Appunti di Geometria lineare

Appunti di teoria con vari esercizi svolti in classe. Argomenti: spazi e sottospazi vettoriali, base, rango, applicazioni lineari, matrici, calcolo matriciale, matrici diagonalizzabili, diagonalizzabilità, matrici inverse, completamento della base, piani, rette, risoluzione sistemi lineari, autovalori e autovettori, numeri complessi.

Esercizi svolti e spiegati con ragionamenti e varie tipologie di risoluzione. Argomenti: spazi e sottospazi vettoriali, base, rango, applicazioni lineari, matrici, calcolo matriciale, matrici diagonalizzabili, diagonalizzabilità, matrici inverse, completamento della base, piani, rette, risoluzione sistemi lineari, autovalori e autovettori, numeri complessi.

Appunti del corso di Geometria e algebra lineare, dell'anno accademico 2020/21 tenuto dal professore Fabio Podestà all'Università di Firenze per il corso in Ingegneria Elettronica. Settore disciplinare MAT/03, 6CFU. Appunti utilizzati per superare l'esame con votazione finale di 30L/30L.

Appunti corso di Geometria e Algebra Lineare per Ingegneria dell'Informazione e Informatica. Insiemi, gruppi e campi. Vettori e matrici. Operazioni sulle matrici. Vettori geometrici. Rette e piani: equazioni vettoriali, parametriche e cartesiane. Spazi vettoriali: sottospazi, dipendenza lineare, generatori. Matrici e sistemi di equazioni lineari: struttura delle soluzioni di un sistema lineare, sistemi equivalenti, operazioni elementari, metodo di Gauss per la riduzione a scalini. Determinante e rango: proprietà del determinante, sistemi lineari e determinanti, rango di una matrice. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale: proprietà delle basi di uno spazio di n-uple, dimensione di uno spazio vettoriale. Funzioni lineari: nucleo e immagine, teorema della nullità più rango e sue applicazioni, matrici associate, teorema di Rouchè-Capelli, matrici simili. Autovalori e autovettori: definizioni ed esempi, polinomio caratteristico, diagonalizzabilità. Prodotto scalare: proiezione ortogonale, norma, distanza, basi ortonormali, complemento ortogonale. Il teorema spettrale.

Gli argomenti trattati in questi appunti sono: - Equazioni lineari e numeri (Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi); - Matrici e insiemi (Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi); - Lo spazio vettoriale delle matrici (Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà); - Moltiplicazioni tra matrici (Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari); - Determinanti (Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet); - Matrice inversa (Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer); - Rango di una matrice (Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare); - Sistemi di equazioni lineari (Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare); - Metodo di Gauss (Applicazioni del metodo di Gauss Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango); - I vettori geometrici (Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio); - Combinazioni lineari di vettori geometrici (Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O)); - Spazi vettoriali sui reali (Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali) - Sottospazi vettoriali (Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O)); - Generatori di spazi vettoriali (Combinazioni lineari e generatori); - Dipendenza e indipendenza lineare; - Basi di spazi vettoriali (Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi); - Intersezione e somma di sottospazi (Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di sottospazi); - Sottospazi affini (Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema); - Equazioni vettoriali di rette e piani (Equazioni vettoriali di rette. Semirette e segmenti. Equazioni vettoriali di piani. Condizioni di allineamento e complanarità); - Riferimenti affini (Sistemi di riferimento affine nel piano. Sistemi di riferimento affine nello spazio. Punto medio. Condizioni di allineamento e complanarità); - Equazioni parametriche (Equazioni parametriche di rette nel piano. Posizioni reciproche di rette nel piano. Equazioni parametriche di rette nello spazio. Equazioni parametriche di piani nello spazio. Semirette, semipiani e segmenti); - Equazioni cartesiane nel piano (Equazioni cartesiane di rette. Equazione cartesiana ed equazioni parametriche. Retta passante per due punti. Intersezione di rette. Fasci di rette. Semipiani); - Equazioni cartesiane nello spazio (Equazioni cartesiane di piani. Equazioni cartesiane e parametriche di piani. Piano passante per tre punti. Intersezione di piani. Equazioni cartesiane di rette. Fasci e stelle di piani. Semispazi); - Funzioni tra insiemi (Funzioni. Immagini e controimmagini. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Composizione di funzioni); - Omomorfismi (Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice); - Immagine (Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo); - Nucleo (Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo. Controimmagini); - Isomorfismi; - Endomorfismi (Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base); - Autovalori e autovettori (Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili); - Diagonalizzazione (Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione); - Prodotto scalare di vettori geometrici (Norma di un vettore geometrico. Prodotto scalare di vettori geometrici. Basi ortogonali e ortonormali nel piano. Basi ortogonali e ortonormali nello spazio. Calcolo di angoli); - Riferimenti cartesiani (Riferimenti cartesiani nel piano. Riferimenti cartesiani nello spazio. Distanza tra punti); - Geometria analitica metrica del piano (Ortogonalità tra rette. Angoli tra rette. Distanza tra un punto e una retta. Distanza tra due rette. Circonferenze); - Geometria analitica metrica dello spazio (Ortogonalità fra rette. Angoli tra rette. Parallelismo e ortogonalità tra rette e piani. Distanze tra punti, rette e piani. Sfere e circonferenze); - Prodotto scalare in Rn (Prodotto scalare. Basi ortonormali. Matrici ortogonali); - Diagonalizzazione di matrici simmetriche (Matrici ed endomorfismi simmetrici. Procedimento di diagonalizzazione); - Geometria in Rn (Sottospazi affini. Parallelismo di sottospazi affini. Inviluppi affini. Iperpiani. Ortogonalità. Insiemi convessi e semispazi).

