Analisi e Geometria 2

MASSIMI E MINIMI LIBERI

Calcoliamo le derivate prime: = 4 = 0

= 4 = 0

3

L’unico punto in grado di soddisfare le due equazioni scritte è l’origine, appartenente all’insieme D.

Calcoliamo le derivate seconde e l’Hessiano dell’origine:

= 4

= 0

= 12 2

L’Hessiano nell’origine è: [4 0

(0,0) = ] → = 0 ( )

0 0

Possiamo dire però che la funzione ammette un minimo nell’origine, poiché la funzione vale 0 in

(0,0) ed è sempre maggiore di 0 in altri punti.

PUNTI CRITICI VINCOLATI

Dobbiamo ora considerare i punti critici sulla frontiera di D. Per far questo dividiamo il perimetro

del rettangolo in 4 lati e vediamo cosa succede alla funzione vista dalla prospettiva del lato n-

esimo. 2

LATO 1: La funzione sul lato 1 vale:

(2, ) = 2(2) + = 8 +

2 4 4 1

3 4

−1 ≤ ≤ 1.

La coordinata fissa è che vale 2, mentre

(2, )

La funzione è una funzione crescente quando ci

allontaniamo dall’asse e raggiunge i massimi in -1 e 1.

(2,1) = (2, −1) = 9 28

Punti stazionari

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Boella Marco Ugo Claudio

LATO 2: La funzione sul lato 2 invece vale:

(, 1) = 2 + 1

2 = −1

La funzione assume i valori massimi relativi in e

= 2,

in poiché la funzione è crescente, allontanadoci

.

dall’asse

(2,1) = 9; (2, −1) = 3

Lo stesso procedimento vale per il lato 4, simmetrico.

LATO 3: La funzione vale:

(1, ) = 2 + 4 = 0 ,

La funzione ha un minimo in e cresce allontanandosi dall’asse assumendo il valore:

(1; 1) = (1, −1) = 3

Un grafico di tutto ciò che è stato fatto quindi è:

La funzione ha quindi la forma di una tovaglia

sollevata, simile alla figura in basso in figura. 29

Punti stazionari

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Esempio 2: Studiare i massimi e i minimi della funzione:

(, ) =

: {(, ): + ( − 2) ≤ 1}

2 2

Nel dominio

Soluzione:

PUNTI INTERNI A D: Calcoliamo le derivate parziali prime:

1

= =0

= − = 0

2

Notiamo che il gradiente non si annulla mai, quindi non vi sono punti di massimo e minimo liberi

all’interno di D. (0,2)

Il dominio è una circonferenza centrata in di raggio 1.

PUNTI CRITICI SULLA CIRCONFERENZA:

Per trovare i punti sulla circonferenza dobbiamo

parametrizzare la funzione e poggiarla sulla

circonferenza stessa. Poniamo:

=

= 2 +

∈ [0,2]

Con

La funzione quindi è:

() = 2 + ′()

Dobbiamo quindi trovare massimi e minimi di questa funzione. è:

−(2 + ) − −2 − − 2 + 1

2 2

() = = =− =0

′ (2 + ) (2 + ) (2 + )

2 2 2

Il denominatore non si annulla mai, il numeratore invece: 7

⎧ ⎫

=

{ }

1 6

= 0 ⇔ − 2 = 1 → = (− ) =

′ ⎨ ⎬

11

2 { }

=

⎩ ⎭

6 30

Punti stazionari

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() > 0

′

Analizziamo il segno della derivata prima.

() > 0 → > (− )

12

′ 11

7 7 11 = → =0

=0 → = = → = 6

6 6 6

() < 0 () > 0 () < 0

′ ′ ′

.

76 11

La funzione ha quindi un minimo in e un massimo in Riportandolo in coordinate cartesiane

6

abbiamo che: √

7 3

= ( ) = −

6 2

7 1 3

= 2 + ( ) = 2 − =

6 2 2

√

11 3

= ( ) =

6 2

11 1 3

= 2 + ( ) = 2 − =

6 2 2

Il grafico della funzione in quei punti è quindi: 31

Punti stazionari

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Esempio 3: Calcolare i massimi e i minimi assoluti e relativi della funzione

√

(, ) = + 3

2 2

Soluzione:

In questo caso, il dominio è tutto e non si hanno problemi di definizioni. La funzione inoltre è

continua in tutto il piano. Proviamo a calcolare le derivate parziali:

= =0

√ + 3

2 2

3

= =0

√ + 3

2 2

Il gradiente come vediamo si potrebbe annullare nell’origine se le derivate fossero definite. La

funzione non è differenziabile nell’origine e pertanto non presenta punti stazionari da questo punto

di vista. Tuttavia, notiamo che la funzione è sempre positiva, non solo per la radice quadrata, ma

anche per il radicando che contiene somma di quadrati.

