Appunti di Algebra lineare e geometria

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Appunti di Algebra lineare e geometria

Appunti di Algebra lineare e geometria sudipendenza e indipendenza lineare

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria ii

Dal corso del Prof. G. Viterbo

Università Politecnico di Bari

Appunti esame

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Questo documento presenta appunti di teoria ed esempi di Algebra lineare e geometria per il primo anno di ingegneria. Argomenti: dipendenza e indipendenza lineare in spazio n-dimensionale, sottospazi generati ed esempi.

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Appunti di Algebra lineare e geometria sul prodotto scalare

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria ii

Dal corso del Prof. G. Viterbo

Università Politecnico di Bari

Appunti esame

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Questo documento presenta appunti di teoria ed esempi di Algebra lineare e geometria per il primo anno di ingegneria. Argomenti: vettori, rette, prodotto scalare e proprietà, lo spazio, la norma di un vettore, la distanza tra punti.

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Appunti Algebra lineare e geometria

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria ii

Dal corso del Prof. G. Viterbo

Università Politecnico di Bari

Appunti esame

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Questo documento presenta appunti di lezioni ed esercizi di Algebra lineare e geometria per il primo anno di ingegneria. Esercizi su: eliminazione di Gauss, teorema di Rouchè-Capelli, rango matrice, compatibilità sistemi ed esempi.

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Geometria analitica

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. La Barbiera

Università Università degli Studi di Catania

Appunti esame

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Appunti relativi alla parte di geometri analitica per l'esame di Algebra lineare e geometria, utili per comprendere al meglio la parte di geometria dello spazio. Sono presenti concetti relativi alle rette ed ai cambiamenti di coordinate nel piano.

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Algebra lineare e geometria

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria iv

Dal corso del Prof. L. Gatto

Università Politecnico di Torino

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria su: prodotto vettoriale, prodotto misto, equazioni parametriche rette, determinare che dati tre vettori si può associare un numero reale (determinante), degenere, antisimmetricità, regola pratica per determinare un prodotto vettoriale.

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Algebra lineare e geometria

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria iv

Dal corso del Prof. L. Gatto

Università Politecnico di Torino

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria su: geometria analitica in dimensione n>=3, esempi di quiz, definizione di due vettori con la medesima direzione, equazioni parametriche della retta passante per po, determinare equazioni parametriche per la retta affine passante per po ortogonale a due vettori.

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Algebra lineare e geometria

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria iv

Dal corso del Prof. L. Gatto

Università Politecnico di Torino

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria su: volume parallelepipedo, proprietà anticommutativa, provare che un vettore sia collineare, esercizi combinazioni lineari, area e perimetro delta, trovare angolo tra due vettori, vettori ortogonali, prodotto scalare.

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Algebra lineare e geometria

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria iv

Dal corso del Prof. L. Gatto

Università Politecnico di Torino

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria su: esempi e definizione di norma, disuguaglianza di Minkosky e Schwarz, determinante, vettori complanari, risolvere un sistema, forma bilineare, area triangolo, definizione area parallelogramma, determinanti di coppie di vettori.

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Algebra lineare e geometria

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria iv

Dal corso del Prof. C. Visentin

Università Politecnico di Torino

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria su: vettori geometrici, sistemi di coordinate, prime definizioni sui vettori, prodotto scalare e prodotto vettoriale. Esempi e definizioni della prima settimana di lezione, approccio allo spazio vettoriale.

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Indicazione studio di funzione

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. P. Bonacini

Università Università degli Studi di Catania

Schemi e mappe concettuali

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Contenuto utile per poter imparare a svolgere lo studio di funzione( ellise, iperbole e parabola) in geometria sfruttando alcune nozioni svolte durante il corso. Utili indicazioni per poter svolgere l'esame.

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Teoremi di Algebra lineare e geometria

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria ii

Dal corso del Prof. V. Giordano

Università Politecnico di Bari

Schemi e mappe concettuali

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Questa raccolta comprende i principali teoremi di Algebra lineare e geometria, con definizioni chiare, enunciati formali, dimostrazioni essenziali e proprietà fondamentali. Utile per studenti universitari.

