Appunti Algebra lineare e geometria

Vettori

Definizione di vettore

Un vettore (tipicamente indicato come ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) è un segmento orientato⃗ = = − identificato da un modulo, da una direzione e da un verso.

Il vettore si dice applicato se è dotato di punto d’applicazione (solitamente immaginato nell’origine) e la corrispondenza vettori-punti non è canonica, ma dipende dalla scelta di un’origine.

Operazioni con vettori e norma

Dati due vettori ⃗, ⃗⃗⃗ ∈, la loro somma e la loro differenza sono vettori dati da:

⃗ + ⃗⃗⃗ = ( +, +, …, + )1 1 2 2

(−⃗ − ⃗⃗⃗ = ⃗ + ⃗⃗⃗)

Dato lo scalare ∈ e il vettore ⃗ ∈, il loro prodotto è un vettore identificato come:

⋅ ⃗ = (, , …, )1 2

Il vettore ⃗ avrà lo stesso verso di se > 0, altrimenti verso opposto se < 0.

Dato un vettore ⃗ ∈, la norma o lunghezza è definita come:

‖⃗‖ √= + + ⋯ + 12 22 2

Versore

Un versore è un vettore di norma unitaria (uguale a 1). I versori basilari per gli assi ̂ sono rispettivamente ., , ̂, ̂,

Per normalizzare un vettore e ottenere un versore si esegue la seguente operazione:

⃗ è sempre un versore ∀⃗‖⃗‖

Prodotto scalare e angolo tra due vettori

Dati due vettori ⃗, ⃗⃗⃗ ∈, il loro prodotto scalare genera un numero ed è definito come:

⃗ ⋅ ⃗⃗⃗ = + + ⋯ + 1 1 2 2

‖⃗‖‖⃗ ⋅ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗‖ cos

Il prodotto scalare è commutativo e se ⃗ ⋅ ⃗⃗⃗ = 0 allora i due vettori sono ortogonali tra loro o uno coincide con il vettore nullo.

L’angolo compreso fra i vettori ⃗ ⃗⃗⃗ è definito come:

cos = ⋅‖⃗‖ ‖⃗⃗⃗‖

• ⃗ ⋅ ⃗⃗⃗ > 0 ⇒ cos > 0 ⇒ θ acuto
• ⃗ ⋅ ⃗⃗⃗ = 0 ⇒ cos = 0 ⇒ θ retto
• ⃗ ⋅ ⃗⃗⃗ < 0 ⇒ cos < 0 ⇒ θ ottuso

Proiezione di un vettore

La proiezione di un certo vettore ⃗ lungo la direzione di un altro vettore ⃗⃗⃗ è a sua volta un vettore individuato come:

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (⃗ ⋅ )‖ ‖⃗⃗⃗‖ ⃗⃗⃗‖

Base di

Una base di ⃗ ∈ è un insieme ordinato di n vettori {⃗ } , ⃗ , … , ⃗1 2 tale che ogni vettore si esprime univocamente come combinazione lineare dei vettori della base moltiplicati per degli scalari detti componenti del vettore nella base scelta:

⃗ = ⃗ + ⃗ + ⋯ + ⃗1 1 2 2

Una base è un sistema linearmente indipendente di generatori per, ossia ogni vettore della base non è combinazione lineare dei vettori rimanenti. I vettori della base non devono, quindi, essere linearmente dipendenti, ossia non deve esistere una combinazione lineare a coefficienti non nulli che dia come risultato il vettore nullo.

Una base si dice ortonormale se è costituita da vettori unitari a due a due ortogonali; in generale si possono definire le basi canoniche, come quella di 3:

{(1, (0, (0,0, 0), 1, 0), 0, 1)} ⇒ ⃗ = ̂ + ̂ + ̂

Prodotto vettoriale 3D

Dati due vettori ⃗⃗ = (, (, ⃗ = , ) di 3, il loro prodotto vettoriale genera un vettore definito come:

̂̂ ̂⃗⃗ × ⃗ = det ( )

Il prodotto vettoriale non è commutativo (⃗⃗ × ⃗ = −⃗ × ⃗⃗) e se ⃗⃗ × ⃗ = 0 allora i vettori sono paralleli o uno coincide con il vettore nullo.

