Teoria completa di Geometria lineare e analitica

GEOMETRIA

- INTRODUZIONE

Def: Lo spazio euclideo è uno spazio formato da infiniti punti, infiniti rette e infiniti piani. A loro volta i piani e le rette sono formati da infiniti punti.

Introduciamo alcuni ASSIOMI che costituiscono le basi della geometria, ricordando che un assioma è una proprietà che gli elementi primitivi devono necessariamente soddisfare:

1. Per due punti distinti passa una ed una sola retta.
2. Per tre punti distinti e non allineati passa uno ed un solo piano.
3. Data una retta ed un piano essi si possono intersecare in un solo punto oppure possono non intersecare diventando così paralleli. Se la retta ha due punti comuni nel piano allora essa giace nel piano.
4. Data una retta ed un punto esiste una sola retta passante per il punto e parallela alla retta di partenza.

Def: Due rette nello spazio euclideo si dicono PARALLELI e giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune. Due rette si dicono paralleli anche quando sono coincidenti.

Date due rette appartenenti ad uno stesso spazio euclideo possiamo avere i seguenti casi:

1. a) Se appartengono ad uno stesso piano possono avere solo un punto in comune. In questo caso si dicono RITTI INCIDENTI.
2. b) Se appartengono ad uno stesso piano e non hanno nessun punto in comune sono rette PARALLELI. In questo caso possono essere COINCIDENTI o COPLANARI.
3. c) Se si trovano nello spazio possono non avere punti in comune e non essere paralleli. In questo caso si dicono RITTI SGHEMBI.

GEOMETRIA

- INTRODUZIONE

Def: Lo spazio euclideo è uno spazio formato da infiniti punti, infinite rette e infiniti piani. A loro volta i piani e le rette sono formati da infiniti punti.

Introduciamo alcuni ASSIOMI che costituiscono la base della geometria, ricordando che un assioma è una proprietà che gli elementi primitivi devono necessariamente soddisfare:

1. Per due punti distinti passa una ed una sola retta.
2. Per tre punti distinti e non allineati passa uno ed un solo piano.
3. Per una retta ed un piano essi si possono intersecare in un solo punto oppure possono non intersecare diventando cioè paralleli. Se la retta e i suoi punti contenuti nel piano allora essa giace sul piano.
4. Dato una retta e un punto esiste una sola retta passante per il punto e parallela alla retta di partenza.

Def: Due rette nello spazio euclideo si dicono PARALLELI se giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune. Due rette si dicono parallele anche quando sono coincidenti.

Date due rette appartenenti ad uno stesso spazio euclideo possiamo avere i seguenti casi:

1. a) Se appartengono ad uno stesso piano possono avere solo un punto in comune. In questo caso si dicono RETTI INCIDENTI.
2. b) Se appartengono ad uno stesso piano e non hanno nessun punto in comune sono rette PARALLELI. In questo caso possono essere COINCIDENTI o COMPLANARI.
3. c) Se si trovano nello spazio possono non avere punti in comune e non essere paralleli. In questo caso si dicono RETTI SGHEMBI.

Dati due piani distinti nello spazio euclideo, si possono presentare i seguenti casi:

• a) Hanno più di un punto in comune. Questi punti formano una retta.
• b) Non hanno nessun punto in comune.
• c) Sono coincidenti fra loro.

I segmenti

Considerato un retta r e presi due punti qualsiasi della retta che chiamiamo A e B. La retta risulta essere divisa in tre parti. Avremo due semirette una di origine A e l'altra di origine B e avremo anche il segmento AB.

Def:

Si chiama segmento di estremi A e B e si indica con AB, l'insieme dei punti compresi tra A e B.

Considerando la semiretta di origine A che contiene B e la semiretta di origine B che contiene A, l'intersezione tra le due semirette dà come risultato il segmento AB.

Oss.: Su una retta ci sono infiniti segmenti.

Confronto tra segmenti

Def:

Dato un segmento AB non nullo e considerato un segmento campione CD, si chiama lunghezza o misura di AB rispetto a CD il numero reale dato dal rapporto di AB rispetto a CD.

Il rapporto tra i segmenti sta ad indicare quante volte il primo è compreso nel secondo.

CD = 1/4 AB ⇒ CD / AB = 1/4

Oss.: La lunghezza deve essere sempre un numero positivo.

Def:

Due segmenti si dicono commensurabili quando il loro rapporto è un numero intero. Si dicono incommensurabili quando il loro rapporto non è un numero intero.

Preso un segmento qualsiasi come unità di misura CD,

possiamo poi semplicemente definire x con x = ^AB/_CD la lunghezza di

AB rispett