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Algebra lineare e geometria - Geometria dello spazio

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Geometria analitica nello spazio tridimensionale ℝ³, con un equilibrio tra teoria ed esercizi applicativi. Si introducono i riferimenti cartesiani nello spazio, la rappresentazione dei punti e dei vettori in tre dimensioni, e le formule fondamentali per il calcolo di distanze tra punti, rette, piani e sfere. Ampio spazio è dedicato allo studio delle rette e dei piani: vengono fornite sia le rappresentazioni cartesiane che parametriche, con metodi per il passaggio da una forma all’altra. È trattato il prodotto vettoriale tra vettori, con le sue principali proprietà geometriche e applicazioni (come la verifica di ortogonalità e la costruzione di piani). Il testo affronta inoltre la definizione e rappresentazione delle sfere, fornendo formule e strategie per riconoscerne equazioni e relazioni geometriche con altri oggetti. Completano il documento una serie di esercizi svolti e osservazioni pratiche, utili per applicare in modo guidato i concetti teorici.

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Algebra lineare e Geometria - Spazi e Sottospazi vettoriali

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Il documento si configura come un insieme organico di appunti di algebra lineare, incentrato sullo studio di spazi vettoriali e sottospazi, con un’impostazione teorico-pratica. Si parte dalla definizione formale di spazio vettoriale su un campo, elencando e discutendo le proprietà fondamentali (chiusura, associatività, esistenza del neutro, elementi opposti, compatibilità tra somma e prodotto scalare). Viene approfondito il concetto di sottospazio vettoriale, evidenziando criteri di verifica (chiusura rispetto a somma e moltiplicazione per scalare) e la costruzione tramite combinazioni lineari. Seguono i concetti di dipendenza e indipendenza lineare, base e dimensione di uno spazio vettoriale, con applicazioni alla determinazione di basi di insiemi di vettori. Una sezione è dedicata alle applicazioni lineari, definite come funzioni che preservano somma e prodotto per scalare. Si analizzano nucleo e immagine, condizioni per l’isomorfismo tra spazi vettoriali e il legame tra iniettività, surgettività e dimensione. La formula di Grassmann viene presentata come strumento per calcolare la dimensione della somma di due sottospazi, introducendo anche il concetto di sottospazi supplementari. Infine, il documento illustra la rappresentazione cartesiana e parametrica dei sottospazi e propone esercizi svolti per rafforzare la comprensione dei concetti teorici.

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Algebra lineare e geometria - Applicazioni lineari

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Si parte dalla definizione di applicazione lineare tra spazi vettoriali, specificandone le proprietà fondamentali: additività e omogeneità. Vengono introdotti strumenti fondamentali come la matrice associata a un’applicazione rispetto a basi fissate, e viene mostrato come essa agisca sulle coordinate mediante moltiplicazione. Il nucleo e l’immagine dell’applicazione vengono analizzati sia dal punto di vista teorico che computazionale, con particolare attenzione al teorema fondamentale della dimensione (somma di dimensioni di nucleo e immagine). Si discutono inoltre isomorfismi, criteri di iniettività e suriettività, e la costruzione dell’applicazione inversa nei casi applicabili. Una parte significativa è dedicata al tema della diagonalizzazione: vengono definiti autovalori, autovettori, autospazi e analizzati i criteri per la diagonalizzabilità di un’applicazione (o matrice), con esempi espliciti di calcolo della forma diagonale e della base di autovettori. Il testo è corredato da numerosi esercizi svolti e osservazioni operative.