Il vettore che si ottiene dal prodotto vettoriale ha direzione ortogonale al piano individuato dai due vettori partenza, verso stabilito dalla regola della mano destra e modulo pari a:

‖⃗⃗ × ⃗‖ = ⃗⃗‖‖⃗‖ sin

I tre vettori formano una terna destrorsa e il modulo del prodotto vettoriale geometricamente indica l’area del parallelogramma individuato da ⃗⃗ ⃗, che, se divisa per due, è uguale all’area del triangolo individuato dai due vettori.

Prodotto misto 3D

Siano ⃗⃗, ⃗, ⃗⃗⃗ ∈, il prodotto misto genera uno scalare ed è definito come:

(⃗⃗ × ⃗) ∙ ⃗⃗⃗ = ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3

Il modulo ‖(⃗⃗ × ⃗) ⋅ ⃗⃗⃗‖ geometricamente indica il volume del parallelepipedo individuato dai tre vettori.

Se (⃗⃗ × ⃗) ⋅ ⃗⃗⃗ = 0 allora i vettori sono complanari e non possono formare una base di 3.

Dati 4 punti non complanari di 3, essi sono i vertici di un tetraedro il cui volume è di 1 quello del parallelepipedo 6 individuato dai vettori ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ., ,

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V definito su un campo K (come i numeri reali R) è un insieme di vettori non vuoto su cui sono definite le operazioni di addizione vettoriale e moltiplicazione per uno scalare.

Dati due vettori ⃗, ⃗⃗⃗ ∈ e uno scalare ∈:

⃗ + ⃗⃗⃗ ∈

⋅ ⃗ ∈

Tali operazioni devono rispettare delle proprietà algebriche:

• Proprietà associativa: (⃗⃗ + ⃗) + ⃗⃗⃗ = ⃗⃗ + ( + ⃗⃗⃗)
• Proprietà associativa: (⋅ ) ⋅ ⃗ = ⋅ (⋅ ⃗)
• Proprietà commutativa: ⃗⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗⃗
• Proprietà distributiva: ( + ) ⋅ ⃗ = ⋅ ⃗ + ⋅ ⃗
• Proprietà distributiva: (⋅ ⃗⃗ + ⃗) = ⋅ ⃗⃗ + ⋅ ⃗⃗⃗ ⃗⃗
• Esistenza dell'elemento neutro: ∃0 ∈ | 0 + ⃗ = ⃗⃗⃗ ⃗⃗
• Esistenza dell'elemento neutro: ∃1 ∈ | 1 ⋅ ⃗ = ⃗ ⃗⃗
• Esistenza dell'elemento opposto (−⃗): ∃ − ⃗ ∈ | + ⃗ = 0

Sottospazi vettoriali di

Un sottoinsieme V di si dice sottospazio vettoriale se, per definizione, dati due vettori ⃗⃗, ⃗ ∈ e uno scalare ∈:

⃗⃗ + ⃗ ∈

⃗⃗ ∈

Un sottospazio vettoriale contiene sempre il vettore nullo. Gli unici sottospazi vettoriali di 2 sono {0}, e tutte le rette passanti per l’origine; gli unici sottospazi vettoriali di 3 sono {0}, le rette passanti per l’origine e i piani passanti per l’origine.

Il sottospazio dato da tutte le combinazioni lineari di un sistema di vettori {⃗ } }, ⃗ , … , ⃗ ∈ è detto Span{⃗ , … , ⃗ 1 2 1 che }.