E’ inoltre palese che la funzione nell’origine è definita e vale proprio 0. Per cui, possiamo

concludere che nell’origine vi è un minimo assoluto e che quel minimo, rappresenta la punta di un

cono. 32

Punti stazionari

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4.3 - MASSIMI E MINIMI VINCOLATI

Abbiamo visto tutti i tipi di massimi e minimo di una funzione di due variabili. Ci manca l’ultimo

(, )

tassello per concludere il capitolo. Supponiamo di avere una funzione in figura e prendiamo

(, ). (, ) = 0

un’altra funzione Ponendo ciò che otteniamo è una delle curve di livello della

(, ).

funzione (, ) = 0

Idealmente, possiamo immaginare la funzione come un rilievo montuoso, mentre è la

strada che si trova su questo rilievo proiettata sul piano .

(, ) = 0

(, ) (, ) = 0

Lo scopo di tutto ciò è calcolare i massimi e i minimi della funzione proiettata sulla

= (, ).

superficie di equazione C’è da dire che questo tipo di ricerca di punti stazionari non ha

(, ).

nulla a che vedere con i punti stazionari della funzione

(, )

L’idea è questa: la curva attraversa la funzione le cui curve di livello sono rappresentate

in figura. La funzione è visibile dall’alto.

La curva attraversa le linee di livello della funzione in alcuni punti mentre in altri punti sia le

curve di livello che la funzione sono tangenti. Una funzione non potrà mai avere punti

33

Punti stazionari

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stazionari in un punto di intersezione con una linea di livello. Infatti intersecando la linea di livello

la funzione cresce o decresce e pertanto la retta/piano tangente non è orizzontale. L’unico punto in

cui ci può essere qualche punto stazionario è un punto in cui la linea si trova alla stessa quota e

quindi, si trova tangente alla curva di livello.

La condizione di tangenza, si ha grazie al gradiente di entrambe le funzioni. I gradienti infatti

devono essere paralleli. //

Essendo vettori, i gradienti, per essere paralleli, devono essere proporzionali. Per cui possiamo

scrivere: =

Le condizioni di tangenza sono pertanto: =

{ }

(, ) = 0

FUNZIONE LAGRANGIANA ℒ(, , ),

Per applicare le condizioni di tangenza si definisce una nuova funzione detta funzione

Lagrangiana. Questa funzione serve per l’applicazione dei metodi dei moltiplicatori di Lagrange. La

ℒ

funzione si ottiene ponendo: ℒ(, , ) = (, ) + (, )

Annullare il gradiente della lagrangiana, significa porre le condizioni nel sistema sopra elencate,

ovvero: ℒ = + = 0

⎧ ⎫

{ }

ℒ = + = 0

⎨ ⎬

{ }

ℒ = (, ) = 0

⎩ ⎭

Con questo sistema si possono calcolare i punti candidati ad essere massimi o minimi. Il passo

successivo è comprendere come questa verifica possa avvenire. Possiamo utilizzare diversi metodi;

dal calcolo della funzione nell’intorno del punto candidato al calcolo dell’Hessiano, il quale non è

.

vincolato al calcolo solo per massimi e minimi della funzione Infatti, determinato il punto

,

stazionario della curva è sufficiente che la funzione sia tutta al di sotto o al di sopra del punto

in questione.

Passiamo al presentare alcuni esempi pratici che possono chiarire le idee:

Calcolare i massimi e minimi relativi e assoluti della funzione:

Esempio 1: +

(, ) = 2 2 34

Punti stazionari

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Lungo la linea: (, ) = + − 4 + 3 = 0

2 2

Soluzione:

Applichiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e scriviamo la funzione lagrangiana:

ℒ(, , ) = + + ( + − 4 + 3)

2 2 2 2

Effettuiamo tutte le derivate prime parziali:

ℒ = 2 + (2 − 4) = 0

⎧ ⎫

{ }

ℒ = 2 + 2 = 0

⎨ ⎬

{ }

= + − 4 + 3 = 0⎭

ℒ

⎩ 2 2

2

Dobbiamo trovare tutte incognite in modo da trovare i punti candidati. Raccogliamo dalla

seconda equazione: ℒ = 2 + (2 − 4) = 0

⎧ ⎫

{ }

= −1

ℒ = 2(1 + ) = 0 → { }

⎨ ⎬

=0

{ }

= + − 4 + 3 = 0

ℒ

⎩ ⎭

2 2

= −1

La soluzione non è considerabile, dato che il sistema non avrebbe soluzione. Sostituiamo

= 0

invece nella terza equazione: ℒ = 2 +