Massimi e minimi di funzioni in due variabili 12

2 2 2 2 2

Sia f (x, y) = x + y; sia Q = {(x, y) ∈ : x + y ≥ 1, |x| ≤ 4, |x| − 4 ≤ y ≤ 4}. Siano

R

M ed m i valori massimo e minimo assunti da f in Q. Calcolare M − 3m.

Anzitutto f non ha punti critici all’interno di Q; infatti ∇f = 0 se e solo se

soluzione.

x = y = 0, ed il punto (0, 0) non appartiene a Q. Inoltre f è continua e Q è un insieme chiuso e limitato.

Per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo assoluti su Q. Tali punti, per quanto detto, non possono stare nella parte interna di Q, devono perciò stare sulla frontiera di Q.

Osserviamo che f (x, y) non è altro che la distanza del punto (x, y) da (0, 0); ne segue che, osservando il disegno di Q, i punti a distanza massima da (0, 0) in Q sono i punti (±4, 4), mentre

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i punti a distanza minima da (0, 0) sono i punti della circonferenza x + y = 1. Quindi si trova M = f (±4, 4) = 32, mentre m = 1, da cui M − 3m = 29.