Analisi e Geometria 2

Politecnico Di Milano

Analisi e

Geometria 2

Docente:

Boella Marco Ugo Claudio

Anno accademico 2012/13 – Ingegneria Industriale

Boella Marco Ugo Claudio A.A.2012/2013

Analisi e Geometria 2

INDICE GENERALE

CAPITOLO PARAGRAFO PAG.

2

1 1.1 Funzioni in R . 1

2

Funzioni in R e 1.2 Dominio e codominio. 1

insiemi di 1.3 Curve di Livello. 3

definizione 1.4 Insiemi aperti, chiusi, connessi, limitati. 5

2 2.1 Continuità di una funzione f(x,y) 7

Limiti e continuità 2.2 Limiti e Prolungabilità. 9

3 3.1 Derivate parziali, definizione. 12

Derivabilità e 3.2 Derivata direzionale. 13

Differenziabilità 3.3 Differenziabilità. 16

3.4 Gradiente. 17

2

4 4.1 Massimi e minimi in R . 21

Punti stazionari 4.2 Massimi e minimi vincolati ad una frontiera. 27

4.3 Massimi e minimi di una funzione f(x,y), 33

vincolata a una curva g(x,y). Lagrange.

5 5.1 Integrali doppi, definizione. 42

Integrali doppi 5.2 Domini xy semplice. 43

5.3 Simmetrie di domini. 47

5.4 Integrali per sostituzione. 49

6 6.1 Lavoro di un campo vettoriale. 54

Campi vettoriali 6.2 Campi vettoriali conservativi. 56

6.3 Calcolo del potenziale. 58

6.4 Flussi di campi vettoriali. 60

6.5 Calcolo del flusso, vettore normale. 60

6.6 Teoremi sui flussi: divergenza e rotore. 62

6.7 Formula di Gauss-Green per aree e lavori. 66

7 7.1 Prima prova in itinere: 6 Maggio 2013 69

Esami 7.2 Seconda prova in itinere: 1 Luglio 2013 70

7.3 Esame risolto del 15 Luglio 2013 71

INDICE Politecnico Di Milano

Capitolo 1

2

Funzioni in R e insiemi di definizione

2

1.1 Funzioni in R . 1

1.2 Dominio e codominio. 1

1.3 Curve di Livello. 3

1.4 Insiemi aperti, chiusi, connessi, limitati. 5 A.A.2012/2013

Boella Marco Ugo Claudio

Analisi e Geometria 2

1.1 - FUNZIONI IN

La definizione di funzione che viene riportata dall’analisi 1 è: una funzione è una legge che associa

ad un elemento del primo insieme uno ed un solo elemento del secondo insieme. Essa è una

definizione che vale per tutti i tipi di leggi matematiche e in tutti i tipi di piano. Una funzione in

, ().

associa un elemento un elemento tramite

, (, )

Nel piano tutto questo è assolutamente identico. Presa infatti una coppia di numeri reali la

(, ) .

funzione associa questa coppia ad un altro valore La rappresentazione geometrica di

= (),

queste due definizioni è facilmente intuibile. Trovandoci su una retta reale e associando

otteniamo una curva generica, mentre nel caso del piano, sappiamo che ad ogni punto del piano

(, ) = (, )

corrisponde una coordinata ortogonale alle prime due. In quindi, abbiamo la

rappresentazione di superfici.

Esempio 2 2

2

= = +

1.2 - DOMINIO E CODOMINIO. INSIEMI DI DEFINIZIONE

Come in una funzione ha un suo insieme di definizione, ovvero una parte del piano in cui essa

,

compare (Dominio). L’insieme dei punti che fanno parte invece della funzione è detto Codominio.

