Riassunto esame "Analisi e geometria 2", prof. Boella

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Riassunto esame "Analisi e geometria 2", prof. Boella basato su appunti personali del publisher presi alle lezioni del professore, dell’università degli Studi del Politecnico di …

Esame Analisi e geometria I

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Boella Marco Ugo Claudio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2020-2021

110 pagine

Appunto

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Estratto del documento

equazione differenziale de secondo ordine.

a(t)y″ + b(t)y′ + c(t)y = f(t), t ∈ I cono b,c,f funzioni coninue

a ≠ 0

soluzione in intervallo I ⊂ R.

LA FUNZIONE y: I → R DERIVABILE DUE VOLTE PER CUISI OTTIENE a(t)y″ + b(t)y′ + c(t)y = f(t) ∀t ∈ I

es..

y″ = 0 => solu soluzione e una funzione[a ]ui derivata semnda e nulla

y(t) = c₁t + c₂ ∀ c₁, c₂ ∈ R

Le equazioni differenziali [ ]rera del secando ordimehanno ]intinte .oluzioni che dipenono da due [ ]

PROBLEMA DI CAUCHY

{ a(t)y″ + b(t)y′ + c(t)y = f(t) {y(t₀) = y₀ {y′(t₀) = y′₀

Problema di Cauchy

1 soluzione garantita da

Hp.: a(t)y″ + b(t)y′ + c(t)y = f(t) [ ] E I i ∀ t₀, c₁ e c₂ ∈ R (y₀, y′₀) ∈ R²

a,b,c,f funzioni continue in I il problema di Cauchy

a ≠ 0

ha una e una solasoluzione definita su[u]lo I.

Per risolvere problema di Cauchysi travano le due equazioni in funzione di c₁ e c₂e poi si melicano a aistenia per travare c₁ e c₂

POK online 25/07/2001

equazione differenziale del secondo ordine.

a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = f(t), t ∈ I con a, b, c, f funzioni continue, a ≠ 0

soluzione in intervallo I c R.

LA FUNZIONE y:(t)ℝ DERIVABILE DUE VOLTE PER CUI

SI OTTIENE a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = f(t) ∀t ∈ I

es.: y'' = 0

Le equazioni differenziali lineari del secondo ordine hanno infinite soluzioni che dipendono da due parametri:

PROBLEMA DI CAUCHY

y(t₀) = y₀
y'(t₀) = v₀

Teorema di Cauchy

Hp.: a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = g(t), t ∈ I

a, b, c, f funzioni continue in I
a ≠ 0

∀t ∈ I, ∃! ∈ ℝ, uno e una sola soluzione definita su tutto I

Per risolvere il problema di Cauchy si trovano le due equazioni in funzione di c₁ e c₂ e poi si mettono a sistema per trovare c₁ e c₂

Integrali Generali

a(t)y₁ + b(t)y₂ + c(t)y = f(t), t ∈ I

_{gode della proprietà di linearità}

se a = c₁y₁ + c₂y₂ applico L => Lc₁y₁ + Lc₂y₂

^{combinazione lineare}

Principio di sovrapposizione

Hp. y₁ soluzione di ay' + by' + cy = f₁
y₂ soluzione di ay' + by' + cy = f₂

T.s. y(t) = C₁y₁(t) + C₂y₂(t) è soluzione di ay' + by' + cy = C₁f₁ + C₂f₂

Dim. Considero y₁ soluzione di Ly₁ = f₁ e y₂ soluzione di Ly₂ = f₂

moltiplico entrambe le equazioni per c₁ e c₂ e sommo membro a membro.

_{C₁Ly₁ + C₂Ly₂ = C₁f₁ + C₂f₂ → L(C₁y₁) + L(C₂y₂) = C₁f₁ + C₂f₂}

L(C₁y₁ + C₂y₂) = C₁f₁ + C₂f₂

sfruttando la linearità di L

L(ȳ) = C₁f₁ + C₂f₂

ȳ è la soluzione che rende vera l'uguaglianza, ovvero y = C₁y₁ + C₂y₂

Considero il caso omogeneo

a(t)y₁ + b(t)y₂ + c(t)y = 0 → Ly = 0 applico principio di sovrapposizione

L(C₁y₁ + C₂y₂) = 0

L(ȳ) = 0 per qualunque scelta delle costanti C₁ e C₂

Ogni combinazione lineare è soluzione

L'insieme _S delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea forma uno SPAZIO VETORIALE

se a(t) ≠ 0 la dimensione dello spazio vettoriale _S è due

Teorema di Struttura (Omogenee)

Hp. a(t)ẏ + b(t)ẏ + c(t)y = 0

a, b, c funzioni continue in I
a(t) ≠ 0 in I

∃ integrale generale è dato da tutte le combinazioni lineari:

y(t) = c₁y₁(t) + c₂y₂(t) ∀c₁,c₂ ∈ ℝ

con y₁, y₂ soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione stessa

Teorema di Struttura (Complete)

Hp. a(t)ẏ + b(t)ẏ + d(t)y = f(t) ∀t ∈ I

a, b, f continue in I
a(t) ≠ 0 in I

∃ integrale generale è dato da tutte e sole funzioni:

y(t) = c₁y₁(t) + c₂y₂(t) + y_p(t) ∀c₁,c₂ ∈ ℝ

2 sol. lin. indipendenti dell’omogenea associata

Dim. y₀ sol. di Lẏ = 0 ⇒ Lẏ₀ = 0 (PRINCIPIO)

y_p sol. di Lẏ = f ⇒ Lẏ_p = f (sovrapposiz)

(y₀ + y_p) sol. di (Lẏ = 0 + f)

f ≠ 0 f

y₁ sol. di Lẏ = f, y₂ = f (y₁ + y₂) = f, f = 0

y₂ sol. di Lẏ = f → Lẏ₂ = f → differenze sol. (omogenee) associate

29/03/20

EQUAZIONE OMOGENEA A COEFF. COSTANTI

ay'' + by' +

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