Appunti di scuola e università per tutte le materie

Scopri come calcolare la matrice jacobiana del cambio di coordinate sferiche in R3, derivando la trasformazione dalle variabili ρ, φ e ϑ fino al determinante ρ2 sin φ. Un esempio chiaro di calcolo differenziale in più variabili.

Guida al calcolo di massimi e minimi assoluti di funzioni in due variabili su insiemi chiusi e limitati: punti critici, frontiera e teorema di Weierstrass, con un esercizio svolto passo passo per capire il metodo.

Guida al calcolo di massimi, minimi e punti di sella in funzioni di due variabili, con il metodo del gradiente e dell’Hessiano. L’esempio su f(x, y)=xy mostra come individuare l’unico punto stazionario e classificarlo correttamente.

Guida chiara ai massimi e minimi di funzioni di due variabili con esercizi svolti, calcolo delle derivate parziali, punti critici e vincoli. Approfondisci il metodo per studiare la continuità e l’analisi locale.

Spiegazione del calcolo del limite per x che tende a meno infinito con forma indeterminata e applicazione ripetuta del teorema di de l’Hôpital, utile per capire come trattare potenze e funzione esponenziale nei problemi di analisi.

Esercizio svolto sui massimi e minimi di una funzione razionale: si individuano i punti critici, si studia il segno della derivata e si determina l’unico massimo locale, calcolando poi il valore richiesto.

Analisi della derivabilità di f(x)=x sin(1/x) in x=0: si verifica che la funzione è continua nell’origine, ma non derivabile. Il risultato deriva dallo studio del rapporto incrementale e dal confronto dei limiti.

Approfondisci un problema di Cauchy sulle equazioni differenziali ordinarie: determina la soluzione di x u'(x) + 2u(x) = 0 con u(1)=3, poi calcola u''(1) e 8u'(2) con un metodo rapido, rigoroso e immediato.

Esercizio sulle equazioni differenziali ordinarie: soluzione del problema di Cauchy per un’ODE lineare del secondo ordine, calcolo di u''(0) e u(1), determinazione dell’equazione caratteristica e della soluzione particolare.

Analisi del carattere della serie sommatoria di (n^2+2)/2^n: spiega come applicare il criterio della radice per stabilire la convergenza, con passaggi ordinati, motivazione rigorosa e conclusione chiara.

Guida alla soluzione di un problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine: equazione caratteristica, soluzione omogenea, particolare e condizioni iniziali, fino al calcolo finale del valore richiesto.

Esempio guidato di equazione differenziale ordinaria con problema di Cauchy: si trova la soluzione particolare con fattore integrante, si applica la condizione iniziale e si calcola il valore richiesto a partire da u(1).

Analisi del problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili: si ricava la soluzione generale e la soluzione particolare con dato iniziale, verificandone dominio, unicità e continuità in tutto l'intervallo positivo.

Analisi del dominio di una funzione in due variabili con logaritmo e arcsin: si determinano le condizioni di esistenza, il significato geometrico dell’insieme E e si valuta se il dominio è aperto, chiuso o né aperto né chiuso.

Analisi del dominio di una funzione in due variabili con radice e logaritmo: si ricavano le condizioni di esistenza, si studia l’insieme ottenuto e si verifica se è aperto, chiuso o né aperto né chiuso.

Analisi del limite di una funzione in due variabili: verifica la continuità nel punto critico, confronta i comportamenti lungo diversi percorsi e mostra perché, in questo caso, il limite non esiste e la funzione non può essere resa continua in (0,0).

Spiegazione del piano tangente a una superficie in un punto dato: come si calcolano le derivate parziali, si costruisce l’equazione lineare di approssimazione e si ricava il valore richiesto di g in un punto diverso.

Guida alla formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di due variabili: derivate parziali, derivate successive e sviluppo locale di f(x,y)=x²−cos(x−y) attorno a (0,0), con calcolo completo del resto.

Guida al calcolo di massimi e minimi di una funzione di due variabili con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Esempio svolto con vincolo, punti critici, verifica di estremo assoluto e confronto dei valori della funzione.

L’accelerazione media esprime come varia la velocità di un corpo in un intervallo di tempo ed è definita come rapporto tra variazione di velocità e durata del moto, utile per analizzare i moti rettilinei.