Span{base di =

Base di un sottospazio vettoriale V di

Una base {⃗ } =, …, ⃗ 1 è una base del sottospazio vettoriale V di se è un sistema di vettori linearmente indipendenti la cui combinazione lineare genera ogni vettore di V (Span{⃗, …, ⃗ = ).1

Ogni base di un sottospazio vettoriale V è formata sempre da uno stesso numero di vettori; quindi, la dimensione di un sottospazio V di è il numero degli elementi di una qualsiasi base di V.

Un sistema di vettori è formato da vettori linearmente indipendenti se e solo se il vettore nullo è esprimibile solamente con la combinazione lineare nulla.

Matrici

Definizione di matrice

Una matrice è una tabella ordinata di numeri con m righe e n colonne:

⋯ 1 1 1 1 2 ⋯ 2 2 1 2 2

( ) ⋮ ⋮ ⋮⋱ ⋯ 1 2

Ogni elemento è definito come l’entrata della matrice alla i-esima riga e j-esima colonna.

Se allora si parla di matrice quadrata e se la matrice è = = = 1 sostanzialmente un numero. Se = 1 si parla di matrice (vettore) riga, se = 1 si parla di matrice (vettore) colonna.

Addizione tra matrici

L’addizione tra matrici, possibile solo fra matrici di stessa dimensione, si fa entrata per entrata, sommando fra loro gli elementi nella stessa posizione; date due matrici, , , e , la loro somma è una matrice sempre appartenente a:

∈ ∈ + + 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2

+ = ( ) ( ) ( ) + + 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2

Moltiplicazione per uno scalare

Moltiplicare una matrice per uno scalare ∈ significa ottenere una matrice appartenente a ∈, dove ogni elemento è moltiplicato per lo scalare stesso:

1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3

= ( ) ( ) 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3

Spazio vettoriale di una matrice

L’insieme delle matrici, aventi m righe e n colonne, su cui sono definite le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare formano uno spazio vettoriale. ,

Base canonica dello spazio

La base canonica dello spazio di matrici è un sistema di generatori linearmente indipendenti di dimensione del tipo:

× 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0

0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0, , , … {( ) ( ) ( )}

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 12,2

Definita la base canonica dello spazio di matrici, ogni suo elemento può essere scritto come combinazione lineare:

1 0 0 1 0 0 0 0 = ( )+( )+( )+(( ) ) 0 0 0 0 1 0 0 1

Matrice trasposta

Sia , la matrice trasposta è la matrice ottenuta da A scambiando ∈ righe e colonne:

1 1 2 1 1 1 1 2 1 3

2,3 3,2 = ∈ ⇒ = ( ) ∈ ( )

1 2 2 2 2 1 2 2 2 3

1 3 2 3

Se = si dice che la matrice è simmetrica.

Moltiplicazione tra matrici

La moltiplicazione tra matrici è possibile solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda; date e , il loro ∈ ∈, prodotto riga-colonna è definito come:

∙ ∈ − ⃗ −1 | || |− ⃗ −2 = = ⃗ ⃗

⋮ ⃗( ) ( )1 2

− ⋮ − | || |− ⃗ − ⃗ ⋅ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗ ⋯ ⃗ ⋅ ⃗1 1 1 2 1

⃗ ⋅ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗ ⋯ ⃗ ⋅ ⃗2 1 2 2 2

⇒⋅ = ( ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⃗ ⋅ ⃗⃗ ⋅ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗ 1 2

Il prodotto tra matrici non è, generalmente, commutativo.

Matrici particolari

La matrice nulla è una matrice con le entrate tutte uguali a zero:

0 0 ⋯ 0

0 0 ⋯ 0 = ( )

⋱ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ 0 0 0

Ogni matrice sommata a quella nulla dà la matrice stessa.

La matrice identica è una matrice quadrata avente 1 sulla diagonale principale e 0 altrove; viene denotata con :, ,

1 0 ⋯ 0

0 1 ⋯ 0 = ( )

⋱ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ 0 0 1

Ogni matrice moltiplicata per la matrice identica dà come risultato se stessa.

