp sarà SIMILE a f(t) quindi:
yp = C e^αt stesso della forzante da determinare
SOLO SE α NON È RADICE DEL P(λ)
α NON radice ⟹ yp(t) = C e^αt
α radice semplice ⟹ yp(t) = Ct e^αt
α radice doppia ⟹ yp(t) = C t² e^αt
Forzante polinomiale:
f(t) = A tm
con yp polinomio di grado m ⟹ f(t) polinomio di grado n
da yp(t) = r tⁿ + s tⁿ⁻¹ + u tⁿ⁻² si fa f e si sostituisce in eq. diff. e applicando principio identità dei polinomi, si trova sistema di 3 incognite.
SE C ≠ 0 ⟹ si determina yp
y = 0 per t > 0 (REGIME TRANSITORIO DEL SISTEMA)
y → y0 per t → ∞ (REGIME PERMANENTE DEL SISTEMA)
assumendo K(ν)
⇒ yp(t) → y(f)
Vmax = √(ω² - 25ε²)
volo dire che la forzante può indurre ampiezze piccole e grandi di α
smorzamento piccolo = ampiezza decresce lentamente
Lezioni
9/3/09
EQUAZIONI DIFF. LINEARI ➔ VALE IL PRINCIPIO DI SOVRAPP. RIPASSO:
Omonogenee:
- y″ - y′ - 2y = 0
X2 - λ - 2 = 0
(λ - 2)(λ + 1) = 0 λ1,2 = ± 2
y(t) = He2t + Ke-t
- y″ + 4y′ + 4y = 0
X2 + 4λ + 4 = 0 λ = -2 radice doppia
y(t) = He-2t + Ke-2t
- y″ + 6y′ + 13y = 0
X2 + 6λ + 13 = 0 λ = -2 ± 3i
y(t) = e-2t(H cos3t + K sin3t)
Complete:
y″ + 6y′ + c3y = f(t)
e_risolvibile (LINEARE!) basta sommare sol. omogenea + U. sol. di completa
V: spazio vettoriale ⇒ insieme di generatori di V che sono linearmenteindip. è detto base (sono tutti vettori lineari)
es.: V = {f: R → R | f(x) = aex + be-x }
{ex, e-x} è una base per V, ma anche {Chx, Shx} lo è
v = αex + βe-x =(α + β)Chx + (α - β)Shx
digressione: FUNZIONI IPERBOLICHE
ex+e-x/2 = Chx
ex-e-x/2 = Shx
trigonometria nasce da: x2 + y2 = 1
Sia {v1, v2, ..., vn} un insieme i.v. e
sia v ≤ v1
{v1, ..., vr} è un sottinsieme massimale di elementiindipendenti se:
- {v1, v2, ..., vr} sono linearmente indipendenti
- {v1, v2, ..., vr, vs} sono linearmente dipendenti
I CONCETTI DI BASE E MASSIMALE SONO LEGATI
Se {β} = {v1, ..., vs} è una base per V, allora ognivettore w si può scrivere in un solo modo comecombinazione lineare degli elementi di β
Dim.: per assurdo, se esistessero 2 combinazionilinear. differenti:
w = α1v1 + ... + αsvs
w = β1v1 + ... + βsvs
a) ∅ ∈ U ∩ W dunque ∅ ∈ U ∪ W ⇒ non ∅
- somma: ∀ v1 ∈ U ∩ W:v1 + v2 ∈ U [v1 + v2 ∈ U ∪ W] ⇒ v1 + v2 ∈ U ∩ Wv1 + v2 ∈ W
- prodotto per scalare:v ∈ (U ∩ V) ⇒ ∀ v ∈ U ∀ v ∈ U x v ∈ U∀ λ v ∈ W λ x v ∈ W
⇓
l’unione di U e W in generale NON è un sottospazio di V.CONTROESEMPIOin V = ℝ2 U = {[x] x ∈ ℝ} W = {[2β] ∀ β ∈ ℝ}[1], [2] ∈ U ∪ W ma [12, 12] = [3] ∉ U ∪ W
somma di U e W
U + W = {v ∈ V| ∃ u ∈ U, ∃ w ∈ W tali che v = u + w}è un sottospazio vettoriale di V
⇓
la decomposizione può non essere univoca(in generale {v ∈ U + W} = infinite coppie (u, w) tali che v = u + w)ma, se la decomposizione v = u + w è unica, si dice che U + W è SOMMA DIRETTA di U e W, e si indica conU ⊕ W
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