Schemi di Analisi 1 (tutto il programma)

Le Funzioni

Funzione X, Y corrispondenza che ad ogni elemento di X associa uno e un solo elemento di Y. Si scrive:

f: X → Y oppure y = f(x)

Y è detta immagine di X: è l'insieme delle immagini e un sottoinsieme dell'insieme Y (cioè Y non corrisponde all'intero asse Y)

Proprietà delle funzioni

• f è iniettiva → ∀ x₁, x₂ ∈ X, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)
• opp. se f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂
• f è suriettiva → ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X t.c. y = f(x)

N.B. con Y si intende l'insieme delle immagini di X cioè il codominio

• f è biettiva → se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.

Se f è una funzione biettiva (biunivoca) allora esiste la sua funzione inversa f⁻¹ (cioè f è invertibile)

f: X → Y g: Y → X f(x) = y ⇔ f⁻¹(y) = x

N.B. se stai operando all'interno dell'insieme IR dei numeri reali, affinché f sia inivertibile è sufficiente che sia iniettiva.

(spesso posso restringere il dominico di f: X)

Logica

Predicato

aff. che contiene un elemento che va meglio specificato usando i quantificatori

Ex. x² ≥ 1 è un predicato

Proposizione

affermazione che posso considerare vera o falsa

Ex. ∃ x ∈ Q t.c. x² > 1 è una proposizione (vera)

Operazioni logiche tra due proposizioni P e Q generiche

1. Negazione ¬ P → P è vera se è falsa e viceversa
2. Congiunzione P ∧ Q → è vera solo se sia P che Q sono vere
3. Disgiunzione P ∨ Q → è vera se almeno una tra P e Q è vera
4. Implicaione P ⇒ Q → è falsa se è stato se P è vera e Q è falsa
5. Doppia implicazione P ⇔ Q → è vera se sono entrambi vere o entrambe false

Leggi di De Morgan

¬ (P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q

¬ (P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q

L'affermazione ⇔ equivale a...

I TEOREMI

Ne esistono di due tipi, nel primo tipo P ⇒ Q e nel secondo tipo P ⇔ Q (dove P rappresenta l'ipotesi e Q rappresenta la tesi).

Tipi di dimostrazione dei teoremi del primo tipo:

1. DIRETTA (se P è vera allora è vera anche Q)
2. PER ASSURDO 1 (P ⇒ Q, se non è vera Q non è vera neanche P)
3. PER ASSURDO 2 (P ⇔ Q equivalente a P ∧ Q è palesemente falsa)
4. PER INDUZIONE (P(n) è vera per ogni n ∈ N) solo in N

Sì, dimostra che P(0) è veraSì, dimostra che se P(n) è vera → P(n+1) è veraallora P(n) vera ∀n

GLI INSIEMI

Ex. → insieme I: {semi carte} = {❤️⚙️♦️♠️}

• ❤️ ∈ I → singolo elemento appartenere all'insieme
• {♠️} ⊂ I → sottoinsieme è contenuto nell'insieme

Se l’insieme A = {❤️♠️} il suo insieme complementare è Ā = I^c = {⚙️♦️}

Dati due insieme generici A e B, esistono le operazioni di unione (A ∪ B)e di intersezione (A ∩ B), entrambe verificano le proprietà associativa e distributiva.

LEGGI DI DE MORGAN

• A ∩ B = A ∪ B
• A ∪ B = A ∩ B

Dati due insieme generici I e J, il loro prodotto cartesiano è:

I × J = {(a; b) : a ∈ I, b ∈ J}

P.S. (a; b) ≠ (b; a) perché sono coppie ordinate

Dato un insieme I generico, presi casualmente due suoi elementi, essisono in una relazione (a ~ b) che si definisce relazione di equivalenzase si rispettano tre proprietà:

1. RIFLESSIVA a ~ a
2. SIMMETRICA a ~ b → b ~ a
3. TRANSITIVA a ~ b; b ~ c → a ~ c

L’insieme risulta così suddiviso in classi di equivalenza; i membridi ciascuna classe sono in relazione di equivalenza tra di loro.