Una matrice triangolare è una matrice che presenta solo zeri al di sopra o al di sotto della diagonale principale; la matrice può essere triangolare inferiore o superiore:

⋯ ⋆⋆ ⋆⋆ 0 ⋯ 0

⋯ ⋆ 0 ⋆⋆ ⋆ ⋯ 0 = = ( ) ( )

⋱ ⋮ ⋮ ⋮⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯

0 0 ⋆⋯⋆ ⋆ ⋆

Una matrice diagonale ha tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale nulli:

⋆ 0 ⋯ 0

0 ⋆ ⋯ 0 = ( )

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 ⋯ ⋆

Proprietà delle matrici

• + =+
• ( + ) = +
• ( ∙ ∙ ) = ( ∙ ) ∙
• ( ∙ ) = ∙
• ∙ ≠ ∙ (in generale)
• = ∙ = 0 ⇏ = 0 (in generale)

Determinante

Il determinante di una matrice (indicato come || oppure det(A)) ha senso solo per le matrici quadrate; se la matrice è 2 × 2:

1 1 1 2

| | = − 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2

Per le matrici di dimensioni maggiori si utilizza lo sviluppo di Laplace a partire da qualsiasi riga o colonna e ricordando che, se la somma degli indici della posizione è pari, il segno sarà positivo, se è dispari il segno sarà negativo:

1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2

det ( ) = | | − | | + | |

2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3

3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2 3 1 3 2 3 3

Proprietà del determinante

• Se una riga/colonna dipende linearmente dalle altre, allora det() = 0
• Se si moltiplica una riga/colonna per un numero reale c, allora anche il determinante è moltiplicato per c
• Scambiando due righe/colonne il determinante cambia di segno
• )det() = det(
• Teorema di Binet ⇒ det( ⋅ ) = det() ⋅ det()

Matrice inversa

Data una matrice , con ∈ det() ≠ 0, si definisce matrice inversa la matrice −1 tale che: ∈

∙ = ∙ =

Una matrice A con det() = 0 è detta degenere.

Per calcolare l’inversa di una matrice A si possono seguire i seguenti passi:

1. Calcolare il determinante di A
   • Se det() = 0 allora A non è invertibile
   • Se det() ≠ 0 allora A è invertibile
2. Costruire la matrice dei cofattori, dove ogni entrata ̃ è definita come:

   ̃ +(−1)= ⋅ det((, ))−1,−1

   Dove (, ) ∈ è la matrice ottenuta da A togliendo l’i-esima riga e la j-esima colonna.

3. Trovare la trasposta della matrice dei cofattori ̃

L’inversa è definita come:

1 ̃−1 = ∙det ()

Proprietà della matrice inversa

• Se la matrice inversa esiste, allora è unica
• −1 −1 ( ) = ( )−1 −1 −1
• ( ∙ ) = ∙

Rango di una matrice

Si definisce rango di un insieme di vettori {⃗ }, …, ⃗1 la dimensione del sottospazio generato da tali vettori. Per calcolare tale dimensione } }Span{⃗ , …, ⃗ = ℒ{⃗ , …, ⃗1 1 si devono trovare vettori più semplici che generano lo stesso spazio, ricordando che il vettore nullo non dà contributo alla dimensione.

Data una matrice, si ∈ definisce rango di A il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti:

} }rango() = dimL{⃗ , …, ⃗ = dimL{⃗ , …, ⃗1 1

Quindi si può dire che se sirk() = rango() ≤ min{, }; rk() = min{, } dice che la matrice ha rango massimo.

L’unica matrice con rango = 0 è la matrice nulla.

Proprietà di {⃗ }⃗ℒ , …,1

• Moltiplicando un vettore di {⃗ }, …, ⃗1 per uno scalare non nullo allora lo spazio generato non cambia
• Aggiungendo ad un vettore il multiplo di un altro allora lo spazio generato non cambia
• Scambiando due vettori in {⃗ }, …, ⃗1 lo spazio generato non cambia

Usando queste tre proprietà si possono ottenere sistemi di vettori più semplici. Lo