Esercizi di esame di Geometria e algebra lineare svolti

R.5) Nessuna delle altre risposte

Domanda n.7) Siano v e w due vettori fra loro non paralleli. Si determini l’insieme S dei vettori x che soddisfano l’equazione 2v - w = x e scegliere quali delle seguenti risposte è corretta.

• R.1) S contiene solo il vettore nullo
• R.2) S contiene almeno due soluzioni x₁ e x₂ con x₁ ∧ x₂ ≠ 0
• R.3) S è l’insieme vuoto
• R.4) S è formato da vettori tutti fra loro paralleli
• R.5) Nessuna delle altre risposte

Domanda n.8) Sia T : ℝ³ → ℝ³ l’applicazione lineare definita da T(x₁, x₂, x₃) = A _{x₁ x₂ x₃} con

A = _{1 1 1}              0 2 1dove h è un parametro. Quali delle seguenti affermazioni è corretta?

• R.1) se k = 0, h sia che 5 è un autovalore per A
• R.2) se h = 2, sia che 2 è un autovalore per A
• R.3) Nessuna delle altre risposte
• R.4) Se k = -1, sia che 5 è un autovalore per A
• R.5) se k = -1, sia che 3 è un autovalore per A

Domanda n.9) Siano u = 7i + 4j - kw = -i + j + k; t = j - 5i. Allora u ∧ w ∧ t ∧ t è:

• R.1) nullo
• R.2) parallelo a -12i + 2j - 14k
• R.3) 3i + 8j - 11k
• R.4) ortogonale a 12i - 2j + 14k
• R.5) w + w

Domanda n.10) Si consideri il piano α: 2x + y + z = 0 e la retta rₖ = _{x = t + 1}

Se t è un parametro è

Si determini il valore h₀ per cui rₕ₀ è parallela ad α e il valore d della distanza fra rₕ₀ ed α.

• R.1) h₀ = 2, d > 1
• R.2) h₀ = 3, d = 1
• R.3) h₀ + 2 = 0, d < 1
• R.4) Nessuna delle altre risposte
• R.5) h₀ + 1 = 0, d < 1

Domanda n.11) Il sistema lineare 2x - y - z = 0

x + 3y + 2z = 0 ammette infinite soluzioni per un valore

x + ky - 2z = 0

di k che verifica

• R.1) 5x - 3k = 0
• R.2) k < -2
• R.3) 13k + 13 = 0
• R.4) k > 1
• R.5) Nessuna delle altre risposte

R.4) i + j

R.5) 2i - j

Domanda n.7) Sia U = <i - 2j + k>e sia T:V->V l'applicazione lineare definita da T(x) = (x · u)u. Si ricordi anche che T è detta diagonalizzabile se esiste una base di V formata da autovettori di T.

• R.1) T è diagonalizzabile ed è iniettiva.
• R.2) T è diagonalizzabile e non è iniettiva.
• R.3) T non è diagonalizzabile e non è iniettiva.
• R.4) T è diagonalizzabile ed è iniettiva.
• R.5) Nessuna delle altre risposte.

Domanda n.8) Sia U = <i, j, k> una base ortonormale e sia T:V->V l'applicazione lineare tale che T(1) = i, T(j) = j e T(k) = i + j - T(k). Determinare il nucleo di T e se T è suriettiva o iniettiva. Si trova

• R.1) T non è suriettiva; il vettore v= hi + 2j + 2k non è mai nel nucleo.
• R.2) Nessuna delle altre risposte.
• R.3) T non è suriettiva; il vettore v= hi + 2j + 2k è nel nucleo se e solo se h = -2.
• R.4) T è iniettiva per ogni vettore v si ha che T(v) = T(u) ⇒ v = u.
• R.5) T è suriettiva ed esiste un vettore v tale che T(v) ≠ 2 v.

