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Analisi I e geometria
Ingegneria biomedica
a.a. 2019/2020
prof. M. Boella
FUNZIONI
FUNZIONE: qualsiasi relazione che collega ad ogni elemento dell'insieme X dominio un solo elemento Y del codominio.
F. INIETTIVA: elementi distinti hanno immagini distintex₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)vale a dire f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂
F. SURTIETTIVA: per ogni elemento del codominio esiste un elem. del dominio tale che y = f(x)∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : y = f(x)
F. BIETTIVA (o BUNIVOCA): suriettiva e iniettiva ⇒ invertibile
F. COMPOSTA:f : A → Rg : B → Rx ∈ A ⟶ f∘g⟶ x ∈ B ⟶ g∘f(x)I rispettivi domini dei f devono essere compatibili con g.
GRAFICO DI FUNZIONE { (x, y) : x ∈ A, y = f(x) }
y = f(x)y = f(x) + k spostamento lungo asse yy = f(x + h) spostamento lungo asse x se h > 0 verso sx / se h < 0 verso dx
y = a f(x) se a > 1 dilatato se 0 < a < 1 compresso se -1 < a < 0 compresso e capovolto se a < -1 dilatato e capovolto
y = f(βx) se β > 1 compresso se 0 < β < 1 dilatato se -1 < β < 0 dilatato e capovolto se β < -1 compresso e capovolto
F. PARI f(x) = f(-x)
F. DISPARI f(x) = -f(-x)
NUMERI COMPLESSI
i = numero che elevato al quadrato fa -1 (unità immaginaria) i2 = -1 → (0,1)
z = a + ib (a, b ∈ ℝ) ↳ parte Reale (Rez) ↳ parte Immaginaria (Imz)
→ forma algebrica
SOMMA e DIFFERENZA
(a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± a)
PRODOTTO
(a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac - bd) + i(ad + bc)
QUOZIENTE
0 arctan b/a ± π se a < 0 π/2 se a = 0 e b > 0 -π/2 se a = 0 e b < 0
es.
A = {x ∈ R: x ≥ 0 e x2 ≤ 90}
min A = inf A = 0
max A = sup A = 90
B = {x ∈ Q: x ≥ 0 e x2 ≤ 90}
min B = inf B = 0
max B
sup B = √90
Il massimo sarebbe √90, ma non appartenendo
all'insieme Q dei numeri razionali non può
essere il massimo (non appartiene all'insieme)
C = {x ∈ Z: x ≥ 0 e x2 ≤ 90}
min C = inf C = 0
max C = sup C = 9
Successioni
SUCCESSIONE → funzione che collega ad ogni numero naturale un
numero reale
f: N → R
n → (an)
an = 1/n
n è l'indice della successione
Una successione può essere sup. limitata, inf. limitata o illimitata.
È un insieme di numeri.
An si dice:
- STRETTAMENTE CRESCENTE se an < an+1
- CRESCENTE se an ≤ an+1
- DECRESCENTE se an ≥ an+1
- STRETTAMENTE DECRESCENTE se an > an+1
Successione contemporaneamente crescente
e decrescente → f. costante.
Per studiare l'andamento di una successione all'infinito,
si studia il limite
lim an
n→∞
→ avendo una successione, n tende solo a +∞,
quindi è necessario specificare
- bn/an → 0
- (an)bn →
- +∞ se B>0
- 0 se B1
- 0 se 0 tutte le forme di indecisione derivano da 0·∞
TEOREMA DEL CONFRONTO (o del carabiniere)
An < bn < cn → bn → l
An → l , cn → l
dimostrazione
Per definizione di limite: l-ε < an < l+ε l-ε < cn < l+ε
In base al confronto tra an, bn e cn delle ipotesi, si ha: l-ε < an < bn < cn < l+ε → l-ε < bn < l+ε → per definizione di limite → bn → l
COROLLARIO
- |bn| ≤ an, an → 0 → bn → 0
- cn → 0 e cn · bn = 0 → bn è limitata Il prodotto tra un infinitesimo (cn) e una funzione limitata (bn) è zero
dimostrazione
- ∀α>0 α∈ℝ 2n < α ⇒ logaα < n loga2
∀α>0
∀α>0 lim logaαnα1⁄2 - logaα2 α1⁄2 logaα ⋯
loganαn < 2 logaα/α1⁄2 Moltiplico per 1/nα1⁄2
0 < logan/nα < 2 logaα/n◊2 t. destra a 0
Per t. del confronto tende a 0
- logan/nα →0 ; loga2n/(2n)α →0 ; nlogaα/(2n)α →0;
n/bb →0 ; nα/(bh)α →0 Att. Tesi del teorema.
Teorema criterio del rapporto per le successioni
Data {an} an>0
Se lim an+1/an = L lim L≥0 per talità inferm del segno.
Si dimojo che :
- 0≤L<1 ⇒ an→0 (converge)
- L>1 ⇒ An→+∞ (diverge)
- L=1 ⇒ Può accadere qualsiasi cosa
vale la GERARCHIA DEGLI INFINITI
f(x), g(x) →⃥ ⃥ NB: si deve sempre specificare
x → c lim f(x) = ―
x → c g(x)
Vale l'ASINTOTICO: si può usare con prodotto e quoziente, non è altrettanto sicuro con somma e differenza.
Con somma e differenza posso usare l'asintotico a patto che x non si semplifichi (il coefficiente di x deve essere ≠0). Se si annulla il coefficiente, non si può dire nulla, non vale l'asintotico.
es: a) lim ln(1+3x+2x2) + (sin3x)2 + (e3x–1) x → 0
3/1 + 2x - 1
― lim 3x + 2x2 + 9x2 + 3x lim 11x2 + 6x . 6:3 = 97
x → 0
x → 0
vale
asintotico
b) lim ln(1 + 3x + 2x2) + (sin3x)2 + (e3x-1) ~
x→0
1 - cos5x
― lim 8x + 2x2 + 9x2 + 3x = 2225α2x
x→0
2x
— E’ possibile sostituire con gli o piccoli:
lim f(x) = 0 f(x), og(x) per x →―
x→o
f(x) è infinitamente piccolo rispetto a g(×).
O piccolo non esprime una funzione precisa, ma tutte le funzioni per cui vale la relazione precedente.
- con x → 0 sono più importanti le parti di grado minore.
vale l'algebra degli o-piccoli:
- 1) o(αx) + o(αx) = o(αx)
- 2) o(αx) - o(αx) = o(αx)
- 3) o(αx) o(βx) = o(αβx2)
- 4) o(αx) + o(βx2) = o(αx)
- 5) o(αx2) + o(βx) = o(βx)
- 6) o(αx2) + o(βx2) = o((α + β)x2)
- 7) o(αxα) o(βxβ) = o(xα+β)
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