Geometria e algebra lineare - Esercizi svolti e spiegati

Geometria

Es 1

• Scrivere i sottospazi nella forma L(v₁,...,vₙ)

Es 2

• Dati v₁(1,-2) e v₂(3,-3/2) dire se {v₁,v₂} è una base di ℝ²

• Dato w = (π,k) per quali k {v₁,w} è una base di ℝ²

• Coordinate di V(14,-7) rispetto alla base {v₁,v₂}

Es 3

Es 5

e5.7

W₁ = {(x, y, z, t) | x = y + z }W₂ = {(x, y, z, t) | y = x - 2t }Trovo generatorix = y - zy = x - 2t• Trovare una base di IR⁴ {V₁, V₂, V₃, V₄} tale che {V₁, V₂} base di W₁ ∩ W₂V₁, V₂ scelgo generatori di W₁ ∩ W₂V₃ ∈ W₁ → (y + z, y, z, t) scelgo vettore in modo che siano tutti lin. indV₄ ∈ W₂ → (x, x - 2t, z, t)

e5.8

• Provare che l'insieme formato daV₁ (1, 1, 0), V₂ (0, 1, 1), V₃ (1, 0, 1)è una base di IR³Matrice a scala ⇒ lin. ind.• Trovare coordinate di V₄ (1, 0, 0) rispetto alla basea(1, 1, 0) + b(0, 1, 1) + c(1, 0, 1) = (1, 0, 0)

e5.11

W = l(1, 0, 0, i) (1, -1, 1)Z = {(x, y, z) ∈ IR³ | x + z = 0}• Trovare una base di W ∩ ZTrovo l'equazioni di W(1 1 x) (1 1 x)(0 -1 y) → (0 -1 y)(0 -1 z) (0 0 y + z)x + z = 0y + z = 0x = -zy = z(-z, -z, z)V(-1, -1, 1) è un base di W ∩ Z

es3

f: ℝ² → ℝ³

F(1,0) = (0,0,0)

F(1,1) = (1,2,-1)

• Calcolare Kern f e Im f
• Kern f ⇒ dim Kern ≤ 2; (ssy. iniettiva) ma (1,0) ∈ Kern

⇒ dim = 1 oppure 2

Se Ker fosse 2 dim tutti i vettori sarebbero f(x)=0

(perché siamo in ℝ²) ma è FALSO f(1,1)≠0

⇒ dim Kern f = 1 Kern = l(1,0)

• dim Im = 2 dim ker = 1
• Siccome è solo 1 a so che (1,2,-1) ∈ Im f

⇒ Im f = l(1,2,-1) perché (1,0) e (1,1) formano una base

• Calcolare f(2,-1)

(2,-1) = a(1,0) + b(1,1)

a=3

b=-1

f(2,-1) = 3f(1,0) - f(1,1)

⇒ f(2,-1) = (-1,-2,1)

es4

per ogni k∈ℝ ∃ applicazione lineare f: ℝ²→ℝ²

tale che F(1,-1) = (2,t) F(-π, k) = (k,-k)

• Se V₁∪V₂ sono lin. indipendenti allora formano una base in ℝ²
• ⇒ ∃ un'applicazione lineare ed è UNICA

(-1 -1 k)

(-1 -1 k) → (01 k-π)

se k ≠ π

• Se k =π sono lin. dipendenti (V₂ = -π V₁)
• quindi se soddisfa i vettori secondo la f

f(V₂ ) = -π f(V₁) ?

Esercizio 2

f: R² → R³

f(x, y) → (3x - y, 2x + y, x - y)

B = { (3, 2, 1), (-1, 1, -1), (0, 0, 1) }

M_{B, B} ?

f(0, -3/2) = (3/2, -1/4, 0) = a(3/2, -1/4, 0) + b(0, 1, 0)

a = 1

b = c = 0

f(0, 1) = (-1, -1, -1)

b = 1

a = c = 0

M_eB = ( 1 0 )

             ( 0 0 )

Esercizio 3

f: R² → R²

f(x, y) → (3x + y, x + 4/3y)

B = {(-1, -3), (3, 1)}

• Calcolare la matrice associata rispetto alla base B (M_{B, B})

f(-1, -3) = (0, 0) = a(-1, -3) + b(3, 1)

a + 3b = 0

f(3, 1) = (10, 4/3) = a(-1, -3) + b(3, 1)

1. a + 3b = 10
2. 3a + b = 4/3

a = 0

b = 10/3

M_BB = ( 0 0 )

