Geometria - Appunti

Gli argomenti trattati in questi appunti sono:

- Equazioni lineari e numeri (Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi);
- Matrici e insiemi (Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi);
- Lo spazio vettoriale delle matrici (Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà);
- Moltiplicazioni tra matrici (Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari);
- Determinanti (Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet);
- Matrice inversa (Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer);
- Rango di una matrice (Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare);
- Sistemi di equazioni lineari (Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare);
- Metodo di Gauss (Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango);
- I vettori geometrici (Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio);
- Combinazioni lineari di vettori geometrici (Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O));
- Spazi vettoriali sui reali (Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali)
- Sottospazi vettoriali (Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O));
- Generatori di spazi vettoriali (Combinazioni lineari e generatori);
- Dipendenza e indipendenza lineare;
- Basi di spazi vettoriali (Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi);
- Intersezione e somma di sottospazi (Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di sottospazi);
- Sottospazi affini (Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema);
- Equazioni vettoriali di rette e piani (Equazioni vettoriali di rette. Semirette e segmenti. Equazioni vettoriali di piani. Condizioni di allineamento e complanarità);
- Riferimenti affini (Sistemi di riferimento affine nel piano. Sistemi di riferimento affine nello spazio. Punto medio. Condizioni di allineamento e complanarità);
- Equazioni parametriche (Equazioni parametriche di rette nel piano. Posizioni reciproche di rette nel piano. Equazioni parametriche di rette nello spazio. Equazioni parametriche di piani nello spazio. Semirette, semipiani e segmenti);
- Equazioni cartesiane nel piano (Equazioni cartesiane di rette. Equazione cartesiana ed equazioni parametriche. Retta passante per due punti. Intersezione di rette. Fasci di rette. Semipiani);
- Equazioni cartesiane nello spazio (Equazioni cartesiane di piani. Equazioni cartesiane e parametriche di piani. Piano passante per tre punti. Intersezione di piani. Equazioni cartesiane di rette. Fasci e stelle di piani. Semispazi);
- Funzioni tra insiemi (Funzioni. Immagini e controimmagini. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Composizione di funzioni);
- Omomorfismi (Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice);
- Immagine (Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo);
- Nucleo (Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo. Controimmagini);
- Isomorfismi;
- Endomorfismi (Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base);
- Autovalori e autovettori (Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili);
- Diagonalizzazione (Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione);
- Prodotto scalare di vettori geometrici (Norma di un vettore geometrico. Prodotto scalare di vettori geometrici. Basi ortogonali e ortonormali nel piano. Basi ortogonali e ortonormali nello spazio. Calcolo di angoli);
- Riferimenti cartesiani (Riferimenti cartesiani nel piano. Riferimenti cartesiani nello spazio. Distanza tra punti);
- Geometria analitica metrica del piano (Ortogonalità tra rette. Angoli tra rette. Distanza tra un punto e una retta. Distanza tra due rette. Circonferenze);
- Geometria analitica metrica dello spazio (Ortogonalità fra rette. Angoli tra rette. Parallelismo e ortogonalità tra rette e piani. Distanze tra punti, rette e piani. Sfere e circonferenze);
- Prodotto scalare in Rn (Prodotto scalare. Basi ortonormali. Matrici ortogonali);
- Diagonalizzazione di matrici simmetriche (Matrici ed endomorfismi simmetrici. Procedimento di diagonalizzazione);
- Geometria in Rn (Sottospazi affini. Parallelismo di sottospazi affini. Inviluppi affini. Iperpiani. Ortogonalità. Insiemi convessi e semispazi).