Teoria completa di Geometria lineare e analitica

GEOMETRIA

• INTRODUZIONI

DEF: Lo spazio euclideo è uno spazio formato da infiniti punti, infinite rette e infiniti piani. A loro volta i piani e le rette sono formati da infiniti punti.

Introduciamo alcuni ASSIOMI che costituiscono la base della geometria, ricordando che un assioma è una proprietà che gli elementi fondamentali devono necessariamente soddisfare:

1. Per due punti distinti passa una ed una sola retta.
2. Per tre punti distinti e non allineati passa uno ed un solo piano.
3. Per una retta ed un punto esterno si possono tracciare un solo piano oppure possono non intersecare diventando così paralleli. Se la retta ha più punti contenuti nel piano allora essa giacere sul piano.
4. Dato una retta ed un punto esiste una sola retta passante per il punto e parallela alla retta di partenza.

DEF: Due rette nello spazio euclideo si dicono PARALLELI se giacono sulla stesso piano e non hanno punti in comune. Due rette si dicono parallele anche quando sono coincidenti.

Date due rette appartenenti ad uno stesso spazio euclideo possiamo avere i seguenti casi:

• a) Se appartengono ad uno stesso piano possono avere solo un punto in comune. In questo caso si dicono RETTE INCIDENTI.
• b) Se appartengono ad uno stesso piano e non hanno nessun punto in comune sono rette PARALLELI. In questo caso possono essere COINCIDENTI o COMPLANARI.
• c) Se si trovano nello spazio possono non avere punti in comune e non essere paralleli. In questo caso si dicono RETTE SGHUMBE.

Dati due piani distinti nello spazio euclideo, si possono presentare i seguenti casi:

1. Hanno fine di un punto in comune. Questi punti formano una retta.

2. Non hanno nessun punto in comune.

3. Sono coincidenti fra loro.

Considerando il segmento orientato AB, del suo modulo:

• ||AB|| _se A precede B
• 0 _se A = B
• ||-AB|| _se A segue B

Proprietà:

1. AB = -BA; Σ → AB + BA = 0
2. AB + BC + CA = 0

Def: Dato un segmento orientato, ho per direzione quella della retta passante per i suoi estremi.

Def: Dato un segmento orientato, dico verso del segmento, il verso di percorrenza tra gli estremi.

- Segmenti equivalenti o equipollenti

Def: Due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso. La proprietà di equipollenza si indica con il simbolo "≃".

Proprietà:

1. AB ≃ AB _{P. Riflessiva}
2. AB ≃ CD <=> CD ≃ AB
3. AB ≃ CD, CD ≃ EF <=> AB ≃ EF _{P. Transitiva}

- Relazioni Fondamentali di Chasles

Def: Presi un retto a un segmento orientato e fissati n punti A₁, A₂,... A_n vale la relazione:

A₁A₂ + A₂A₃ + A₃A₄ +...+ A_m-1A_m + A_mA_n + A_nA₁ = 0

Riferimento Cartesiano

Def: Dato una retta r, si dice che su r è fissato un riferimento cartesiano se su di essa fissiamo due punti distinti O e U, e assumiamo come unità di misura il segmento OU, come verso di percorrenza quello di OU (quindi positivo). Il punto U è detto punto unità della retta.

Presi due punti distinti O e U su una retta, fissiamo un riferimento cartesiano, che si indica con:

ℝ(O, U)

questo significa che ∀P (punto) ∈ r → ∃! x ∈ ℝ.

Ciò ad ogni punto è associato un numero reale distinto, quindi questa è una biiezione.

Fissato un punto qualunque P sulla retta r, lo indichiamo con x la distanza tra O e P, cioè la lunghezza del segmento OB.

Se P coincide con O, x sarà uguale a 0. Se P coincide con U, x sarà uguale a 1.

Possiamo concludere dicendo che x è l'ascissa del punto P in relazione al riferimento preso in considerazione e si indica con P(x), cioè P ha coordinata x rispetto al riferimento fissato.

Def: Dato una retta r, fissato su di essa un riferimento e considerati due punti A e B, si definisce distanza tra A e B e si indica con d(A, B), la lunghezza del segmento AB:

d(A, B) = AB

Def: Se due distanza fra insiemi (rette, piani ecc.) e si indica con d(X,Y) con X,Y insiemi = il massimo distanza tra i punti di X e i punti di Y:

d(X, Y) = mm {d(A, B) | A ∈ X, B ∈ Y}

Riferimento Cartesiano nel Piano

Def: Un riferimento cartesiano nel piano è un insieme ordinato da un punto O detto origine e da due rette distinte passanti per O sulle quali fissiamo un riferimento cartesiano. Generalmente le due rette non devono necessariamente essere perpendicolari e avere lo stesso unità di misura.

Si indica con

R(O, V₁, V₂)

cioè

R(O, X, Y)

Def: Esiste un riferimento cartesiano nel piano quando le due rette sono perpendicolari e si assume una stessa unità di misura per entrambi, il riferimento prende il nome di riferimento monometrico ortogonale.

Preso un punto P all'interno del riferimento avrà due coordinate che scriveremo tra parentesi, infatti:

∀P → (X, Y) ∈ ℝ²

Dunque il punto P possiede due coordinate che coincidono con le sue proiezioni ortogonali sulle due rette.

P₁(X) è la coordinata di P rispetto all'asse delle X.

P₂(Y) è la coordinata di P rispetto all'asse delle Y.

Prodotto Vettoriale

Def: Dati due vettori ↑ e ↕ si definisce prodotto vettoriale di ↑ e ↕ il vettore dato da: ↑ × ↕ = &warr;

Il vettore &warr; ha per direzione quella perpendicolare al piano contenente ↑ e ↕, come modulo |↑ × ↕| = |↑| * |↕| * sin θ, come verso quello dato dalla regola della mano destra.

Proprietà:

1. ↑ × (↕ + &warr;) = ↑ × ↕ + ↑ × &warr;
2. h(↑ × ↕) = (h↑) × ↕ = h(↑ × ↕)
3. ↑ × ↕ ≠ ↕ × ↑

Fissato nell'uso un riferimento monometrico cartesiano, valgono le seguenti proprietà:

↑ × ↕ = (u_xî + u_yĵ + u_z&kcirc;) × (v_xî + v_yĵ + v_z&kcirc;) =

= u_xv_xî × î + u_xv_yî × ĵ + u_xv_zî × &kcirc; + u_yv_xĵ × î +...

= î(u_yv_z - u_zv_y) - ĵ(u_xv_z - v_xu_z) + &kcirc;(u_xv_y - v_xu_y)

Questo risultato si ottiene più facilmente risolvendo il determinante delle matrici: