Massimi e minimi di funzioni din due variabili 13

Determinare massimi e minimi per la funzione

f(x, y) = xy

sul vincolo x² + y² + xy − 1 = 0.

R

C è chiuso e limitato, ed f è continua; dunque f ha massimo e minimo assoluti su C.

Soluzione. Inoltre C non ha parte interna, per cui cerchiamo tali punti con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange: g(x, y) = x² + y² + xy − 1 è differenziabile ed il suo gradiente è

∇g(x, y) = (2x + y, 2y + x)

che si annulla solo nell’origine, che non è un punto di C. Consideriamo quindi

φ(x, y, λ) = xy + λ(x² + y² + xy − 1)

e risolviamo ∇φ(x, y, λ) = 0, ovvero:

y + 2λx + λy = 0

x + 2yλ + xλ = 0

x² + y² + xy − 1 = 0

da cui si ottengono facilmente le soluzioni

√

√ 1

3 3

P = (±1, ∓1, 1).

, ± , −

P = ± 3/4

1/2 3 3 3

Ora, osserviamo che 1

f(P) = f(P) = f(P) = f(P) = −1.

1 2 3 4

3

Dunque sicuramente P sono massimi assoluti di f, e P sono minimi assoluti di f (su C).

1/2 3/4