Domanda n.9) Determinare tutti i punti della retta (x, y, z) = (i, 1, 0) che sono equidistanti dai piani α: x-y-z = 0 e β: 2x+y+z = 0. Allora:

• R.1) Nessuna delle altre risposte.
• R.2) esiste un solo punto P₀ = (x₀, y₀, z₀) su r che è equidistante da α e β e verifica x² + y² + z² = 1.
• R.3) esiste un solo punto P₀ = (x₀, y₀, z₀) su r che è equidistante da α e β e verifica x² - 3y² + z² = 3/4.
• R.4) esistono esattamente due punti P₀ = (x₀, y₀, z₀) e P₁ = (x₁, y₁, z₁) su r che sono equidistanti da α e β e verificano ω₁+30ω₁+70ω₁ = 4.
• R.5) esistono infiniti punti su r che sono equidistanti da α e β.

Domanda n.10) Siano u₁ e u₂ complanari non paralleli. Allora u₁ + 4u₂+5p e 7u₁ + 12u₂+78u₁ + 13t:

• R.1) Sono a due a due paralleli.
• R.2) Sono complanari.
• R.3) Non sono complanari.
• R.4) Sono a due a due ortogonali.
• R.5) Nessuna delle altre risposte.

Domanda n.11) Sia (i, j, k) una base ortonormale e T:V->V la trasformazione lineare data da T(x) = xΛi + x.

• R.1) T è iniettiva e T(i) = i.
• R.2) T non è iniettiva e T(i) = k.
• R.3) Nessuna delle altre risposte.
• R.4) T è iniettiva e T(i) = k - 1/2 - i.
• R.5) T non è iniettiva e T(i) = j.

n. compito 6

Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda

Domanda n.1) Sia v un vettore di modulo uguale a 3 e w di modulo uguale a 5. Per quali valori del parametro α, v - αw è ortogonale a v + αw?

• R.1) Per α uguale a 0
• R.2) Per α uguale a ⁵⁄₈
• R.3) Per α uguale a 1
• R.4) Per ogni valore di α > 0
• R.5) Per α uguale a ³⁄₅

Domanda n.2) Il sistema nelle incognite x, y, z

{ 2x − 2y +z = 0

  −x −y +z = 0 ammette infinite soluzioni

  −ky +z = 0

• R.1) Nessuna delle altre risposte
• R.2) Per k che soddisfa 4k + 1 = 0
• R.3) Per ogni k reale che soddisfa 9k² − 24k + 16 = 0
• R.4) Per tutti i valori di k > 3
• R.5) Per k = ³⁄₂

Domanda n.3) Siano P e Q i punti sull'asse delle x che distano 1 dalla retta x = y = z. Indicando con (a, 0, 0) e (b, 0, 0) le loro coordinate si ha

• R.1) ab = 1
• R.2) ab = −1
• R.3) ab = 0
• R.4) a² + ab + ³⁄₂ = 0
• R.5) a + b = 1

Domanda n.4) Si consideri il sistema

{ x₁ +2x₂ −x₃ = 0

  x₁ +2x₂ = 0 al variare del parametro h. Allora

  3x₁ +3x₂ −x₃ = −h

• R.1) Ammette un'unica soluzione se h = 1
• R.2) Ammette sempre infinite soluzioni se h = 1
• R.3) Non ammette soluzioni se h = 2
• R.4) Le altre risposte sono errate.
• Ammette un'unica soluzione se h = 2

Domanda n.5) Sia dato il sistema lineare:

{ 2x −y −z = 0

  x +3y +2z = 0 . Si trovi il valore di k tale per cui il sistema ammette infinite soluzioni. Tale valore verifica

  x +ky −2x = 0

• R.1) 5k³ +13k² +10k +26 = 0
• R.2) 5k³ −5k +1 = 0
• R.3) 13k³ +13 = 0
• R.4) Nessuna delle altre risposte
• R.5) 5k³ −13k² −5k +13 = 0

Domanda n.6) Siano v un vettore e sia T : V → V l’applicazione definita da T(x) = (x ⋅ w)w. Allora

• R.1) T è lineare ed esiste qualche x tale che T(T(x)) ≠ T(x).
• R.2) T è lineare e iniettiva.
• R.3) T è lineare e T(T(x)) = T(x) per ogni x.
• R.4) Nessuna delle altre risposte.
• R.5) T non è lineare, ma T(0) = 0.

Domanda n.7) Sia T_k : ℝ² → ℝ² l’applicazione lineare definita da T_k(x, y) =