Geometria - Appunti

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Revisionato il 20/04/2026

di andrea22x

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Gli argomenti trattati in questi appunti sono:- Equazioni lineari e numeri (Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, …

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Accascina Giuseppe

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2014-2015

241 pagine

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Estratto del documento

Ricorda

Dimenticare y = mx + q => non possono essere scritte le rette || a x = 0ax - 5 = 0 => x = ⁵/_a => ax = 5{3x - 4y = 02x - 5 = 0 => {3x - 4y = 0 2x = 5ax = b => x = ^b/_a => x = a^-1b con a ≠ 0

Soluzione dei Sistemi

{5x + 4y = 2ax = a{4y = ax = a{y = 1x = a Soluzione del sistema (a;1)

Sistemi Equivalenti

S {4x - 5y = 0x + 5y = 6S' {4x - 5y = 05x = u {x=14x + 4y = 9{4x + 5y = 32x - 3y = 1 => {4x + 5y = 34x - 6y = 1u

Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni

Ricorda

Dimenticare

y = mx + q

non possono essere scritte le rette || a x = 0

ax - 5 = 0 => x = 5/a

=> ax = 5

{ 3x - 4y = 0

2x - 5 = 0

=> { 3x - 4y = 0

2x = 5

ax = b

x = b/a

x = a^-1b con a ≠ 0

Soluzione dei Sistemi

{ 5x + 4y = 2a

x = a

{ 4y = a

x = a

{ y = 1

x = a

Soluzione del sistema (a;1)

Sistemi Equivalenti

S { ax - 5y = 0

x + 5y = 6

{ ax - 5y = 0

5x = u

{ x = 1

ax + 4y = 9

{ 4x + 5y = 3

2x - 3y = 1

{ 4x + 5y = 3

ax - 6y = 1u

Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni

Soluzioni dei sistemi:

- Infinite
- S
  - 2x+4y=3
  - 4x+2y=6
- S'
  - 2(2x+4y=3) =>
  - 4x+2y=6
  - 4x+2y=6
- Nessuna (se un'equazione è impossibile)
- ax+by=c
- 0=x=h con h≠0
- x(x,y):h=0 => dovrebbe essere h=0
- Ha soluzioni se:
- ac-bd≠0

Matrice

Sistema può essere scritto in SCRITTURA MATRICIALE

es.

2x + y = 3

4x + 2y = 6
x + 2y + z = 1

x - 4y = 2

MATRICE DEL SISTEMA COLONNA DELLE VARIABILI MATRICE COLONNA

Ogni elemento a_ij ha i propri indici:

i = riga
j = colonna

a₂₂ = 0

a₃₂ = 1

a₁₃ = 0

Def: E' una tabella composta da p righe e q colonne

Insieme delle matrici: M(p, q, ℝ)

(3, 2) ≠ (3 2)

soluz. sistem.
matrice
coord. cartes

Matrici Quadrate

Def: Sono matrici con p = q, stesso numero di righe e colonne

M(p,q,ℝ) = M(p,ℝ)

Tipologie:

¹/₁ 0 01 0 02 -1 3

_T^R(3)

MATRICE TRIANGOLARE INF.

j > i
DIAGONALE PRINCIP

1 1 20¹ 0 2

_T^R(3)

MATRICE TRIANGOLARE SUP.

i > j
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

MATRICE DIAGONALI

D(m,ℝ) = _T^R(m) ∩ _T^R(m)
1 00 1

MATRICE IDENTITÀ (soluzioni del sistema)

(a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃)

i > j

T^R(3) = { (a_ij) i = 1,2,3

j = 1,2,3 Se i > j, allora a_ij = 0 }

MATRICI SIMMETRICHE

M(m,m,ℝ)

a_ij = a_ji m = 3

( 2 1 √1/2

1 0 3

√1/2 3 1 )

M(m,m,ℝ) = { (a_ij) | a_ij = a_ji; i = 1,..m, j = 1,..m }

D(m,m,ℝ) ⊂ Sim(m,ℝ)

MATRICE TRASPOSTA DI A

( = A^t oppure

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