     ( 0 -10/3 )

Esercizio 5.10

Scrivere l'eq del piano π passante per P e ||r ||s

P(1,2,1)

r { x−y−1

z

s { x−2y=0

2x+3z=18

2x+z+1

Se π è r∥s => i vettori diretti ẽ ^

r { y=x

z=− x

v_r(1,1,−³⁄₂)

s { y=¹⁄₂x

z=−2x

v_s(1,¹⁄₂,−2)

^ π { ax+by+cz=0

^ π { 2+b−³⁄₂c=0 { a=−b+²⁄₃c { a=⁵⁄₄b

2+¹⁄₂b−2c=0 1+b−¹⁄_{3c=0 c=−³⁄8b}

^ π { ⁵⁄₄x+y ³⁄₂=0 {

−5−10x+2y−3z=0{

Imponig il passaggio per P :

−10+16−3=d d=3

=> π −{−40x+8y−32=3 }

Esercizio 5.11

Trovare il piano passante per P, Q, R

P(1,1,1) Q(2,1,−1) R(1+1+1,−1+2, 2+1+1)

P−Q=(-1,0,2)

P−R=(−1,+1,−1,)+(1,2)

^ π ( 0 , 1 , -1 , X | 0 , +1 , y

2−2+z =( 0 , +1 , X | 0 , +1 , y

2+2X ) = ( 0 , +1 , X | 0 , +4t ,

( ¹⁄₂) ( 4t

+

+1 ) d ( _t⁄^-1) y+z+2x=0

+1

^ π (d ^t⁄_-1) ( 4t )

(

+1 ) x+4ty +(1+1 )= 7t+3(

es2

è diagonalizzabile?

p(λ) = det |-λ 2 0||0 λ-3 0| = -λ [(2-λ)(1-λ) - 2] = -λ [λ² - 3λ + x - x] |2 0 1-λ|

λ₁ = 0 m = 2 g? λ₂ = 3 m = 1 g = 1

Calcolo g per λ₁ = 0

dim Ker |2 0 1| dim Ker = 3 - 2 = 1 NON è diagonalizzabile |0 0 0| |2 0 1| => rtx = 2

es3

è diagonalizzabile?

p(λ) = det |1-λ 0 1| |0 -λ 0| = (1-λ) [-λ(1-λ) - 1] + (-1+λ) |1 0 1-λ|

(1-λ) [λ² - λ - 1] + (-λ4) = (1-λ)(λ² - 2) = 0

λ₁ = 1 λ₂,3 = ^1±√1+8/₂ λ₂ = 2, ₃ = -1

Hanno tutti e tre m = 1 => è diagonalizzabile

=> anche perché è simmetrica (Teorema Spettrale)

es5

è diagonalizzabile?

p(λ) = det |2-λ 1 0 | |1 -λ 1 | = -(1+λ) [(2-λ)(1-λ) - 1] |0 0 -1-λ|-(1+λ) [λ² - (λ+1) + (λ-1)] = 0

λ₁ = -1 λ₂,3 = ^{2±√2²+1-2λ+4}/₂ a±√^²-2λ+5/₂

Se Δ < 0 NON è diagonalizzabile

=> Δ² - 2λ + 5 > 0 λ₂,3 = 1±√1-5 sempre > 0

III

Trovare tutte le coppie (a,b) in modo che il vettore (1,1,1) risulti autovettore

(-1-a   2         1)1    -2-b  11      -1  -1)

cioè ((1-a)x + 2y = z = 0x + (2-y)y + bz = 0      Sostituico (1,1,1)-x - y + (4-1)z = 0

{ a = -1b = -4λ = -1(-1, -4) coppia (a, b)

Foglio 8

E50

Provare che α e x sono lα { x - y + 3z = 3xx { 3x - z = 2z + 3y = 7

V_α (1, -1, 3) il vettore 1 e il primo

̂x { x = -1/3 zy = -2/3 zV_x (1/3 ; 1/3 ; 1)

α e x sono l se i vettori sono \\ e quindi lin. dip.V_α = 3 V_x ^Sì

E51

Per gni α e x sono paralleli e per xpare ortogoni?

r { x + y = z2 - x - 2y + z

s { z - 3x = 4y - ax = 2a + 1

̂x { x = z-y Z = 1/2 y2z = 3y Z = 3/2 yV_x (1 ; 2 ; 3)

̂s { z = 3xy = ax

V_s (1 ; a ; 3)

Se V_x e V_s lin. dip. x\\S → a = 2