Appunti del corso completo di Algebra e geometria lineare

Numeri Complessi

L'insieme dei numeri complessi si indica con C ed è definito come:

C: {(x, y) | x, y ∈ ℝ}

Gli elementi dell'insieme sono coppie di numeri reali e sono delle grandezze scalari.

Definiamo due operazioni:

• Somma ((x_a, y_a) + (x_b, y_b)) = (x_a + x_b, y_a + y_b) - Sommo componente per componente
• Prodotto ((x_a, y_a) × (x_b, y_b)) = (x_a × x_b - y_a × y_b, x_a × y_b + y_a × x_b)

Esempi:(3, -4) + (5, 7) = (8, 3)(3, -1) (5, 7) = (15 + 7, 21 - 5) = (22, 16)

Il numero complesso z è caratterizzato da due coordinate. La x è detta Parte Reale e la y Parte Immaginaria.

I numeri reali sono un sottoinsieme dei numeri complessi, perché hanno la parte immaginaria uguale a zero. Difatti possono essere scritti come (x, 0) e stanno sull'asse delle X. La coppia (x, 0) è quindi un particolare numero complesso. 3 (2, 5) va inteso come (3, 0) (2, 5) = (6, 15).

Dato che un componente è 0, la regola del prodotto diventa: (x₀, 0) (x_b, y_b) = (x_a × x_b, x_a × y_b) - che sarebbe come moltiplicare le componenti di un vettore per una costante.

Posso scrivere la coppia (x, y) come (x, 0) + (0, y) = x (1, 0) + y (0, 1) La coppia (1, 0) è un numero reale (1).

Ogni numero complesso può essere scritto come un numero complesso formato (x, 0) - moltiplicato per un numero reale (x) sommato ad un altro numero complesso (0, y) moltiplicato per un numero reale (y).

Chiamo la coppia (0, 1) = i; quando (x, y) diventa x + iy.

Ma cosa è i? → i = (0, 1), i² = (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1 → i² = -1.

La regola di somma nell'insieme vista prima vale anche per questo tipo di scrittura.

Esempi:(2 - 5i) + (3 + 2i) = (5 - 3i)(3 - i) (5 + 2i) = (15 + 7i, -7 - 2i) = 15 + 7i - 7 - 2i = 22 + 16i

Per il prodotto invece si moltiplica ogni fattori di una coppia per i due dell'altra coppia.

La somma ha un’interpretazione geometrica (regola del parallelogramma)

Generalmente per indicare un numero complesso si usa la notazione:

z = x + iy

Proprietà di somma e prodotto:

• ∃ 0 ∈ ℂ t.c. ∀ z ∈ ℂ 0 + z = z + 0 = z ELEMENTO NEUTRO
• ∀ z ∈ ℂ ∃ -z ∈ ℂ t.c. z + (-z) = 0 ELEMENTO OPPOSTO
• ∀ z₁, z₂, z₃ ∈ ℂ (z₁ + z₂) + z₃ = (z₂ + z₃) + z₁ PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
• ∀ z₁, z₂ ∈ ℂ z₁ + z₂ = z₂ + z₁ PROPRIETÀ COMMUTATIVA

Dato z = x + iy si definisce:

modulo di z |z| = √x² + y²

Rappresenta la sua distanza dall’origine

coniugato di z ẑ = x - iy

Proprietà del prodotto:

• ∃ 1 ∈ ℂ t.c. ∀ z ∈ ℂ 1.z = z.1 = z ELEMENTO NEUTRO
• ∀ z ∈ ℂ \ {0} ∃ z^-1 ∈ ℂ t.c. z.z^-1 = z^-1.z = 1 ELEMENTO INVERSO
• ∀ z₁, z₂, z₃ ∈ ℂ (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃) PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
• ∀ z₁, z₂ ∈ ℂ z₁z₂ = z₂z₁ PROPRIETÀ COMMUTATIVA
• ∀ z₁, z₂, z₃ ∈ ℂ (z₁ + z₂)z₃ = z₁z₃ + z₂z₃ PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA

Un insieme in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto in modo tale da valere le proprietà scritte è detto CAMPO

Esempi di campi: ℚ, ℝ, ℂ

In generale: divido la circonferenza in m parti uguali, e le soluzioni saranno su vertici del poligono regolare di m lati.

Per ora ho solo considerato il caso z^m=1

Voglio risolvere un'equazione più generale della forma:

z^m = a con a ∈ ℂ \ {0}

Considero w₀ = √^mV_o e^iθ_0m w₀^{(√mV_o e-iθ₀)} e^iω

= b_e e^iθ = a

w₀ = e^iω è una delle soluzioni di z^m = a

a = e^iθ, z = w₀ z^m = w₀ e^i(θ)

z = w₀ deve essere una delle radici che ho trovato prima z e^{i 2πk/m}

con k = 0, 1, ..., m-1

z = w₀ e^{(2πk/m) i} = e^iω

z = e^(2πi)/m w₀ e^(iθ)

TUTTE LE SOLUZIONI DI z^m = w₀

z_k = √^mV_e o e^iθ

Esercizio:

z³ = 2i

l'angolo che corrisponde a zi è Θ_i = π/2

z = √^3₂ e^i(θ_i)/3 (m=3), con k = 0, 1, 2

- Per k = 0, z₀ = √₂ e^{-i 2π}

- Per k = 1, z₁ = √₂ e^(2πi)/k

- Per k = 2, z₂ = √₂ e^{i 5π/3}

In generale: divido la circonferenza in m parti uguali a partire da z₀,

le soluzioni saranno ai vertici del poligono di m lati.