Non sempre una funzione è definita su tutto il piano e, pertanto, si utilizzano le stesse condizioni

per le funzioni a una sola variabile:

•

= = , : ≠ 0

Funzione fratta: ;

→

• = () = , : > 0 ;

Funzione logaritmo: →

√

• = = , : ≥ 0 ;

Funzioni radicali pari: →

2

Funzioni in R e insiemi di definizione 1

CAPITOLO 1 - A.A.2012/2013

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Esempio 1: √

: (, ) =

≥ 0

Si pone e si ricava che il grafico di è sempre positivo ed è compreso tra il primo ed il terzo

> 0. = 0 (0,0).

quadrante, dove il prodotto E’ compresa l’origine del piano poiché in

Disegnando il dominio abbiamo:

Esempio 2: ()

: (, ) = +−1

Poniamo le condizioni di esistenza:

> 0

+−1≠ 0 → ≠ 1−

= 1 − ,

La funzione è definita in tutti i punti esclusa la retta gli assi e quindi l’origine. Il

grafico è: =1−

2

Funzioni in R e insiemi di definizione 2

CAPITOLO 1 - A.A.2012/2013

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Analisi e Geometria 2

Esempio 3: : (, ) =

−1 1,

L’arcoseno è una funzione definita tra e pertanto poniamo:

−1 ≤ ≤ 1

Ciò si scinde in: 1 1

≤ ≥−

Il grafico è: 1

1 =

=−

1.3 - CURVE DI LIVELLO

Quando apriamo un atlante o una cartina geografica, guardando le varie zone della cartina

troviamo delle linee chiuse che circondano una zona. Quelle linee sulla cartina, esprimono a seconda

della tipologia di cartina, la quota, la temperatura, pressione, ecc. Le funzioni di due variabili,

poiché sono funzioni complesse da disegnare, ci si aiuta con le curve di livello, ovvero curve che

rappresentano una fascia di valori che la funzione assume in una determinata zona.

Detto in maniera più matematica, una curva di livello è:

{(, ) ∈ : (, ) = }

Prendiamo per esempio la funzione: 2 2

+

=

La rappresentazione di questa funzione è un paraboloide. Quale sarà la rappresentazione della

= 4?

curva di livello alla quota

Vista dall’alto la funzione si rappresenta con una circonferenza come vediamo qui di seguito.

2

Funzioni in R e insiemi di definizione 3

CAPITOLO 1 - A.A.2012/2013

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Analisi e Geometria 2 2 2

Seguiamo la definizione di curva di livello: 2 2

+ = 4

La curva di livello alla quota 4 è la circonferenza centrata nell’origine di raggio 2.

In generale, esiste un’intera famiglia di curve di livello per una funzione. Ogni curva di livello è

caratterizzata da un parametro che, a seconda della quota assegnata da delle soluzioni.

(, ) =

Prendiamo ad esempio la funzione dell’esempio. Poniamo dove è un numero reale

2 2

+

ha tutte curve

qualsiasi. Per ogni abbiamo una curva diversa della famiglia. La funzione

di livello del tipo: 2 2

+ = √ .

Ovvero un insieme di circonferenze centrate nell’origine e con raggio

2

Funzioni in R e insiemi di definizione 4

CAPITOLO 1 - A.A.2012/2013

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1.4 - INSIEMI APERTI E CHIUSI, CONNESSI, SEMPLICEMENTE

CONNESSI

Dopo aver parlato di insiemi di definizione, è opportuno soffermarsi brevemente su un concetto che

ci servirà poi in futuro. Iniziamo col dire che il dominio è un insieme di punti del piano. Parlando

di funzioni in una variabile, trovavamo che se la funzione non era definita in un punto, presentava

un punto di discontinuità. Un insieme di definizione in può rappresentare un insieme di punti in

cui la funzione non è definita. In quel caso parliamo di insieme o

non connesso sconnesso.

Sostanzialmente, se abbiamo un insieme generico D “bucato”, abbiamo un sistema non connesso.

