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Successioni
Definizione:
Una successione è una legge che associa a ogni m∈ℕ un numero reale am
- f:ℕ→ℝ
- f: m → am = f(m)
Indico un m→am o {am}
{am} → gli elementi di una successione costituiscono un insieme di numeri reali, {am}⊂ℝ
Talvolta l’insieme dei m per i quali la successione è definita iniziano da un intero m0, cioè f:{m∈ℕ | m≥m0} → ℝ
La cosa non ha alcuna rilevanza, a noi interessa il comportamento di {am} al crescere di m.
Grafico:
È costituito dall'insieme dei punti (m, am)
es. grafico di {1/m}
Limitatezza
Una successione {an} si dice:
- superiormente limitata se ∃ M ∈ R tale che ∀ m sia am ≤ M
- inferiormente limitata se ∃ M ∈ R tale che ∀ m sia am ≥ M
- limitata se è limitata sia sup. che inf.
Definitivamente
Def Diciamo che la successione {an} possiede DEFINITIVAMENTE una certa proprietà P se ∃ un intero N tale che am soddisfi P ∀ m ≥ Np
es. la succ. { m - 20 } è definitivamente positiva ( m ≥ 63 )
la succ. { 1/n2 } è definitivamente minore di 0,01 ( m ≥ 1.000 )
Successioni Convergenti
Def Si dice che la successione {am} tende al limite finito L se:
∀ ε > 0 ∃ me ∈ N tale che ∀ m > me sia |am – L| < ε
In questo caso si dice che {am} è convergente
Si scrive:
limm → ∞ am = L
Ogni succ. convergente è limitata
Definizione metrica di limite finito
Dimostrazione del T. di Monotonia
- Considero il caso {an} monot. CRESCENTE (altro analogo)
- {an} è sup. limitata ⇒ ∃ Λ = sup {an}
Mostro che an → Λ
- Λ = sup {an} ⇒
- ∀ M ∈ ℕ si ha che an ≤ Λ
- ∀ ε > 0 ∃ mε tale che Λ - ε ≤ amε ≤ Λ
- Per la monotonia se an* ≥ Λ - ε, ∀ m > m* dn ≥ am* ≥ Λ - ε
- Potro m* = mε, abbiamo che
- ∀ ε > 0 ∃ mε tale che ∀ m > mε si ha Λ - ε ≤ am ≤ Λ
- Pertanto an → Λ
Corollario del T. di Monotonia
- Sia {an} monotona crescente, allora ∃ lim an = sup {an}
dimostrazione:
- Se {an} è limitata → è già dimostrato (converge all'estremo sup)
- Se {an} è illimitata → an → +∞
Perché sup {an} = +∞, dunque ∀ K ∈ ℝ ∃ an* > K,
ma per monotonia ∀ m > m* si ha am ≥ am* > K
DUNQUE
Se una succ. è monotona, essa ammette senz'altro un limite
(finito o infinito)
Le successioni monotone non possono essere irregolari!
Teorema del Confronto
Date tre successioni \(\{a_m\}\), \(\{b_m\}\) e \(\{c_m\}\), se \(a_m \leq b_m \leq c_m \rightarrow a_m \rightarrow L \quad e \quad c_m \rightarrow L\) allora \(b_m \rightarrow L\)
Dimostrazione
Fissato \(\varepsilon >0\), definitivamente avremo: \(L-\varepsilon < a_m < L\) e \(L-\varepsilon < c_m < L+\varepsilon\) dunque definitivamente \(L-\varepsilon \leq a_m\leq b_m\leq c_m \leq L+\varepsilon\) \(\quad \quad \downarrow\) \(b_m \rightarrow L\)
Corollario
- Se definitivamente \(|b_m| \leq c_m\) e \(c_m \rightarrow 0\), allora \(b_m \rightarrow 0\)
- Se \(c_m \rightarrow 0\) e \(b_m\) è limitata, allora \(b_m c_m \rightarrow 0\)
Esempio \(\lim_{m \to \infty} \frac{\sin m}{m}\) \(\sin(m) \rightarrow -1 < \sin(m) < 1\)
- \(|b_m| \leq c_m\), se \(c_m \rightarrow 0\) \(\rightarrow b_m \rightarrow 0\)
\[\frac{\left|\sin\left(\frac{m}{m}\right)\right|}{\left|\frac{1}{m}\right|}\] con: \(\frac{1}{m}\rightarrow 0\) sì quindi \(b_m \rightarrow 0\)
Gerarchia degli Infiniti
Teorema: Gerarchia degli Infiniti
Per ogni a > 1, Ɐ⍺ > 0, si ha
- limm→∞ logma/m⍺ = 0
- limm→∞ m⍺/am = 0
Lemma:
Per ogni x > 0, e per ogni a > 1 si ha
- logax/loga2
Dimostrazione:
- Ricordando che x ≤ ⌊x⌋ < (x) + 1, abbiamo
- 2⌊x⌋ ≤ (2x) < 1 + (x) > x
Dunque x log2 x ⌊⍺∞ loga (2m)/(2m)⍺ = lim m->∞ m loga 2/(2m)⍺
- limiti "unidirezionali"
- per avere limiti destro ( x → x¯+ ) e sinistro ( x → x¯- )
- sostituiamo x - x¯ < δ con 0 < x - x¯ < δ Dx
- oppure 0 < x¯ - x < δ Sx
- se nel def di limite sostituiamo |f(x) - L| < ε
- 0 < x - x¯ < δ allora: limiti
- per eccesso f(x) → L+
- o 0 < x¯ - x < δ
- per difetto f(x) → L-
- legame tra lim per x → x¯ e limiti dx e sx
- e' immediato notare che:
- affinché esista lim x → x¯ di una fz. f, devono esistere entrambi i limiti, destro e sinistro, ed essere uguali
- limx→0 1/x = ∞ − ∞
- limx→0 e-1/x2 = 0+
- limx→0+ e-1/x2 = +∞
- limx→0- e-1/x2 = 0+
poiché
1 - \cos x/x2 = 1 - \cos x/x2(1 + \cos x) = 1 - \cos2 x/x2(1 + \cos x) = sen2 x/x2 . 1/(1 + \cos x)
per x → 0
1/x 1/2
lim x → 0 1 - \cos x/x2 = 1/2
V)
lim x → 0 1 - \cos x/x = 0
⊕
lim x → 0 sh x/x = 1
lim x → 0 ch x - 1/x2 = 1/2
lim x → 0 th x/x = 1
⊕
lim x → 0 \tan x/x = 1
lim x → 0 \arcsen x/x = 1
lim x → 0 \arctg x/x = 1
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