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Algebra Lineare
Retta Euclidea
Fissiamo origine O e unità di misura . OA = 1 allora OA x ℝ OB = t tale OA x ℝ t è positivo se è dalla stessa parte di A t è negativo se è dall’altra parte
|r| = |OB| |OA|
Piano
Fissiamo origine O e una retta per O sulla quale posso posizionare un punto che funga da unità di misura. Perpendicolare piano faccio passare un’altra retta orientata con unità B
OA e OB è un parallelogrammo la cui somma usando le regole del parallelogrammo è OP OA + OB = OP + t1
Rⁿ = {(x₁, x₂,..., xₙ) | x₁, x₂,..., xₙ ∈ ℝ} cioè l’insieme delle coord. del punto su die rette alle n-upla unità di misura OP
OP + OQ = (t1 x s1; t2 x s2)
Rⁿ = ({x₁, x₂,..., xₙ | x₁,..., x c ∈ ℝ} lo si chiama vettorev = (x₁, x₂,..., xₙ)u + w = (x₁ + x₂)*x1, x2+xm
a ∈ ℝ @z = (ax₂, ax₃,..., axₖ)
Un insieme V detto spazio vettoriale se ha le seguenti proprietà:
- E’ definita una somma ∀v₁, v₂ ∈ V → z₁ + z₂ ∈ V
- E’ definita la moltiplicazione per scalare ∀a ∈ ℝ, ∀v. E` una O
V' = {polinomi di grado ≤ 3} posso ottenere con la somma polinomi di grado ≤ 2
ma non c'è lo 0
NON è uno S.V.
V'' = {polinomi di grado ≤ n-3} è uno S.V.
Matrice
È una tabella di numeri organizzati con m righe e n colonne. È uno SPAZIO VETTORIALE.
A è di TIPO m x n
A = [ 1 2 3 ]
tipo 2 x 3
es A = [ 4 5 6 ]
(Rufia a sopra)
Ai,j = ai,j; j = 1...n colonne [ Aij ]
M(m,n) = {A matrice m x n} è uno spazio vett.
A1 = [ -1 2 3 ] A2 = [ -2 0 3 ]
A1 + A2 = [ 3 2 6 ] Se non hanno lo stesso numero di righe e colonne non si possono sommare.
Matrice NULLA 0 = [ 0 0 0 ]
Sottospazio vettoriale
V spazio vettoriale W ⊂ V sottoinsieme il fatto sottospazio vettoriale se:
- Comunque presi due vettori w1, w2 ∈ W allora w1 + w2 ∈ W cioè la SOMMA non deve uscire
- ∀ a ∈ ℝ ∀ w ∈ W allora a.w ∈ W cioè prodotto scalare
V = ℝ2 = { (x,y) | x,y ∈ ℝ3 }
W = { (x,y) | y = x }
Come le dimostro?
SOMMA wi = (xi, xi) ∈ W
wi + wi = (xi + xi, xi + xi) ∈ W separato e le componenti uguali
a. vettore t.wi = (txi, txi) ∈ W
esempio 2
W = { (x,y) ∈ ℝ2 | x = 1 } w1 = (1, y1)
w1 + w2 = (2, y1 + y2) ∅ W perché xf1
Osservazione: Se W ⊂ V è un sottospazio ⇒ 0 ∈ W perché le rette per 0 sono di esempio un sottospazio.
ESERCIZIO
Dimostrare che L((4,1),(4,-1)) = R2
L(v1,...,vk) è lo spazio generato da v1,...,vk, e si chiamano GENERATORI
ESEMPIO
L((4,0),(4,1),(2,-3)) ⊆ R2 sono vincolato al piano ottengo nuovamente tutto il piano perché con L(v1-vk) ⊆ L(v1,...,vk+1)
La combinazione lineare di L(v1-vk) ⊆ L(v1-vk+1)
∀ c ∈ L(v1,...,vk) = t1v1+...+tkvk + 0 . vk+1
Lv un v in pi
c: R2 = L((4,0),(4,1)) ⊆ L((4,0),(4,1),(2,-3)) ⊆ R2
L((4,1),(2,2),(5,5),(1,ππ)) sono multipli quindi è la retta y=x non R2
coé v = t1v1+t2v2+t3v3+tW = (t1+2t4+5t3 + tπt4) . v1
Ogni vettore v ∈ V si scrive in modo UNICO come comb. lineare di {v1, ..., vn}
Infatti se = 1v1 + 2v2 + ... + nvn ⇒ x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = 1v1 + ... nvn
{x1 - 1; x2 - 2 ... = 0
Poiché sono lin. indipendenti:
- x1 - 1
- x2 - 2
- ...
- xn - n
Questi coefficienti si chiamano COORDINATE di V rispetto alla base {v1, ..., vn}
Esempio: B = { (1,0), (0,1) } base CANONICA di ℝ2
- generano L( (1,0), (0,1) ) = ℝ2
- lin. indipendenti perché non sono l’uno multiplo dell’altro
Coordinata → = ℓ (,) = 1 (1,0) + 2 (0,1)
⇒ (1, 2)
- x1 = x
- x2 = y
Esempio:
V1 = (4,0) formano una base?
V2 = (2,1)
- generano L( V1, V2 ) = L( v1 ) + L( v2 )
- sono lin. indipendenti ("non multipli")
Coordinata rispetto alla base
(, ) = 1 (4,0) + 2 (4,1) = (x1 + x2/x2)
- x = x1 + x2
- y = x2
- x1 = x - x
Dato P(i)1 siano gli assi:
⇒ P(i)x, y siano base
Ricavo quindi x1, x2 in funzione di x+y
Scelta
generano (4,0,1) (0,1,1) di una base?
W = { x + y - z = 0 } ⊂ ℝ3
- z = x+y
{ (x, y, x+y) | x,y ∈ ℝ3 }
- generano { (4,0,1) (0,1, 1) | x, y ∈ ℝ3 }
(4,0,1) ≠ α (0,1,0) "sono vettori lin."
{0,1,1} ≠ β (1,0,1) "inerente lineare", lin. indipendente.
Sì, formo una base.
Ogni spazio vettoriale V ammette sempre almeno una BASE
{v1,v2,v3} base di W
P(2,-4) ∈ W coordinate rispetto base {v1,v2}?
[Notatore 2 punti imparare]
x1 (0,1,1) + x2 (1,0,1) = (x,y) =
- x1 = x
- x2 = y
(2,-1)
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