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Algebra lineare e geometria - Sistemi lineari

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Introduzione ai sistemi lineari, definiti come insiemi di equazioni lineari in più incognite, rappresentabili nella forma matriciale compatta AX = B, dove A è la matrice dei coefficienti, X il vettore delle incognite e B il vettore dei termini noti. Si discutono le condizioni di esistenza e unicità delle soluzioni: un sistema quadrato ha un’unica soluzione se il determinante di A è diverso da zero (teorema di Cramer), mentre per sistemi con determinante nullo si applica il teorema di Rouché-Capelli, che confronta il rango della matrice dei coefficienti con quello della matrice completa. Viene approfondita la distinzione tra sistemi omogenei e non omogenei, con particolare attenzione alle soluzioni banali e non banali. Il testo propone diversi esempi di risoluzione tramite calcolo diretto del determinante e uso del metodo di Gauss, sia per la risoluzione che per la determinazione del rango. Si introduce la nozione di matrice a scalini, utile per individuare i pivot e quindi il rango del sistema. L’approccio è progressivamente applicativo, con esercizi e casi particolari che mostrano le varie tipologie di soluzioni: nessuna, una o infinite.

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Algebra lineare e geometria - Prodotto scalare

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Introduzione del prodotto scalare canonico tra vettori in ℝⁿ, definendone formalmente la formula e mostrando come determinarlo con esempi numerici. Si stabilisce il concetto di ortogonalità (due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero) e si presentano le proprietà del prodotto scalare: bilinearità, simmetria e definizione positiva. Si definisce la norma (o modulo) di un vettore e si enunciano disuguaglianze fondamentali come quella di Cauchy-Schwarz. Segue una trattazione delle basi ortogonali e ortonormali, del procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortonormale da una qualsiasi base di uno spazio vettoriale, e del complemento ortogonale di un sottospazio. Il documento affronta anche il concetto di proiezione ortogonale, di matrici ortogonali, e presenta il teorema spettrale per endomorfismi simmetrici: ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile tramite una base ortonormale di autovettori. Infine, sono proposti esercizi su scomposizioni ortogonali, cambi di base ortogonali e costruzione di applicazioni lineari con determinate proprietà.

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Algebra lineare e geometria - Geometria del piano

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Trattazione sistematica della geometria analitica nel piano cartesiano. Si parte dalla definizione di riferimento cartesiano e dalle coordinate dei punti e dei vettori, introducendo la rappresentazione dei punti mediante vettori posizione. Si approfondiscono le rette nel piano, presentandone le equazioni sia parametriche che cartesiane, incluse le condizioni per il parallelismo e la perpendicolarità tra rette. Viene inoltre analizzata la distanza tra due punti, tra un punto e una retta e tra due rette parallele, con relative formule esplicite. Successivamente si introduce lo studio delle circonferenze, definendole sia per centro e raggio, sia tramite l’equazione cartesiana generale. Si esamina anche come determinare l’equazione della circonferenza passante per tre punti non allineati. Gli esercizi guidano lo studente nella costruzione delle equazioni parametriche e cartesiane di rette e circonferenze, nel calcolo di distanze e nel riconoscimento di figure geometriche nel piano.

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Algebra lineare e Geometria - Sistemi lineari

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

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Algebra lineare e geometria - Matrici

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Bolognini

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti di Algebra lineare e geometria. Introduzione al concetto di matrice. Spiegazione delle principali operazioni tra matrici: somma, prodotto, moltiplicazione per scalare, trasposizione. Vengono trattate le proprietà fondamentali (associativa, distributiva, commutativa), e si distinguono matrici particolari come simmetriche, antisimmetriche, triangolari, diagonali e matrici nulle. Si definisce poi la matrice inversa, la matrice identità, e si introduce il determinante, con metodi di calcolo (tra cui il metodo di Sarrus e Laplace). Si parla anche di matrici invertibili, nilpotenti, idempotenti e del rango, spiegando quando una matrice è invertibile (det ≠ 0). Infine si approfondiscono i concetti di combinazione lineare, indipendenza lineare tra righe o colonne, e il legame tra rango e numero massimo di vettori linearmente indipendenti.

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Appunti di Geometria e algebra lineare fino ad endomorfismi

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. G. Sarfatti

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Appunti esame

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Appunti riassuntivi completi ed esaustivi per la preparazione dell'esame teorico e per la teoria necessaria all'esame scritto di Algebra lineare e geometria. Contengono questi argomenti: matrici, determinante e rango, sistemi lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, prodotti scalari, endomorfismi.

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