Programma completo di Geometria spiegato dai professori V.Giordano e A.Terrusi presso il Politecnico di Bari. Programma: 1)Introduzione: Definizioni e assiomi, i segmenti, confronto tra segmenti, retta orientata, segmento orientato, segmenti equivalenti, proprietà degli argomenti elencati. 2)Vettori: Definizione, somma tra vettori e proprietà, prodotto di un vettore con uno scalare e proprietà. 3)Vettori linearmente indipendenti e dipendenti: Definizione (teoremi proprietà e definizioni). 4)Riferimento cartesiano nel piano e nello spazio: Definizione, distanze tra insiemi, distanza retta-punto, distanza punto-piano, distanza tra due punti, punto medio di un segmento, punto simmetrico, versori, componenti ortogonali di vettori nel piano e nello spazio, vettori nello spazio cartesiano piano e nello spazio, vettori ortogonali e paralleli (tramite il rango della matrice), proprietà generali degi argomenti elencati, prodotto scalare tra vettori e proprietà, prodotto vettoriale tra vettori e proprietà, prodotto misto e proprietà, area e volume. 5)Equazioni di un piano: Equazione vettoriale del piano, equazione segmentaria del piano, metodi per individuare le equazioni di un piano, varie proprietà e osservazioni, posizione reciproca tra due piani, alcuni esempi, fascio improprio di piani, fascio proprio di piani, angoli tra due piani, distanza tra due piani nello spazio. 6)Equazioni di una retta nel piano e nello spazio: equazione cartesiana della retta, equazione vettoriale della retta, equazione sotto forma di rapporti uguali della retta, varie proprietà e osservazioni, parametri direttori e coseni direttori, passaggio tra le varie equazioni di una retta, posizione reciproca tra retta e piano e proprietà, posizione reciproca tra due rette nello spazio (TUTTI QUESTI ARGOMENTI SONO TRATTATI SIA NEL PIANO SIA NELLO SPAZIO), angoli tra due rette, angoli tra un piano e una retta, 3 punti allineati, condizione di appartenenza di un punto ad una retta. 7)Equazione della circonferenza nel piano: Definizione, equazione cartesiana e metodi per individuarla, posizione reciproca tra una retta e una circonferenza. 8)Superficie sferica: Definizione, posizione reciproca tra un piano e una sfera, posizione reciproca tra due superfici sferiche. 8)Riferimento polare e riferimento cilindrico (nel piano e nello spazio): definizione, relazione con i riferimenti cartesiani. 9)Cono, cilindro: Definizioni varie, equazioni cartesiane e parametriche del cono e del cilindro. 10)Le coniche: Definizione e osservazioni, teorema di classificazione delle coniche, teorema di riduzione a forma canonica, ellisse, circonferenza, iperbole, parabola. 11)Proiezione di una curva su un piano e superfici di rotazione.