Esercizio sul modulo:

|z1| = √x_y²

|z - z₀| = |1 x + iy - (x₀ + iy₀)|

= |x - x₀ + i (y - y₀)| = √(x - x₀)² + (y - y₀)²

Voglio trovare le z per cui risulta:

1 ≥ i ≤ 2

(z₀ = i) → z deve avere distanza da i minore o uguale a 2

Il luogo dei punti delle soluzioni è un cerchio.

VETTORI

Ci sono due tipi di vettori: i vettori APPLICATI e LIBERI

• vettori applicati: (P, q) → coppia ordinata di punti nello spazio

  Il vettore applicato è una freccia che collega i due punti

  (P, P) = il vettore nullo

La retta su cui giacciono P e q è unica e si chiama direzione del vettore.

Due vettori non nulli hanno la stessa direzione se le rette sono parallele.

→ parallele, stessa direzione.

Se (P, q) non è nullo si definisce un verso, ovvero la semiretta con origine in P contenente q.

Si definisce modulo di un vettore e può definire anche il modulo di |P, q|, che è la distanza |P, q| tra P e q.

Se i punti P e q coincidono il modulo è 0.

L'insieme dei vettori applicati è complesso quindi generalizzazione è necessaria → non fissa la posizione dei punti; ma solo modulo, direzione e verso.

vettori liberi: un vettore libero è un insieme di vettori applicati.

O (vettore nullo), comprende tutti i vettori {P, q} nulli

Due vettori applicati non nulli definiscono lo stesso vettore libero

se hanno stessa direzione, stesso modulo e stesso verso.

Si indicano con ^V ([P, q])

Se ho un vettore libero ^V e un punto P esiste (unico) un RAPPRESENTANTE di ^V applicato in P.

OPERAZIONI

• somma di vettori liberi

^V + ^W

Esiste un punto P, trovo il vettore applicato di ^V. Considero il rappresentante (P, q) di ^V applicato in P e il rappresentante (q, z) di ^W, allora (P, z) è il rappresentante di ^V + ^W applicato in P.

Se V₁, V₂, ..., V sono gli indici degli elementi scartati in {V₁, V₂, ..., V_n}

λ₁V_i + λ₂V_i+1 + ... + λ_mV_n + 0V_V+1 + 0V_V+2 + ... + 0V_Vm-k = 0

è una combinazione lineare di V₁, V₂, ..., V_n che è nulla ma almeno uno dei coefficienti è ≠0

⇒ V₁, V₂, V_n sono linearmente dipendenti, contro la ipotesi ⇒

CONTRADDIZIONE

Dati due vettori liberi V₁, V₂, V₃ e V₄ voglio sapere se sono linearmente indipendenti.

V₄ = λ₁V₁ + λ₂V₂ + λ₃V₃

Se fossero linearmente indipendenti V₁, V₂ e V₃ fornirebbero una base di V₄

λ₁V₁ + λ₂V₂ + λ₃V₃ - V₄ = 0, è una combinazione lineare di V₁, V₂, V₃ e V₄ con risultato 0 e almeno un coefficiente ≠0 (*)

⇒ V₁, V₂, V₃ e V₄ sono sempre linearmente dipendenti.

Esercizio: dati tre vettori linearmente indipendenti V₁, V₂ e V₃, per quali valori di h ∈ ℝ:

w₁ = 2V₄ - V₂ + V₃ è ancora una base di V₃

w₂ = V₄ + 2V₂ + 3V₃

w₃ = -3V₄ + 3V₂ + h V₃

Considero 0 = λ₁ w₁ + λ₂ w₂ + λ₃ w₃ = λ₁ (2V₄ - V₂ + V₃) + λ₂ (-V₄ + 2V₂ + 3V₃) +

+ λ₃ (-3V₄ + 3V₂ + h V₃)

= (2λ₁ - λ₂ - 3λ₃) V₄ + (-λ₁ + 2λ₂ + 3λ₃) V₂ + (λ₁ + 3λ₂ + h λ₃) V₃ = 0

Questo vale solo se i coefficienti sono uguali a 0 dato che V₁, V₂ e V₃ sono

linearmente indipendenti. Se 2λ₁ - λ₂ - 3λ₃ = 0

-λ₁ + 2λ₂ + 3λ₃ = 0

λ₁ + 3λ₂ + h λ₃ = 0 ▶ Per h ≠ 6, w₁, w₂ e w₃ sono linearmente

indipendenti.

Per h = 6, w₁, w₂ e w₃ sono linearmente dipendenti.

ANGOLO TRA VETTORI

È definito solo quando i vettori sono non nulli.

Dati V₁, V₂ e V₂, V₃ ≠ 0, e un punto P consideriamo i

rappresentanti applicati P di V₁ e V₂ (P, O₁) e (P, O₂)

V₁ ∨ V₂ = g(PQ_c) Non consideriamo il verso (orario o

anti-orario) dell'angolo.

PRODOTTO SCALARE

Definiamo il prodotto scalare di due vettori V₁ e V₂ che ha come risultato uno scalare come:

|V₁|·|V₂|·cos θV₄₂ = V₁ · V₂

V₁ · V₂ = 0 se o V₁ = 0, o V₂ = 0, con V₁ ∧ V₂