Se X è un insieme finito, la sua CARDINALITÀ è il numero dei suoi elementi.

Due insiemi X e Y hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi e i due insiemi dicono equipollenti.

Se un insieme X è equipollente ad un certo numero naturale Kn, di cardinalità n, si dice che è finito e la cardinalità è n. Se un insieme X è equipollente a N, si dice che è NUMERABILE e i suoi elementi formano una successione.

La cardinalità di N e quella di insiemi equipollenti ad N si indica anche con il simbolo No (che indica la cardinalità trascinabile).

• Z è equipollente a ^NN - anche Z è numerabile.

N 0 1 2 3 4

• Q è equipollente a N - anche Q è numerabile.

DIMOSTRAZIONE DI CANTOR

Tracciando le diagonali, notiamo

Folga Diagonal e otteniamo una lista che contiene tutti numeri e che può essere messa in corrispondenza biunivoca

• R è equipollente all'intervallo (0,1)

TEOREMA DI CANTOR R non è numerabile (dimostro che (0,1) non è numerabile)

DIMOSTRAZIONE -

(Paradosso) se l'intervallo (0,1) fosse numerabile e, tutti gli x ? ⟨0,4⟩ dovrebbero poter essere elencati, supponiamo di poterli numerare.

X₀ = 0.21432...

X₁ = 0.4169...

X₂ = 0.30845...

Incremento di 1 ciascuna delle cifre e, di accordo que, il numero generato 10,35... non è nell'elenco.

Quindi (0,1) non è numerabile.

Siccome R è più numeroso di Q, si dice che R ha la potenza del continuo (perché i numeri reali si differenziano ad una certa area denisvia e questa è anche potenza algebrica).

Altri insiemi che hanno presenza del continuo

1. R — Q = { razionali ? }
2. R² = { (x,y) — x ? R }
3. R³ = { (x,y,z) - x,y,z ? R }

Teorema di monotonia

Ogni successione {a_n} che sia monotona e limitata è convergente (a_n → L)

• Se {a_n} è crescente L è l'estremo superiore degli a_n (a_n → L ⇒ sup {a_n} = L)
• Se {a_n} è decrescente L è l'estremo inferiore degli a_n (a_n → L ⇒ inf {a_n} = L)

Dimostrazione

Ho una successione {a_n} monotona crescente e superiormente limitata

(∃ s sup {a_n}), voglio dimostrare che a_n → s

• Se s = sup {a_n}
• ∀ ε > 0 ∃ a_n | s - ε < a_n < s

• Corollario
• se {a_n} è crescente ⇒ ∃ lim a_n = sup {a_n}
• se a_n è limitata corrisponde al teorema
• se a_n non è limitata sup {a_n} = +∞

Questo teorema è così importante perché può essere applicato ad una particolare successione e garantisce l'esistenza del numero e.

a_n = (1 + ¹⁄_n)ⁿ ⇒

• {a_n+1} > a_n ⇒ {a_n} è crescente
• ∀ n a_n < 2,75 ⇒ {a_n} è sup limitata

⇒ ∃ lim_n→+∞ (1 + ¹⁄_n)ⁿ ed è uguale ad e.

Dopo aver stabilito che lim_n→+∞ (1 + ¹⁄_n) = e, posso dimostrare che

• a_n → +∞ ⇒ lim_n→+∞ (1 + ¹⁄_an)^a_n = e
• b_n → -∞ ⇒ lim_n→0 (1 - ¹⁄_bn)^b_n = e
• c_n irregolare, |c_n| → +∞ ⇒ lim_n→+∞ (1 + ¹⁄_cn)^c_n = e

Def.

e^x = lim_n→+∞ (1 + ^x⁄_n)ⁿ