Appunti completi analisi matematica 1 e geometria

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Appunti completi del corso di analisi matematica 1 e geometria per ingegneria biomedica del Politecnico di Milano.Comprendono anche riassunti e schemi di tutti i teoremi principali e della parte …

Esame analisi matematica 1 e geometria

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. Boella Marco Ugo Claudio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2019-2020

91 pagine

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Analisi I e geometria

Ingegneria biomedica a.a. 2019/2020

Prof. M. Boella

Funzioni

Funzione: qualsiasi relazione che collega ad ogni elemento dell'insieme X dominio un solo elemento Y del codominio.

F. iniettiva: elementi distinti hanno immagini distinte x₁ ≠ x₂ ➔ f(x₁) ≠ f(x₂), vale a dire f(x₁) = f(x₂) ➔ x₁ = x₂.

F. suriettiva: per ogni elemento del codominio esiste un elem. del dominio tale che y = f(x). ∀y ∈ Y ∃ x ∈ X | y = f(x).

F. biiettiva (o biunivoca): suriettiva e iniettiva. È invertibile.

F. composta: f: A → R, x ∈ A ➜ f ∘ g ➜ f(x) ∈ B ➜ g: B → R ➜ g(f(x)). I rispettivi codomini con f devono essere compatibili con g.

Grafico di funzione: {(x, y): x ∈ A, y = f(x)} f: A → R, y = f(x) ➔ y = f(x) + k spostamento lungo asse y, y = f(x + h) spostamento lungo asse x se +h > 0 verso sx; se +hx verso dx, y = a f(x) se a > 1 dilatato, se 0 se -1 se a.

y = f(βx) se β > 1 compresso, se 0 se -1 se β.

F. pari: f(x) = f(-x).

F. dispari: f(x) = -f(-x).

y = α^x con α > 0 con α α = k ∈ ℤ. k pari → f. pari → II quad. k dispari → f. dispari → III quad. α = ^m/_n n pari → nessuna riflessione, n dispari → riflessione dispari se m dispari, riflessione pari se m pari. α ∉ ℚ non c'è riflessione → la base deve essere >0, ∀x esiste solo nel semiasse positivo, y = α^x α > 0.

Se α = 1 → retta orizzontale, Se α > 1 y₁. Se 0

cos² α + sin² α = 1, tan α = _{sin α}/^{cos α}. Il seno, coseno e tangente non sono invertibili. Considero come dominio l'intervallo in cui lo è.

Seno e coseno

Seno: arcsin x

Coseno: arccos x

Tangente: arctan x

Formule trigonometriche

Addizione: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Sottrazione: sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Duplicazione: sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos² α - sin² α
Bisezione: sin ^α/₂ = ± √^{1 - cos α}/₂
cos ^α/₂ = ± √^{1 + cos α}/₂

F. parametriche

sin α = ^2t/_{1 + t²}
cos α = ^{1 - t²}/_{1 + t²}
cot α = tan ^α/₂

Grafici particolari

y = [x] → parte intera del numero

y = mant (x) → mantissa di x: le ne meno la sua parte intera. Nel caso di numero negativo viene preso le complementare. Il valore massimo raggiungibile è 1, quello minimo 0. 0 ≤ y < 1.

x² - y² = 1, ch²α - sh²α = 1

f(x): Ch x = (e^x + e^-x) / 2

g(x): Sh x = (e^x - e^-x) / 2

Funzione inversa di Sh x. Set Sh (settore semiiperbolico)

Numeri complessi

i → numero che elevato al quadrato fa -1 (unità immaginaria)

i² = -1 → (0,1)

z = a + ib ↑ ↑ parte parte reale immaginaria (Rez) (Imz)

(a, b &in; R) → forma algebrica

Numeri complessi: Somma e differenza

(a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± d)

Prodotto

(a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i²bd = (ac - bd) + i(ad + bc)

Quoziente

a + ib a + ib

--------- → --------- ------- = ------------

c - id ac + bd + i(bc - ad)

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