D D

connesso non connesso

Un insieme generico D inoltre, può presentarsi aperto o chiuso. Un insieme aperto è una regione di

spazio non delimitata da linee o curva di frontiera . Un insieme chiuso è il complementare dello

insieme aperto. D

D D frontiera di D

aperto chiuso

2

Funzioni in R e insiemi di definizione 5

CAPITOLO 1 - Politecnico Di Milano

Capitolo 2

Limiti e continuità

f(x,y)

2.1 Continuità di una funzione 7

2.2 Limiti e Prolungabilità. 9 A.A.2012/2013

Boella Marco Ugo Claudio

Analisi e Geometria 2

2.1 - CONTINUITA’ DI UNA FUNZIONE

Dall’analisi 1, una funzione continua nel punto è una funzione in cui esistono il limite destro ed

0

il limite sinistro al punto e quel limite corrisponde proprio al valore della funzione in quel punto.

0 () = () = ( )

0

−

→ +

→

0 0

Per le funzioni di più variabili, il metodo per come è stato portato avanti in Analisi 1 non è più

applicabile. Infatti, per definire se una funzione è continua dobbiamo dimostrare l’esistenza di un

unico limite da infinite direzioni. Per far questo utilizziamo le coordinate polari. In questo modo

prendiamo in esame un unico “vettore direzione” che indica il valore della funzione grazie ad un

.

modulo e a una direzione

(())

Prendendo un vettore generico nel piano, volendo verificare la continuità di nel punto

, ),

( dobbiamo far sì che il limite coincida con il valore della funzione in quel punto. Essendo

0 0 () ( , )

però in termini polari, il vettore ha punto di applicazione proprio in e pertanto,

0 0

(())

calcolando il limite, deve tendere a 0. Poiché mantiene un valore costante, ciò che deve

( , )

tendere al punto è proprio il modulo di tale vettore.

0 0 (())

(())

Il limite considerato pertanto sarà della forma: = 0

lim (, ) = { }

∄

→0

Facciamo qualche esempio:

Verificare la continuità della seguente funzione nell’origine:

Esempio 1: 2

(, ) = + 3

2 2

Limiti e continuità 7

CAPITOLO 2 – A.A.2012/2013

Boella Marco Ugo Claudio

Analisi e Geometria 2 = ; = .

Utilizziamo le coordinate polari ponendo: Quindi:

3 2 3 2 2

lim = lim = lim

+ 3 ( + 3 ) ( + 3 )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

→0 →0 →0

→ 0,

Il fattore in funzione di è un valore limitato e al limite uguale a 0, mentre pertanto:

2

lim =0

( + 3 )

2 2

→0

La funzione è quindi continua nell’origine. (, )

Verificare la continuità nel punto non definito di

Esempio 2: 2

= +

2 4

= ; =

Poniamo e calcoliamo il seguente limite.

3 2 2 2

= =

+ + +

2 2 4 4 2 2 4 2 2 4

→0 →0 →0

() 2

La quantità non è una quantità limitata poiché ha al suo interno il termine al

denominatore. Il termine tende a infinito e quindi il limite non esiste, la funzione non è continua

nell’origine. Limiti e continuità 8

CAPITOLO 2 – A.A.2012/2013

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2.2 - LIMITI, FUNZIONI CONTINUE E PROLUNGABILITA’

Data una funzione in una variabile, il calcolo dei limiti ci veniva in aiuto non solo per

comprendere il comportamento di una determinata funzione ma anche per capire se una funzione

in cui la funzione non era definita. Presa la

fosse prolungabile con continuità in un punto 0

funzione esempio:

=

Sappiamo che essa non è definita nell’origine, ma è prolungabile con continuità grazie al limite:

~ = 1

→0 →0

Lo stesso tipo di “giochetto” si può fare per le funzioni in .

Per il calcolo dei limiti in due variabili è sempre opportuno ricondursi al limite di una sola

variabile. Per far questo si utilizzano le coordinate polari che si ottengono ponendo:

= =

e

Nel caso della prolungabilità delle funzioni, il limite non solo deve esistere ma deve essere pari a 0.

Facciamo qualche veloce esempio.

Esempio 1: √| − |

2 2

(, ) = +

2 2

La funzione non è definita nell’origine. E’ possibile però prolungarla con continuità?

Soluzione:

La funzione pur non essendo definita nell’origine potrebbe essere prolungabile con continuità. Come

facciamo a vederlo? Poniamo il limite: √|

( − )|

2 2 2

2

→0

| | =

2 2 , pertanto: √|(

− )|

2 2 √|(

= − )|

2 2 2

2

→0

√|( − )|,

2 2

Il limite tende a una quantità limitata e diversa da 0, pertanto la

funzione NON è prolungabile nell’origine.

Limiti e continuità 9

CAPITOLO 2 – A.A.2012/2013

Boella Marco Ugo Claudio

Analisi e Geometria 2

Esempio 2: 2

− 1

(, ) = + 2

2 2

La funzione non è definita nell’origine. E’ prolungabile con continuità?

Soluzione:

Calcoliamo nuovamente il limite in coordinate polari:

3 2

− 1

( +2 )

( + 2 )

2 2 2

→0

∎ → 0, − 1~∎

∎

Dai limiti notevoli sappiamo che se allora e quindi:

3 2 ( + 2

− 1 ( + 2 ) )

( + ) 3 2 2

lim ~ lim = lim =0

( + 2 ) ( + 2 ) ( + 2 )

2 2 2 2 2 2 2 2

→0 →0 →0 ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

La funzione è prolungabile con continuità nell’origine.

Limiti e continuità 10

CAPITOLO 2 – Politecnico Di Milano

Capitolo 3

Derivabilità e differenziabilità

3.1 Derivate parziali, definizione. 12

3.2 Derivata direzionale. 13

3.3 Differenziabilità. 16

3.4 Gradiente. 17 A.A.2012/2013

Boella Marco Ugo Claudio

Analisi e Geometria 2

3.1 - DERIVATE PARZIALI

(, ),

Una funzione come le funzioni in una sola variabile, possono essere studiate anche in base

alla derivabilità, uno strumento che ci serve per capire come le funzioni variano, dato un certo

incremento in entrata.

Dall’analisi 1, sappiamo che una funzione è derivabile in un punto se è continua in quel punto. Lo

stesso si può dire per le funzioni in anche se bisogna aggiungere qualcosa in più. Una funzione

di due variabili non può essere definita derivabile se esiste la derivata solo rispetto a o solo

. (, )

rispetto a Una funzione è derivabile se esistono entrambe le derivate. Questi tipi di

derivate si chiamano Il concetto di base è derivare la funzione rispetto a due

derivate parziali.

).

variabili separate (in questo caso e

La derivata parziale si rappresenta come segue. Se è la funzione in questione allora diciamo che:

= è

= è

La definizione di derivata, come per le funzioni a una sola variabile, coincide con un limite del

rapporto incrementale. Essendo tuttavia delle derivate parziali, l’incremento vale solo nella

direzione della variabile soggetta a derivazione. Detto in parole povere, si blocca la seconda

coordinata e si lascia variare la prima coordinata.

(, ), ( , )

Data una funzione assegnato un certo incremento , le derivate parziali in sono:

0 0

( + ℎ, ) − ( , )

( , ) = lim 0 0 0 0

ℎ

0 0 ℎ→0 ( , + ℎ) − ( , )

( , ) = lim 0 0 0 0

ℎ

0 0 ℎ→0

Vediamo subito un esempio:

ESEMPIO: 1

(, ) = + + = − = 2 + +

2 2

2

Volendo derivare una variabile, ciò che facciamo è considerare costanti le funzioni dell’altra

variabile.

Graficamente, si considera la linea di funzione lungo l’asse considerato. Ad esempio:

+

= (, ) = 2

Derivabilità e Differenziabilità 12

CAPITOLO 3 – A.A.2012/2013

Boella Marco Ugo Claudio

Analisi e Geometria 2 , () = (, 0),

Calcolare la derivata parziale rispetto a significa considerare il grafico ovvero la

= 2

parabola . , () = (0, ),

Nel caso della deriva